2025-2026学年吉林省通化市梅河口五中高二(上)开学数学试卷(含答案)

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2025-2026学年吉林省通化市梅河口五中高二(上)开学数学试卷(含答案)

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2025-2026学年吉林省通化市梅河口五中高二(上)开学数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.向量,,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题错误的是( )
A. 若,,则
B. 若,,,则
C. 若,,则
D. 若,,,,则
4.二进制是以为基数代表系统的二进制,通常用和表示二进制化为十进制的计算公式如下:若从二进制数,,,,,中任选一个,则二进制数所对应的十进制数大于的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知非零向量,满足,,,则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知向量,满足,且,,,则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.黄山市境内风光奇绝,拥有处国家级重点风景名胜区,在五一假期期间展现出独特的旅游魅力对于,两个旅游景点,通过大数据观测发现,游客选择景点出游的概率为,选择景点出游的概率为,,两个景点都不选的概率为,则,两个景点都选的概率为( )
A. B. C. D.
8.一封闭圆锥容器的轴截面是边长为的等边三角形,一个半径为的小球在该容器内自由运动,则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.如图所示,下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态图形成对称形态,图形成“右拖尾”形态,图形成“左拖尾”形态,根据所给图象作出以下判断,正确的是( )
A. 图的平均数中位数众数 B. 图的众数平均数中位数
C. 图的众数中位数平均数 D. 图的中位数平均数众数
10.如图,在正四棱柱中,底面正方形边长为,,为线段上的一个动点,则下列说法中正确的有( )
A. 已知直线为平面和平面的交线,则平面内存在直线与平行
B. 三棱锥的体积为定值
C. 直线与平面所成角最大时,::
D. 的最小值为
11.在中,角,,所对的边分别为,,,且,,为角的平分线交于,则( )
A. B. 的面积为
C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.一个圆锥的侧面展开图是半径为,圆心角为的扇形,则该圆锥的表面积为 .
13.已知函数是幂函数,则的值为______.
14.在圆中,已知弦,则的值为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知,,分别为三个内角,,的对边,且.
求;
若,的面积为,求的周长.
16.本小题分
某学校为了解本校文理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况,分别从理科班学生中随机抽取人的成绩得到样本甲,从文科班学生中随机抽取人的成绩得到样本乙,根据两个样本数据分别得到如下直方图:
已知乙样本中数据在的有个.
求和乙样本直方图中的值;
试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数同一组中的数据用该组区间中点值为代表.
17.本小题分
如图所示,四棱锥的底面为直角梯形,,,,,底面,为的中点.
求证:平面平面;
求直线与平面所成的角的正弦值.
18.本小题分
在中,设角,,所对的边分别是,,,且满足.
求角;
若,求面积的最大值;
求的取值范围.
19.本小题分
图所示,在直角梯形中,,,,分别是,上的点,且,,,,将四边形沿向上翻折,连接,,,在翻折的过程中,设,记几何体的体积为.
求证:平面;
若平面平面.
求证:平面;
当取得最大值时,求的值.
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解:因为,
由正弦定理可得,
整理可得,
而由正弦定理可得,
所以,,
解得;
由及,可得,
由余弦定理可得,

所以,
所以,
即三角形的周长为.
所以的周长为.
16.解:由频率分布直方图得:
乙样本中数据在的频率为,
这个组学生有人,则,
解得,
由乙样本数据直方图得:

解得.
甲样本数据的平均值估计值为:

乙样本数据直方图中前三组的频率之和为:

前四组的频率之和为:,
乙样本数据的中位数在第组,设中位数为,
由,
解得,中位数为.
根据样本估计总体思想,可以估计该校理科学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为,
文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为.
17.解:以点为坐标原点,以直线,,分别为,,轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,.
,,,


,,
又,平面,平面,
平面,又平面,
平面平面.

设是平面的一个法向量,
则,
令,则,,即,
,,,
设直线与平面所成的角为,

直线与平面所成的角的正弦值为.
18.解:因为,
根据正弦定理得,
且,
可得,
即,
又因为,则,
可得,整理可得,
且,则,
可得,解得.
由余弦定理得,即,
可得,解得,当且仅当时,等号成立.
所以的面积为:,
故面积的最大值为.
根据正弦定理得

令,则,可得,
将原式化为,
因为,则,可得
根据二次函数的图像性质,可得:
当时,原式取得最小值,;
当时,原式取得最大值,.
综上所述,的取值范围为.
19.
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