资源简介

2025-2026 学年九年级上学期第一次月考
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第二章。
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．下列条件中，能使平行四边形 ABCD成为菱形的是（ ）
A． AC BD B． AB BC C． AB CD D． BAD ADC
2 x2
2 x 3．用配方法解方程 0，配方正确的是（ ）
5 25
1 2A x 4 B x 1
2
4
． ． 5 25 5

25
C x 4
2 19 2 D x 4 19． ．
5 25 5 25
3．在下列条件中，能够判定四边形 ABCD为矩形的是（ ）
A． AB∥CD， AB CD B． A C， B D
C． AC BD D． BAD ABC BCD 90
4．方程 x 3 2 4的根是（ ）
A． x1 1， x2 5 B． x1 1， x2 5
C． x1 x2 1 D． x1 1， x2 5
5．下列方程无实数根的是（ ）
A． x2 3x 5 0 B．2 x2 4x 1 0
C 2． 5x2 6x 0 D． x 2 3
6．某超市 1月份营业额为 100万元，2月、3月的营业额共 400万元，如果平均每月营业额的增长率为 x，
则由题意可列方程（ ）
A．100 1 x 2 400 B．100 1 x 1 2x 400
2
C．100 1 x 1 x 400 D．100 1 1 x 1 x
2
400
7．如图，正方形 ABCD的边长为 3，F为对角线 BD上一点，连接 AF ，过点 F作EF AF，交BC于点 E，
连接 AE，若 DF 2，则 AE的长为（ ）
A． 10 B．2 3 C． 15 D． 2 5
8 2．已知关于 x的一元二次方程ax bx c 0 a 0,c 0 满足 a b c 0，且有两个相等的实数根，则下
列结论错误的是（ ）
A． a c 0 B．b 2c 0 C．2a b 0 D．b2 ac 0
9．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝9cm，点 P 从点 B出发，沿 BA方向以每秒 2 cm的速度
向终点 A运动；同时，动点 Q从点 C出发沿 CB方向以每秒 1cm 的速度向终点 B运动，将△BPQ沿 BC翻
折，点 P的对应点为点 P′，设 Q点运动的时间 t秒，若四边形 QPBP′为菱形，则 t的值为（ ）
A．2 B．3 C．2 2 D．4
10．如图，在矩形 ABCD中， AB 9，BC 8，E为 BC中点，G为 AB上动点且GF CD，连接 AF，GE，
则 AF GE的最小值为（ ）
21
A． B．12 C．
2 5 3 10
D．15
第二部分（非选择题 共 90 分）
三、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分。
2
11．若方程 (m 1)xm 1 3x 2m 1 0是关于 x的一元二次方程，则 m的值为 ．
12．如图，将一组邻边长分别为 5和 12的两个矩形 ABCD和矩形 AEFG拼成“ L ”形图案，则线段CF的长
为 ．
13．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人
走进果园去摘石榴，第一个人摘了 1个石榴，第二个人摘了 2个石榴，第三个人摘了 3个石榴，以此类推，
后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每
个人可以得到 10个石榴，问这群人共有多少 人？”
14．如图，正方形 ABCD边长为 6， AF BE 2，M、N分别是 ED和 BF的中点，则MN长为 ．
15．如图，在菱形 ABCD中，过对角线 BD上任一点 P，作 EF∥BC，GH∥ AB，下列结论正确的
是 ．（填序号）
①图中共有 3个菱形；
② BEP≌ BGP；
③四边形 AEPH的面积一定等于四边形 BGPE面积的 2倍；
④四边形 AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．
三、解答题：本题共 9小题，共 75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（10分）按要求解下列方程
(1) x x 4 8x 12（配方法）
(2)2x2 3x 3（公式法）
(3)3x 2x 1 4x 2（因式分解法）
(4)1- 8x+ 16x2 = 2- 8x（适当方法）
17．（9分）如图，在平行四边形 ABCD中，过点A作 AE BC交 BC边于点 E，点F 在边 AD上，且DF BE．
(1)求证：四边形 AECF是矩形；
(2)若 BF平分 ABC，且 BE 2，AB 6，求线段 BF的长．
18．（9分）已知关于 x的一元二次方程 x2 mx 2 0．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若 x 1是方程的一个根，求m的值．
19．（9分）如图，已知 ABC中，D是 AC的中点，过点D作DE AC交 BC于点 E，过点A作 AF ∥ BC
交DE于点 F，连接 AE、CF．
(1)求证：四边形 AECF是菱形；
(2)若CF 2， FAC 30 ， B 45 ，求 AB的长．
20．（9分）某商店将进价为 8元的商品按每件 10元售出，每天可售出 200件，如果这种商品每件的销售
价每提高 1元，其销售量就减少 20件．
(1)该店主将每件售价定为多少元时，才能使该商品每天的利润为 640元，同时要让利于顾客？
(2)店主想要使该商品每天的利润为 800元，小红同学认为不可能．你同意小红同学的说法吗？说明理由
21．（9分）如图，在正方形 ABCD中，G是对角线 BD上的一点（不与点B，D重合），过点G作GE∥BC,GF∥DC，
分别交DC，BC于点 E，F．
(1)求证：四边形GECF是矩形．
(2)若 AB 7,CF 3，求 AG的长．
22．（10分）建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径．经市场调查发现：搭建一个面积为 x公顷的大棚，
所需建设费用 y1（万元）与 x2与成正比例，比例系数为 2，内部设备费用 y2（万元）与 x 2成正比例，比
例系数0.6；.
(1)直接写出 y1、y2与 x之间的关系式： y1 ________________； y2 _____________________
(2)若种植1公顷蔬菜需种子，化肥农药的开支 0.4万元，收获的蔬菜年均可卖9.4万元．某农户准备用不超过
10万元的资金来种植大棚蔬菜，希望当年获得6万元的收益（扣除修建和种植成本），请你帮他估算应该
修建多少公顷的大棚？
(3)在（ 2）条件下、除种子、化肥、农药的开支需要每年支出外，其他设施三年内都不需要增加投资，并
可以继续使用，请你帮他计算三年的纯收益共有多少万元？
23．（10分）【阅读理解】
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，
将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题，
【初步探究】
如图 1，在正方形 ABCD中，点 E,F分别在边 BC ,CD上，连接 AE , AF ,EF ．若 EAF 45 ，将△ADF绕点
A顺时针旋转90 ，点D与点 B重合，得到 ABG．易证：△AEF≌△AEG．
（1）根据以上信息，填空：
① EAG _______°；
②线段BE、EF、DF之间满足的数量关系为_______；
【迁移探究】
（2）如图 2，在正方形 ABCD中，若点 E在射线CB上，点 F 在射线DC上， EAF 45 ，猜想线段
BE、EF、DF之间的数量关系，请证明你的结论；
【拓展探索】
（3）如图 3，已知正方形 ABCD的边长为3 2, EAF 45 ，连接 BD分别交 AE、AF 于点M、N，若点M
恰好为线段BD的三等分点，且 BM DM，求线段MN的长．2025-2026 学年九年级上学期第一次月考
数学参考答案
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题：本题共 12小题，每小题 3分，共 36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A D A A C A D B D
第二部分（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分。
11．1 12．13 2 13．19 14． 5 15．①②④
三、解答题：本题共 9小题，共 75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（10分）【解析】
（1）解： x x 4 8x 12，
整理得 x2 4x 12，
x2 4x 22 12 22，
x 2 2 16，
x 2 4，
即 x 2 4或 x 2 4，
∴ x1 6, x2 2．(2分)
（2）解：方程 2x2 3x 3化为 2x2 3x 3 0，
a 2,b 3,c 3，
b2 4ac 32 4 2 3 33 0，
x 3 33即 ，
4
x 3 33 , x 3 33∴ 1 4 2
．（4分）
4
（3）解：3x 2x 1 4x 2，
3x 2x 1 2 2x 1 ，
3x 2 2x 1 0，
3x 2 0 2x 1 0，
∴ x
2
1 , x
1
2 ．（7分）3 2
（4）解：1- 8x+ 16x2 = 2- 8x，
整理得 x2
1
，
16
x 1即 ，
4
1 1
∴ x1 , x2 ．（10分）4 4
17．（9分）【解析】
（1）证明： 四边形 ABCD是平行四边形，
AD BC， AD∥BC，
BE DF ，
AF EC，
四边形 AECF是平行四边形，
AE BC，
AEC 90 ，
四边形 AECF是矩形；（3分）
（2）解： BF 平分 ABC， AD∥BC，
ABF CBF AFB，
AB AF 6，
AD BC， AF CE，
DF BE 2，
AD BC AF DF 8，
AE CF AB2 BE 2 4 2 ，
在Rt△BFC中， BF BC 2 CF 2 4 6，即 BF的长是 4 6．（9分）
18．（9分）【解析】
（1 2）证明： m 4 1 2 m2 8 0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；（3分）
（2）解：将 x 1 2代入方程 x2 mx 2 0得： 1 m 2 0，
解得：m 1，
∴m的值为 1．（9分）
19．（9分）【解析】
（1）证明：在V ABC中，点D是 AC的中点，
AD DC，
AF ∥ BC，
FAD ECD， AFD CED，
在△AFD和△CED中，
FAD ECD

AFD CED，

AD CD
AFD≌ CED AAS ，
AF EC，
四边形 AECF是平行四边形，
又EF AC，点D是 AC的中点，
即EF垂直平分 AC，
AF FC，
平行四边形 AECF是菱形．（3分）
（2）如图，过点A作 AG BC于点G，
由（1）知四边形 AECF是菱形，又CF 2， FAC 30 ，
AF∥EC， AE CF 2， FAE 2 FAC 60 ，
AEB FAE 60 ，
AG BC，
AGB AGE 90 ，
GAE 30 ，
GE 12 AE 1， AG 3GE 3，
B 45 ，
GAB B 45 ，
BG AG 3，
AB 2BG 6 ．（9分）
20．（9分）【解析】
（（1）设每件售价定为 x元，根据题意，得
x 8 200 20 x 10 640，
解得 x1 16， x2 12，
要让利于顾客，
x 12，
答：该店主将每件售价定为 12元时，才能使该商品每天的利润为 640元，同时要让利于顾客；（3分）
（2）同意小红同学的说法，理由如下：
设每件售价定为 x元，根据题意，得
x 8 200 20 x 10 800，
整理得 x2 28x 960 0，
2
∵ 28 4 960 3056 0
方程无实数根，
店主不能使该商品每天的利润为 800元，
故同意小红同学的说法．（9分）
21．（9分）【解析】
（1）证明：∵GE∥BC,GF∥CD，
∴四边形GECF是平行四边形．
∵在正方形 ABCD中， C 90 ，
∴ GECF是矩形．（3分）
（2）解：如图，延长 FG交 AD于点 H，
在正方形 ABCD中， ADC 90 , BDC 45 ，
∵∠DEG ∠CEG ∠HGE ∠FGE 90 ，
∴四边形DHGE是矩形，△DGE是等腰直角三角形．
∴DE GE FC 3，
∴矩形DHGE是正方形．
∴HG DH GE 3, AH AD DH 7 3 4，
在Rt△AHG中， AG AH 2 HG2 32 42 5．（9分）
22.（10分）【解析】
1 y 2x2（ ）解：由题意得， 1 ， y2 0.6 x 2 0.6x 1.2，
故答案为： 2x2；0.6x 1.2；（2分）
（2 2）解：由题意得，9.4x 2x 0.6x 1.2 0.4x 6，
整理得，5x2 21x 18 0，
解得 x1 1.2， x2 3，
∵某农户准备用不超过10万元的资金来种植大棚蔬菜，
∴ 2x2 0.6x 1.2 0.4x 10，
整理得， 2x2 x 8.8 0，
当 x 1.2时， 2 1.22 1.2 8.8 4.72 0，符合题意；
当 x 3时， 2 32 3 8.8 12.2 0，不合题意；
∴ x 1.2，
答：应该修建1.2公顷的大棚；（6分）
（3）解：9.4 1.2 3 2 1.22 0.6 1.2 1.2 0.4 1.2 3 27.6万元，
答：他三年的纯收益共有27.6万元．（10分）
23．（10分）【解析】
解：（1）∵四边形 ABCD是正方形，
∴ AD AB， D DAB ABC 90 ，
将△ADF绕点A顺时针旋转90 ，点D与点 B重合，得到 ABG．
则 ABG D ABE 90 ， GAB FAD， AG AF， BG DF，
∴G、B、E共线，
EAF 45 ，
∴ EAG GAB BAE FAD BAE 45 ，
在△EAF 和△EAG中，
AF AG

EAF EAG ，

AE AE
EAF≌ EAG SAS ，
EF EG，
BE BG EG，
∴BE DF EF，
故答案为：①45 ；② BE DF EF；（2分）
（2）解： BE EF DF ．（3分）
证明如下：如图 2，在DC上截取DH BE，连接 AH ，
AB AD

在 ABE和 ADH中， ABE D，

BE DH
ABE≌ ADH SAS ，
AE AH , BAE DAH，
BAE BAH BAH DAH 90 ，即 EAH BAD 90 ，
EAF 45 ，
EAF FAH 45 ，
AE AH

在△EAF 和△HAF中， EAF HAF，

AF AF
EAF≌ HAF SAS ，
EF HF，
DH HF DF，
∴BE EF DF，（5分）
（3）将△ADN绕点A顺时针旋转90 得到 ABK，连接KM ，
∵四边形 ABCD是正方形，
AB AD 3 2, BAD 90 ， ABD ADB 45 ，
BD AB2 AD2 6
1
BM BD 2,DM BD BM 4，
3
由旋转可得，△ADN≌△ABK , KAN 90 ，
AK AN ,BK DN , ABK ADB 45 ，
KBM ABK ABD 90
KAN 90 , MAN 45 ，
KAM MAN 45 ，
又 AM AM，
△AMK≌△AMN，
KM MN ，
设MK MN x，则 BK DN 4 x，
在Rt△BMK 中， BK 2 BM 2 MK 2，
(4 x)2 22 x2，
解得 x 2.5，
MN 2.5．（10分）

展开更多......

收起↑