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2025-2026 学年贵州省遵义四中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2}， = {1,3}，则 ∪ =( )
A. {1} B. {1,2} C. {1,3} D. {1,2,3}
2.复数 = 4 + 3 的虚部是( )
A. 4 B. 3 C. 3 D. 4
3.若2021 2021 > 2022 2022 ( , ∈ )，则( )
A. 3 > 3 B. > C. 1 <
1
D.
1 1
2+1 < 2+1
4.一组数据 1， 2， 3， ， 10满足 1 = 2(2 ≤ ≤ 10)，若去掉 1， 10后组成一组新数据.则新数据
与原数据相比( )
A.极差变大 B.平均数变大 C.方差变小 D.第 25 百分位数变小
5.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 1， 为 的中点，则三棱锥 1 1
的外接球的表面积为( )
A. 52
B. 114
C. 3
D. 134
6.平面 与平面 平行的充分条件可以是( )
A. 内有无穷多条直线都与 平行
B.直线 ，直线 ，且 // ， //
C.直线 // ， // ，且直线 不在 内，也不在 内
D. 内的任何一条直线都与 平行．
7.已知 , 是夹角为 120°的两个非零向量，且| | = | |，若向量 在向量 上的投影向量为 ，则 =( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 2
8.已知函数 ( )的定义域为 ， ( + 3) ( ) ( )为偶函数，若对任意的 1 21， 2 ∈ [3, + ∞)( 1 ≠ 2)都有 1
> 0，
2
则关于 的不等式 (4 + 3) < (2 3)的解集为( )
A. ( 1,1) B. (1,2) C. ( ∞,1) D. (1, + ∞)
二、多选题：本题共 2 小题，共 12 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列各式最小值为 2 的是( )
A. 2 + 2 ( ∈ ) B. log + log ( , > 0 且 ， ≠ 1)
2 2
C. +1 sin +1| | D. sin ( 为第一象限角)
10.已知函数 ( ) = | | ( ) ( )，恰好存在 4 个不同的正数 ， 1 21 2， 3， 4( 1 < 2 < 3 < 4)，使得 = =1 2
( 3) = ( 4) = ，则下列说法正确的是( )3 4
A. 25 B. 0 <
2
5 C. 4 ∈ (4,6) D. 4 ∈ (6,8)
三、填空题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 15 分。
11.在△ 中， = 4， = 3，∠ = 90°， 3在边 上，延长 到 ，使得 = 9，若 = + 2
( 为常数)，则 的长度是 ．
12 1.在锐角三角形 中，tan∠ = 2， 为边 上的点，△ 与△ 的面积分别为 2 和 4.过 作 ⊥
于 ， ⊥ 于 ，则 =______．
13.不等式( 2) 2 + 2( 2) 4 < 0 对一切 ∈ 恒成立，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 83 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题 15 分)
已知| | = 2, | | = 1， 与 的夹角为 45°．
(1)求 ，| + 2 |的值；
(2)若向量(2 )与( 3 )的夹角是锐角，求实数 的取值范围．
15.(本小题 16 分)
为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩
的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取 100 名，将其成绩整理后分为 6 组，画出频率分布直方图如图所示，
但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的 2 倍．
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(1)求第一组、第二组的频率各是多少？并补齐频率分布直方图；
(2)现划定成绩大于或等于上四分位数即第 75 百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良
好”以上等级的成绩范围(保留 1 位小数)；
(3)现知道直方图中成绩在[130,140)内的平均数为 136，方差为 8，在[140,150]内的平均数为 144，方差为
4，求成绩在[130,150]内的平均数和方差．
16.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， ， 分别是 ， 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)在 上取一点 (不与 ， 重合)，设过点 和 的平面交平面 于 ，求证： / / ．
17.(本小题 17 分)
在△ 中，2 = + ．
(1)当 = 12 时，求 △ 的最大值；
(2)当 △ = 4 3时，求△ 周长的最小值．
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18.(本小题 18 分)
已知函数 ( ) = 2 2 + 2 + 6， ( ) = 2 ．
(1)求 ( ( ))的值；
(2)若方程 ( ( )) = 128 在区间[ 1,2]上有唯一的解，求实数 的取值范围；
(3)对任意 ∈ ，若关于 的不等式 ( ( )) + ( ( )) ≥ [ ( ) + ( )]在 ∈ 上恒成立，求实数 的
取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.0/185
12. 1615
13.( 2,2]
14.解：(1)由| | = 2，| | = 1， 与 的夹角为 45°，
2
则 = 2 × 1 × 2 = 1，
2 2
所以( + 2 )2 = + 4 + 4 = 2 + 4 × 2 × 1 × 45° + 4 × 1 = 10，
所以| + 2 | = 10；
(2)由(2 )与( 3 )的夹角是锐角，
所以(2 ) ( 3 ) > 0，且(2 )与( 3 )不能同向共线；
2 2
即 2 + 3 ( 2 + 6) > 0，且 2 ≠ ( 3 )， > 0；
所以 2 7 + 6 < 0，且 2 ≠ 6， > 0；
解得 1 < < 6或 6 < < 6；
所以实数 的取值范围是(1, 6) ∪ ( 6, 6)．
15.解：(1)根据题意，设第一组的频率为 ，则第二组的频率为 2 ，
则有 + 2 + 0.034 × 10 + 0.03 × 10 + 0.018 × 10 + 0.006 × 10 = 1，
解可得 = 0.04，
则第一组的频率为 0.04，则第二组的频率为 0.08，
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(2)根据题意，0.04 + 0.08 + 0.34 + 0.3 = 0.76 > 0.75，
设数据的第 75 百分位数为 ，则有 0.03 × ( 120) = 0.29，
解可得： ≈ 129.7，
故全市“良好”以上等级的成绩范围为[129.7,150]；
(3)根据题意，成绩在[130,140)内人数为 100 × 0.18 = 18，在[140,150]内人数为 100 × 0.06 = 6，
又由成绩在[130,140)内的平均数为 136，方差为 8，
在[140,150]内的平均数为 144，方差为 4，

则成绩在[130,150] 18 6内的平均数 = 18+6 × 136 + 18+6 × 144 = 138，
18
其方差 2 = 18+6 × [8 + (136 138)
2] + 6 218+6 × [4 + (144 138) ] = 19，
故成绩在[130,150]内的平均数为 138，方差为 19．
16.取 的中点 ，连接 ， ，如图所示．
∵ ， 分别是 ， 的中点，
∴△ 中， // 1，且 = 2 ．
∵ 为四棱锥，∴ // ，且 = ．
∴ // 且 = ，
∴四边形 为平行四边形，∴ // ，
又 在平面 内， 在平面 外，
∴ //平面 ．
连接 交 于点 ，连接 ，如图所示．
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∵四边形 是平行四边形，∴ 是 的中点．
又∵ 是 的中点，在△ 中，根据三角形中位线定理可得 // ．
∵ 平面 ， 在平面 外，
根据线面平行的判定定理，得知 //平面 ．
∵过点 和 的平面交平面 于 ，且 //平面 ，
根据线面平行的性质定理可得， //
17.解：(1)由题意， = 60°， = 12，
∴由余弦定理可得122 = 2 + 2 2 60° ≥ ，
∴ ≤ 144，
∴ 1△ = 2 ≤ 36 3，
∴ △ 的最大值为 36 3；
(2) △ = 4 3 =
1 3
2 × 2 ，∴ = 16，
又 2 = 2 + 2 2 60° = ( + )2 48， 2 = 2 + 2 2 60° ≥
∴ + = 2 + 48， ≥ 4
∴△ 周长为 + + ≥ 8 + 4 = 12
当且仅当 = = 时，△ 周长的最小值为 12．
18.解：(1)因为 ( ) = 2 2 2 + 2 + 6 = 6，
所以 ( ( )) = (6) = 26 = 64．
(2)由 ( ( )) = 128 2，可得2 2 + 2 6 = 27，
即 2 2 + 2 + 6 = 7，即 2 2 + 2 1 = 0，
因式分解可得( 1)( + 1) = 0，解得 = 1，或 = + 1，
因为方程 ( ( )) = 128 在区间[ 1,2]上有唯一的解，注意到 + 1 > 1，
1 ≤ 1 ≤ 2 1 < 1
所以 + 1 > 2 或 1 ≤ + 1 ≤ 2，
解得 1 < ≤ 3 或 2 ≤ < 0，
所以 的取值范围是[ 2,0) ∪ (1,3]．
(3)由 ( ( )) + ( ( )) ≥ [ ( ) + ( )]，
可得(2 )2 2 2 + 2 + 6 + (2 )2 2 2 + 2 + 6 ≥ (2 + 2 )，
整理可得 2 2 2 (2 + 2 ) + (2 )2 + (2 )2 + 12 (2 + 2 ) ≥ 0，①
因为①对 ∈ 恒成立，
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所以△= 4(2 + 2 )2 8[(2 )2 + (2 )2 + 12 (2 + 2 )] ≤ 0，
整理可得 2 (2 + 2 ) ≤ (2 )2 + (2 )2 + 22，
2 2
即 2 ≤ (2 ) +(2 ) +222 +2 ②，
(2 )2+(2 2
设 ( ) = ) +222 +2 ，
因为②对 ∈ 恒成立，可得 2 ≤ ( ) ，
可令 = 2 + 2 ，因为2 + 2 ≥ 2 2 2 = 2，
当且仅当 = 0 时，取得等号，所以 ≥ 2，
2
则 ( ) +20等价于 ( ) = = +
20
≥ 2 ·
20
= 4 5，
当且仅当 = 2 5 ∈ [2, + ∞)时，等号成立，
所以 ( ) = 4 5，即 2 ≤ 4 5，即 ≤ 2 5，
所以 的取值范围是( ∞,2 5].
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