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2025-2026学年四川省巴中市南江实验中学高二（上）入学考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量 = (2,6)， = ( + 1, 2)，且 // ，则 =( )
A. 5 B. 5 C. 52 2 4 D.
5
4

2.已知复数 满足 (1 ) = ，则 的虚部为( )
A. 1 B. 12 2 C.
1
2 D.
1
2
3.在正方体 1 1 1 1中， = 2， 、 分别为棱 1， 的中点，则从点 出发，沿正方体表面
到达点 的最短路径的长度为( )
A. 11 B. 10 C. 3 D. 2 2
4.为提高学生学习数学的热情，实验中学举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的 10 人的成绩：
(单位：分)78，70，72，86，79，80，81，84，56，83，则这 10 人成绩的第 80 百分位数是( )
A. 83 B. 83.5 C. 84 D. 70
5 .已知 tan 2 = 3，则2 cos 的值为( )
A. 2 B. 3 2 314 14 C. 15 D. 15
6.已知钝角△ 的三边为 ， + 2， + 4，则实数 的取值范围是( )
A. (6, + ∞) B. (2,6) C. (0,6) D. (0,2)
7.已知函数 ( ) = sin(2 + )(| | < ) 2 在区间(0, 6 )上单调，则 的取值范围为( )
A. ( 2 , 3 ] B. ( 2 , 6 ] C. [ 3 , 3 ] D. [ 6 , 6 ]
8.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为
“牟合方盖”，但刘徽未能求得牟合方盖的体积，约 200 年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积
不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等图 1
为棱长为 的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图 2 为棱长为 的正方体的八分之一，图 3 是底面边
长为 的正方体的一个底面和底面以外的顶点作的正四棱锥，由祖砸原理计算知，牟合方盖的体积与其外切
正方体的体积之比为( )
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A. 1 2 3 93 B. 3 C. 16 D. 16
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ 中， 为边 的中点，则( )
A. = B. = +
C. = + D. =
10.若复数 = 2 2 3 + ( 2 1) ( ∈ )，则下列说法正确的是( )
A.当 = 1 或 = 1 时， 为实数
B.若 为纯虚数，则 = 1 或 = 3
C.若复数 对应的点位于第二象限，则 1 < < 3
D.若复数 是方程 2 + 6 + 18 = 0 的解，则 = 2
11.如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中，点 在线段 1上运动，
下列命题中正确的是( )
A.三棱锥 1 的体积为定值
B.异面直线 1 与直线 1所成角为定值
C.在点 运动过程中，平面 截该正方体的截面形状为三角形或矩形
D. 3直线 1 与平面 1 1 所成角的余弦值的范围是[0, 3 ]
三、填空题：本题共 3小题，共 15分。
12.计算 37.5° 7.5° 37.5° 7.5 = ______．
13.已知球 的半径为 3 ，则它的表面积为______ 2，体积为______ 3．
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14.已知向量 , , 的模长分别为 2，1，1 11，记向量 与 的夹角为 ， = ，则| + 20 |的最大值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 , ，若| | = 1, | | = 2， 与 的夹角为4．
(1)求| + 2 |；
(2)求 + 2 与 夹角的余弦值．
16.(本小题 15 分)
为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随
机抽取了 100 人的成绩(均为整数)作为样本，将其整理后分为 6 组，并作出了如图所示的频率分布直方图．
(1)求 的值；
(2)从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数；
(3)认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少. (保留整数)
17.(本小题 15 分)
在△ 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 3 = 2 ．
(1)求 ；
(2)若△ 为锐角三角形，且 = 3，求△ 面积的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, < < 0)图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为
( 5 12 , 2), (
11
12 , 2)．
(1)求 ( )的解析式；
(2)求 ( )在[0, ]上的单调增区间；
(3)设 > 1，证明：函数 ( ) = ( ) ( )在(0, + ∞)上必有零点．
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19.(本小题 17 分)
如图，已知四棱锥 中，侧面 为边长等于 2 的正三角形，底面 为菱形，∠ = 60°，
为 中点，侧面 与底面 所成的二面角为 120°．
(1)证明 ⊥平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)求二面角 的余弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 22
13.36 36
14.6 55 + 1
15.(1)因为| | = 1 ，| | = 2， 与 的夹角为4，所以 = 1 × 2 × cos 2 = 1，
所以| + 2 |2 = ( + 2 )2 = 2 + 4 + (2 )2 = 1 + 4 × 1 + 4 × 2 = 13，
所以| + 2 | = 13．
(2)由(1)知 = 1，| + 2 | = 13，
所以| | = 2 2 +
2
= 1 2 × 1 + 2 = 1，
2
所以( + 2 )( ) = + 2
2
= 1 + 1 2 × 2 = 2，
设 + 2 与 的夹角为 ，
= ( +2
) ( ) = 2 2 13所以 = ．
| +2 | | | 13×1 13
16.(1)根据题意，(0.004 + + 0.034 + 0.030 + 0.018 + 0.006) × 10 = 1，则 = 0.008；
(2) [60,70) 60+70众数为 的平均数，即为 2 = 65，
平均数为(45 × 0.004 + 55 × 0.008 + 65 × 0.034 + 75 × 0.030 + 85 × 0.018 + 95 × 0.006) × 10 = 71.8；
(3)(0.004 + 0.008) × 10 = 0.12，(0.004 + 0.008 + 0.034) × 10 = 0.46，
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则第 40%分为数在[60,70)内，设为 ，则( 60) × 0.034 × 10 = 0.4 0.12 ≈ 61，
又认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，则估计良好认定的分数线为 61．
17.(1)由正弦定理可得 3 = 2 ，
又由 = sin( + ) = + ，代入上式可得：
3 = 2 ，
由 0 < < ，则 > 0，
3 1
上式可化为： 2 + 2 = 1，
7
得 sin( + 6 ) = 1，由 0 < < ，可知6 < + 6 < 6 ，
故 C+ = 6 2，所以 =

3；
(2) 1由(1)知， △ = 2 × 3
= 3 3 4，
3sin(2 3 ) 3(
3
2 +
1 )
由正弦定理可得 = 2 = = =
3 + 3 = 3 32 2 2 + 2 ，
0 < <
由△ 2为锐角三角形可知
0 < = 2
，
3 < 2
< < 3 3得6 2，故 > 3 ，可得 2 < < 2 3，
△ 3 3 3 3故 面积的取值范围为( 8 , 2 ).
18.解：(1) 11 5 由已知可得该函数的最小正周期为 = 2( 12 12 )，且 = 2，
又因为 > 0，
所以 = 2( 11 5 12 12 ) =
2
= 2 ( ) = 2 (2 + )，
把( 5 12 , 2)代入解析式中，得 ( ) = 2 (2 ×
5
12 + ) = 2
5
6 + = 2 + 2 ( ∈ ) = 2

3 ( ∈ )，

又因为 < < 0，所以令 = 0，即 = 3，所以 ( ) = 2 (2

3 )；
(2) 2 + 2 ≤ 2
≤ 3 2 + 2 ( ∈ )
5
12 + ≤ ≤ 12 + ( ∈ )，
令 = 0 ，得 12 ≤ ≤
5
12，所以 ∈ [

12 ,
5
12 ]，而 ∈ [0, ]，
所以 ∈ [0, 5 12 ]，
= 1 11 ≤ ≤ 17 ∈ [ 11 17 令 ，得 12 12 ，所以 12 , 12 ]，而 ∈ [0, ]，
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∈ [ 11 所以 12 , ]，
所以函数 ( )在[0, ] [0, 5 11 上的单调递增区间为 12 ]和[ 12 , ]；
(3) ( ) = ( ) ( ) = 2 (2 3 ) 2 (2 3 )，
当 > 1 时， (0) = 2 × ( 3 32 ) 2 ( 2 ) = 3( 1) > 0，
( 5 12 ) = 2 × sin(2 ×
5 ) 2 sin(2 × 5 ) = 2 × sin(2 × 5 12 3 12 3 12 3 ) 2 ≤ 2 2 < 0，
(0) ( 5 则 12 ) < 0，且 ( )在(0, + ∞)上的图象为一条连续不间断的曲线，
所以根据函数零点存在原理，函数 ( ) = ( ) ( )在(0, + ∞)上必有零点．
19.(1)证明：因为△ 是等边三角形，
所以 ⊥ ，
因为底面 是菱形，
所以 = ，
又∠ = 60°，
所以△ 是等边三角形，
所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， 面 ， 面 ，
所以 ⊥面 ．
(2)由(1)知侧面 与底面 所成角的平面角为∠ ，
又侧面 与底面 所成的二面角为 120°，
所以∠ = 120°，
又等边三角形 的边长为 2，
所以 = 22 12 = 3，
所以点 到平面 3 3的距离为 60° = 3 2 = 2．
(3)在平面 内作 ⊥ ，
由(1) ⊥平面 ，知直线 ， ， 两两垂直，
以 为原点，直线 ， ， 分别作为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系：
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则 (0, 1,0)， ( 3, 0,0)， ( 3, 2,0)， (0,1,0) ( 3 , 0, 3， 2 2 )，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )， = ( 3 , 1, 3 ) = ( 3 3 , 0, 3， )，2 2 2 2
= ( 3 32 , 2,
3
2 )，
= 32
3
2 = 0则 ，
= 3 3 32 2 = 0
令 = 1，得 = 3， = 3，
所以 = (1, 3, 3)，
同理可得平面 的一个法向量为 = (1,0, 3)，
cos < >= (1,0, 3) (1, 3, 3) 2 7所以 ， | || | = = ，12+( 3)2 12+( 3)2+( 3)2 7
由图知二面角 的为钝角，
2 7
所以二面角的余弦值为 7 ．
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