2025-2026学年山西省太原市山西大学附中高二(上)开学数学试卷(PDF版,含答案)

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2025-2026学年山西省太原市山西大学附中高二(上)开学数学试卷(PDF版,含答案)

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2025-2026 学年山西大学附中高二(上)开学数学试卷
一、单选题:本题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = , = { | ≤ 0}, = { | ≥ 1},则集合 ( ∪ ) =( )
A. { | ≥ 0} B. { | ≤ 1} C. { |0 ≤ ≤ 1} D. { |0 < < 1}

2.已知复数 = 1 ( 1为虚数单位), 是 的共轭复数,则| |的值为( )

A. 1 B. 22 C.
1
2 D. 2
3.函数 ( ) = ( 1 4 ) 的零点所在的区间为( )
A. (0, 1 ) B. ( 1 1 14 4 , 2 ) C. ( 2 , 1) D. (1,2)
4.在△ 中,其内角 , , 的对边分别为 , , ,已知 = 3, = 30°, = 15°,则边长 =( )
A. 32 B. 3 C.
6
2 D. 6
(2 1) + 3 , < 1
5.已知 ( ) = , ≥ 1 是定义在 上的减函数,则 的取值范围是( )
A. (0, 1 ) B. (0, 1 ] C. ( 1 , 1 ) D. [ 1 12 2 5 2 5 , 2 )
6.在三棱锥 中,点 在平面 中的投影是△ 的垂心,若△ 是等腰直角三角形且 = =
1, = 3,则三棱锥 的外接球表面积为( )
A. B. 4 3 C. 4 D. 6
7.已知函数 ( ) = 3 在区间[ 3 ,

4 ]上的最小值为 3,则 的取值范围是( )
A. ( ∞, 92 ] ∪ [6, + ∞) B. ( ∞,
9 3
2 ] ∪ [ 2 , + ∞)
C. ( ∞, 2] ∪ [6, + ∞) D. ( ∞, 2] ∪ [ 32 , + ∞)
二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
8.已知向量 = (2,1), = ( , + 1),则下列结论正确的是( )
A.若 ⊥ ,则 = 1 3 B.若 // ,则 =± 2
C.若 = 1,则| | = 2 D.若 = 1,则 与 的夹角为锐角
9.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入决赛(比赛采用三局两胜制,即率先获得两局胜
利者赢得比赛,随即比赛结束).假设每局比赛甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4.某同学利用计算机
产生 1~5 之间的随机数,当出现 1,2 或 3 时,表示甲获胜,当出现 4 或 5 时,表示乙获胜,以每 3 个随
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机数为一组进行冠军模拟预测,如果产生如下 20 组随机数:
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354,根据频率估计概
率的思想,下列说法正确的有( )
A.甲获得冠军的概率近似值为 0.65
B.甲以 2:0 的比分获得冠军的概率近似值为 0.5
C.比赛总共打满三局的概率近似值为 0.55
D.乙以 2:0 的比分获得冠军的概率近似值为 0.15
10.如图,在正四棱柱 1 1 1 1中,底面正方形 边长为 1, 1 =
3, 为线段 1 上的一个动点,则下列说法中正确的有( )
A.已知直线 为平面 1 1 和平面 的交线,则平面 1 1内存在直线与
平行
B.三棱锥 1 1 的体积为定值
C. 3直线 1与平面 1 1 所成角最大时, = 14
D. 1 + 的最小值为 4 3
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
11.抛掷两个质地均匀的骰子,则“抛掷的两个骰子的点数之和是 7”的概率为______.
12.奇函数 ( )是定义在[ 2,2]的减函数,若 (2 + 1) + (4 3) > 0,则实数 的取值范围是 .
13.正方体 1 1 1 1的棱长为 3, , 是棱 1 1, 1 1上的中点,平面 截正方体所得截面的周
长为______.
四、解答题:本题共 5 小题,共 82 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
14.(本小题 14 分)
在五一假期中,某校组织全校学生开展了社会实践活动,抽样调查了其中的 100 名学生,统计他们参加社
会实践活动的时间(单位:小时),并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外,根据参加社会实践活
动的时间从长到短按 4:4:2 的比例分别被评为优秀、良好、合格.
(1)求 的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数(同一组中的数据用该组
区间的中点值作为代表);
(2)试估计至少参加多少小时的社会实践活动,方可被评为优秀. (结果保留两位小数).
(3)根据社会实践活动的成绩,按分层抽样的方式抽取 5 名学生.从这 5 名学生中,任选 3 人,求这 3 名学
生成绩各不相同的概率.
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15.(本小题 16 分)
如图,在四棱锥 中, ⊥平面 , = = 6, = 2 = 6, // , ⊥ , 为
的中点, 为 的中点.
(1)证明: //平面 .
(2)证明: ⊥平面 .
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值.
16.(本小题 16 分)
已知函数 ( ) = 2 2 + 2 3 1( > 0),且函数 ( )的最小正周期为 .
(1)求 ( )的解析式,并求出 ( )的单调递增区间;
(2) 将函数 ( )的图象向左平移6个单位长度得到函数 ( )的图象,求函数 ( )的最大值及 ( )取得最大值时
的取值集合.
17.(本小题 18 分)
△ 中,角 , , 的对边分别为 , , ,已知 = 2,( + )( ) = ( ).
(1)求角 的值;
(2)求 + 2 的最大值;
(3)若 边的中线 长为 2,求△ 的面积.
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18.(本小题 18 分)
= { , , …, } = cos
2( 1 0)+cos2( 2 0)+…+cos2( 对于集合 和常数 ,定义:
0)
1 2 0 为集合 相对 0的“余
弦方差”.
(1) 若集合 = { 3 , 4 }, 0 = 0,求集合 相对 0的“余弦方差”;
(2) = { , 2 若集合 3 3 , },证明集合 相对于任何常数 0的“余弦方差”是一个常数,并求这个常数;
(3) 若集合 = { 4 , , }, ∈ [0, ), ∈ [ , 2 ),相对于任何常数 0的“余弦方差”是一个常数,求 ,
的值.
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参考答案
1.
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3.
4.
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6.
7.
8.
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10.
11.16
12.[ 14 ,
1
3 )
13.3 13 + 32 2
14.解:(1)由(0.02 + 0.06 + 0.075 + + 0.025) × 4 = 1,解得 = 0.07,
∵ (0.02 × 12 + 0.06 × 16 + 0.075 × 20 + 0.07 × 24 + 0.025 × 28) × 4 = 20.32,
∴该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为 20.32 小时.
(2)由题意可知,即求 60 百分位数,
又∵ (0.02 + 0.06) × 4 = 0.32,(0.02 + 0.06 + 0.075) × 4 = 0.62,
∴ 60 百分位数位于 18~22 之间,设 60 百分位数为 ,
18 = 0.6 0.32 56则22 18 0.3 ,解得 = 18 + 15 ≈ 21.73
故至少参加 21.73 小时的社会实践活动,方可被评为优秀.
(3)易知,5 名学生中,
4
优秀有 5 × 4+4+2 = 2 人,设为 , ,
5 × 4良好有 4+4+2 = 2,人,设为 , ,
2
合格有 5 × 4+4+2 = 1 人,设为 .
任选 3 人,总共有( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),( , , )( , , ),( , , ),( , , ),
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( , , ),10 种情况,
其中符合的有( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),共 4 种,
= 4 2故概率为 10 = 5.
15.(1)证明:因为 = 2 = 6, // , ⊥ , 为 的中点, 为
的中点,
连接 , ,设 ∩ = ,连接 ,
可得四边形 为矩形,
可得 为 的中点,所以 // ,
又因为 平面 , 平面 ,
所以 //平面 ;
(2)证明:因为 ⊥平面 , 平面 ,
所以 ⊥ ,
易证得 ⊥ , ∩ = ,
所以 ⊥平面 ,
因为 平面 ,
所以 ⊥ ,
又因为 = , 为 的中点,
所以 ⊥ ,
又因为 ∩ = ,
所以 ⊥平面 ;
(3)解: = = 6, = 2 = 6,
可得 = 2 + 2 = 36 + 9 = 3 5 =
1
, 2 =
1 2 + 2 = 12 2 36 + 36 = 3 2,
由(2)可得 ⊥平面 ,
所以∠ 为直线 与平面 所成的角,
所以 sin∠ = 3 2 10. = 3 5 = 5
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 10.
5
16.(1) 1 2 由题意得 ( ) = 2 × 2 + 3 2 1 = 3 2 2 = 2 (2

6 ),
根据 ( ) 2 的最小正周期 = 2 = ,解得 = 1,所以 ( ) = 2 (2 6 ),
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令 2 + 2 ≤ 2 6 ≤ 2 + 2 ( ∈ )

,解得 6 + ≤ ≤ 3 + ( ∈ ),
( ) [ 所以 的单调递增区间为 6 + ,

3 + ], ∈ ;
(2)将 ( ) 的图象向左平移6个单位长度,
= ( + 可得 6 ) = 2 [2( +

6 )

6 ] = 2 (2 + 6 )的图象,
所以 ( ) = 2 (2 + 6 ),
2 + = 令 6 2 + 2 ( ∈ ),解得 =

6 + ( ∈ ),

所以当 = 6 + , ∈ 时, ( )取得最大值 2,

综上所述, ( )的最大值为 2,当 ( )取得最大值时, 的取值集合为{ | = 6 + , ∈ }.
17.(1)因为( + )( ) = ( ),
正弦定理可得( + )( ) = ( ),
整理可得 2 + 2 2 = ,
由余弦定理可得 2 + 2 2 = 2 ,
可得 = 12,
在△ 中, ∈ (0, ),
可得 = 3;
(2) 2 4因为 = 2,由正弦定理可得 = = = 3 = 3,
2
可得 = 43 , =
4
3 ,
4
可得 + 2 = 3 ( + 2 ) =
4 [sin( 3 3 + ) + 2 ]
4 3 1
= ( 2 + 2 + 2 )3
4 3 5
= ( 2 +3 2
)
= 4 213 sin( + ), =
3
5 ,
+ 2 4 21所以 的最大值为 3 ;
(3)因为 边的中线 长为 2, = 2,
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由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 ,
即 4 = 2 + 2 ,①
且 2
2 2 2
= + ,两边平方可得 4 = + + 2 = 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + ,
即 16 = 2 + 2 + ,②
② ①可得 2 = 12,可得 = 6,
所以△ 的面积 = 12 =
1 × 6 × 32 2 =
3 3
2 .
18.解:(1) 当集合为 = { 3 , 4 }, 0 = 0 时,
cos2( 0)+cos2( 0)
集合 相对 0的“余弦方差 = 3 42 =
3
8;
(2)当集合 = { 2 3 , 3 , }时,
集合 相对于常数 0的“余弦方差”
cos2( 3
2
0) + cos (
2
3 0) + cos
2( 0)
= 3
(1 0 +
3 )20 + (
1 30 + 0)2 + cos2 0
= 2 2 2 23
1
2cos
2 + 3 20 2sin 0 + cos
2 0 1
= 3 = 2
∴ 1此时“余弦方差”是一个常数,且常数为2;
(3)当集合 = { 4 , , }, ∈ [0, ), ∈ [ , 2 )时,
集合 相对于任何常数 0的“余弦方差”
cos2( 4 0) + cos
2( 0) + cos2( 0)
= 3
1 1 1
= 3 ·[(2 + cos
2 + cos2 )cos2 0 + (1 + 2 + 2 ) 0 0 + ( 2+ sin
2 + sin2 )sin2 0]
1 1
要是上式是一个常数,则 1 + 2 + 2 = 0 且2+ cos
2 + cos2 = 2 + sin
2 + sin2
由 ∈ [0, ), ∈ [ , 2 )取 = 7 23 12, = 12 可满足上式.
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