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2025-2026 学年河南省南阳一中高一（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 2, 1,0,1,2}， = { | 2 6 0}，则 ∩ =( )
A. { 2, 1,0,1} B. {0,1,2} C. { 2} D. {2}
+ = 1
2.方程组 2 2 = 9的解集是( )．
A. {(5,4)} B. {( 5, 4)} C. {( 5,4)} D. {(5, 4)}
3 1 4.已知正数 、 满足 + = 1，则 + 的最小值是( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
4 2 1.不等式 +1 ≤ 1 的解集为( )
A. ( ∞,2] B. ( ∞, 1) ∪ ( 1,2]
C. [ 1,2] D. ( 1,2]
5.如果 ， 是实数，那么“| | = | | + | |”是“ < 0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.在 上定义运算 ： = + 2 + ，则满足 ( 2) < 0 的实数 的取值范围为( )
A. (0,2) B. ( 2,1)
C. ( ∞, 2) ∪ (1, + ∞) D. ( 1,2)
7.已知： > 0， > 0 2 1，且 + = 1，若 + 2 >
2 + 2 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 2] ∪ [4, + ∞) B. ( ∞, 4] ∪ [2, + ∞)
C. ( 2,4) D. ( 4,2)
8 .在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即 = ，其中 是距离(单位 )， 是质量
( 1 1单位 )， 是弹簧系数(单位 / ).弹簧系数分别为 1， 2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数 满足 = +1
1
，并联时得到的弹簧系数 满足 = 1 + 2.已知物体质量为 20 ，当两个弹簧串联时拉伸距离为 1 ，则2
并联时弹簧拉伸的最大距离为( )
A. 14 B.
1
2 C. 1 D. 2
二、多选题：本题共 2 小题，共 12 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于 的不等式 2 ( + 2) + 2 < 0 的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围可能是( )
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A. 1 ≤ < 0 B. 4 < ≤ 5 C. 1 < ≤ 0 D. 4 ≤ < 5
10.下列说法正确的是( )
A.已知集合 = { | 2 4 < 0，且 ∈ }，则集合 的真子集个数是 7
B.“ < 1”是“方程 2 + + = 0 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
C.“ = 1”是“ 2 5 6 = 0”的必要不充分条件
D.设 ， ∈ ，则“ ≠ 0”是“ ≠ 0”的必要不充分条件
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
11.不等式( 1)(2 ) > 0 的解集是______．
12.命题“ ∈ ， 2 ≥ 0”的否定是______．
13.某产品生产总成本 与产量 ( ∈ )的函数关系式为 = 100 + 4 ，销售单价 与产量 的函数关系式为
= 25 116 .要使每件产品的平均利润最大，则产量 等于______．
四、解答题：本题共 4 小题，共 53 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题 13 分)
已知集合 = { | 1 ≤ 0}， = { | > 1}．
(1)当 = 2 时，求 ∩ ；
(2)若 ∪ = ，求实数 的值．
15.(本小题 13 分)
设全集 = ，集合 = { | 3 < < 2 1}， = { |1 < ≤ 5}，其中 ∈ ．
(1)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要而不充分条件，求实数 的取值范围；
(2)若命题“ ： ∈ ，使得 ∈ ”是真命题，求实数 的取值范围．
16.(本小题 13 分)
已知不等式 2 3 + 6 > 4 的解集为{ | < 1，或 > }，
(1)求 ， ；
(2)解不等式 2 ( + ) + < 0．
17.(本小题 14 分)
某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为 3 米，底面积
为 12 平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲
工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米 400 元，左右两面新建墙体报价为每平方米 150
元，屋顶和地面以及其他报价共计 7200 元．设屋子的左右两侧墙的长度均为 米(2 ≤ ≤ 6)．
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(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2) 900 (1+ )现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为 元( > 0)，若无论左右两面墙
的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功，试求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.(1,2)
12. ∈ ， 2 < 0
13.40
14.解：(1)由题意得， = 2 时， = { | ≤ ≤ + 1} = { |2 ≤ ≤ 3}，
所以 ∩ = { |2 ≤ ≤ 3};
(2)因为 ∪ = ，所以 ，所以 > 1，
所以 的取值范围是(1, + ∞)．
15.
第 4页，共 5页
16.解：(1)因为不等式 2 3 + 6 > 4 的解集为{ | < 1，或 > }，
所以 1 和 是方程 2 3 + 2 = 0 的两个实数根，且 > 1；
1 + = 3
由根与系数的关系，得 2，1 × =
解得 = 1， = 2；
(2)不等式 2 ( + ) + < 0 化为 2 (2 + ) + 2 < 0，
即( 2)( ) < 0；
①当 > 2 时，不等式( 2)( ) < 0 的解集为{ |2 < < }；
②当 < 2 时，不等式( 2)( ) < 0 的解集为{ | < < 2}；
③当 = 2 时，不等式( 2)( ) < 0 的解集为 ．
17.解：(1)设甲工程队的总造价为 元，
则 = 3(150 × 2 + 400 × 12 16 ) + 7200 = 900( + ) + 7200，(2 ≤ ≤ 6)，
∵ 900( + 16 ) + 7200 ≥ 900 × 2 ×
16
+ 7200 = 14400，
16
当且仅当 = ，即 = 4 时等号成立，
∴当左右两面墙的长度为 4 米时，甲工程队的报价最低为 14400 元;
(2) 900( + 16 ) + 7200 > 900 (1+ )由题意可得， 对任意的 ∈ [2,6]恒成立，
( +4)2 > (1+ )即有 ，
( +4)2
即 +1 > 在 ∈ [2,6]恒成立，
( +4)2 = + 1 + 9又 +1 +1 + 6 ≥ 2 ( + 1)
9
+1 + 6 = 12，
9
当且仅当 + 1 = +1即 = 2 时等号成立，
∴ < 12，
又 > 0，∴ 的取值范围为(0,12)．
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