资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.5全等三角形的判定八大题型（一课一讲）
（第1课时 全等三角形的判定“SSS”）
1.“SSS”判定定理
内容：若两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等（记作SSS）。
数学表达：
在△ABC和△DEF中，若满足：，则△ABC≌ △DEF（SSS）。
题型一：用“SSS”证明三角形全等
【例题1】如图，下列三角形中，与全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．
根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：A．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意；
B．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意；
C．满足三角形全等的判定定理，符合题意；
D．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意；
故选：．
【变式训练1-1】如图，，则可推出（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，结合题意，根据全等三角形的判定性质分析，即可得到答案．
【详解】在和中，
，
∴，
故选：B．
【变式训练1-2】(24-25八上·广东东莞松山湖南方外国语学校·月考)如图所示，中，，则由“”可以判定（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据“”证明，即可求解．
【详解】解：因为，
所以．
故选B．
【变式训练1-3】如图，已知，，下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题考查了平行线判定和全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
证明，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定推出即可．
【详解】解：在和中，
∴，
∴，
∴．
故正确的结论有①②③．
故选：．
【变式训练1-4】(24-25八上·山东德州宁津县第四实验中学等两校联考·期中)如图，勤劳的小蜜蜂A、B、C、D、E、F分别位于蜂房（由若干个正六边形拼成向阳面的一侧劳作，若任何不共线三点位置都可以组成一个三角形，则与全等的三角形是 ．
【答案】，
【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
根据全等三角形的判定定理结合图形进行判断即可．
【详解】解：根据图象可知和及全等，
理由是：∵根据图形可知，
在和中，
∴，
根据图形可知，
在和中，
∴，
故答案为：，．
【变式训练1-5】(24-25八上·湖北武汉江汉区学区四校联盟·月考)如图，，，连接，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，根据判定三角形全等即可得解．
【详解】解：在和中，
∴，
故答案为：．
题型二：“SSS”中添加一个条件使得三角形全等
【例题2】(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)如图，，，若要用“”证明，则还需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．不需要添加
【答案】D
【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据，结合公共边直接判断即可得到答案；
【详解】解：∵，，，
∴，
∴不需要添加条件，
故选：D．
【变式训练2-1】(24-25八上·云南富源县多校·期中)如图，在和中，，还需添加两个条件才能使，添加的一组条件不正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查三角形全等的判定．理解判定三角形全等的是解答关键．
A．根据来判断两个三角形全等；B．两个三角形中，两边对应相等，一边的对应角对应相等，不能判定两个三角形全等；C．根据来判断两个三角形全等；D．根据来判断两个三角形全等．
【详解】解：A．在和中，，添加，利用得到，故此项不符合题意；
B．在和中，，添加，，不能得到三角形全等，故此项符合题意；
C．在和中，，添加，，利用得到，用得到两个三角形全等，故此项不符合题意；
D．在和中，，添加，，得到三角形全等，故此项不符合题意．
故选：B．
【变式训练2-2】(23-24七下·陕西咸阳秦都区·期末)如图，在和中，、相交于点E，．若利用“”来判定，则需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，找出三组对应边相等，即可根据可判定．
【详解】∵，，
∴当时，根据可判定；
故选：C．
【变式训练2-3】(2024·山东省德州市·)如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使．
【答案】或
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键．
要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）．
【详解】解：∵C是的中点，
∴，
∵，
∴添加或，
可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）．
故答案为：或．
【变式训练2-4】如图，在中，，如果要用“”证明，应增加的条件是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定——，解题关键是掌握全等三角形的判定——．
根据全等三角形的判定——求解．
【详解】解：在中，，，需要添加，可用“”证明，
故答案为：．
【变式训练2-5】如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，，，要使，根据还需要添加一个条件是 ．
【答案】（或）
【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．根据定理即可得．
【详解】解：①根据还需要添加一个条件是，
∴，即，
在和中，
，
∴．
②根据还需要添加一个条件是，
在和中，
，
∴，
故答案为：（或）．
题型三：找出全等三角形的判断依据
【例题3】(23-24八上·福建厦门第五中学·期中)如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了全等三角形的应用．根据全等三角形判定的“”定理即可证得．
【详解】解：，点，分别是，的中点，
，
在和中，
．
，
故选：D．
【变式训练3-1】(2025九·贵州省铜仁市·模拟)木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，得，，结合即可证明，即可得证．
本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练3-2】(24-25八上·河南周口郸城县名校·月考)年月日—月日，河南宜阳举办“洛水昌谷风筝节”，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
根据即可证明，可得；
【详解】解：在和中，
，
，
；
故选：A
【变式训练3-3】(24-25八上·吉林吉林永吉县大学区·期末)如图是小明制作的风筝，他根据，，不用度量，就知道，小明是通过全等三角形的判定和性质得到的结论，请问小明用的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据题意即可得出判定方法是．
【详解】解：∵，
∴ ，
故选：D．
【变式训练3-4】(24-25八上·浙江杭州拱墅区区文晖中学·期中)如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，这一做法用到三角形全等的判定定方法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据作图过程得出，利用三边相等证明即可得答案．
【详解】解：∵角尺两边相同的刻度分别与，重合，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴这一做法用到三角形全等的判定定方法是．
故选：A．
【变式训练3-5】尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，明确尺规作图所隐含的条件成为解题的关键． 由尺规作图可知：，然后根据全等三角形的判定定理即可解答．
【详解】解：由尺规作图可知，，
，
故答案为：．
题型四：利用“SSS”判定三角形全等（基础题）
【例题4】如图，点B，C，E，F在同一直线上，，，．求证：．
【答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意，先证明，进而用证明，可得，根据内错角相等，两直线平行，即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∴．
【变式训练4-1】(24-25八上·辽宁抚顺新宾县·期末)如图，已知在和中，，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定（SSS）与性质，解题的关键是通过线段和差得到全等所需的边，再利用全等性质推导角相等．
（1）通过推导出，结合三组对边相等，用“”证三角形全等．
（2）利用全等三角形对应角相等，得出．
【详解】（1）证明：∵，
，
在和中，，
∴（）
（2）证明：∵，
【变式训练4-2】(23-24八下·云南红河哈尼族彝族蒙自·期末)如图，．求证：．
【答案】见解析
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，利用证明，即可得出结论．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
∴．
【变式训练4-3】(24-25八上·河北廊坊广阳区·期末)如图，四边形，其中，．
(1)求证：；
(2)证明：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；
（1）直接根据证明即可；
（2）根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可证明.
【详解】（1）证明：在和中
∴（）
（2）∵
∴在的垂直平分线上
∵
∴在的垂直平分线上
∴是垂直平分线
∴
【变式训练4-4】(24-25八上·河南周口太康县·期中)开封风筝是河南开封地区传统民间工艺品．开封风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色．每年农历正月至三月的庙会上，各式各样的风箏竞相牵放，景象十分壮观．图1是小华制作的风筝，图2是风筝骨架的示意图，其中，．
(1)求证：；
(2)小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)正确，见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质；
（1）利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质及角平分线定义求解即可．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：正确，理由：
由（1）得，
∴，
即平分，
所以小华的发现是正确的．
【变式训练4-5】(24-25八上·广西柳州第二十二中学·期中)是的中点，，．求证：
(1)求证∶；
(2)证明：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、邻补角互补等知识点，证得是解题的关键．
（1）由点C是的中点可得，然后根据即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得，再根据邻补角相等可得，最后运用等量代换即可证明结论．
【详解】（1）证明：点是的中点，
．
在与中，
，
．
（2）证明：∵，
，
又，
．
题型五：利用“SSS”证明三角形全等求角度
【例题5】如图，点D在线段上．若，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的判定及性质，关键利用全等三角形的判定定理证明，然后利用全等三角形的性质求解的度数．
【详解】在和中，
，
∴，
∴，
故选： D．
【变式训练5-1】(24-25八上·山西长治·期末)如图，在中，．以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，再分别以点A，D为圆心，，的长为半径画弧交于点E，连接，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握三边对应相等的两个三角形全等是解题关键．
由已知可知，然后根据全等三角形的性质分析求解．
【详解】解：由作图可知，，，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练5-2】(24-25八上·河南淮阳中学·期末)如图，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，先利用证明，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，进而可得出．
【详解】解：在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C
【变式训练5-3】(24-25八上·湖北恩施州宣恩县沙道沟镇民族初级中学·期中)如图，、、三点在同一直线上，且，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质．利用可证明，从而得到，，再利用三角形外角性质及邻补角即可求出最后结果．
【详解】解：如图，
在与中，
，
，
，，
∴在中，由三角形性质得：，
∴，
故选：D．
【变式训练5-4】(24-25八上·吉林白城第三中学·月考)如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明是解题的关键．根据题意得出，再根据证明，即可利用全等三角形的性质得解．
【详解】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，
故选：A
【变式训练5-5】(24-25七下·四川成都双流区九江初级中学·期中)如图，点C，E分别为的边，上的点，，，则的度数为 °．
【答案】
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
连接，由，，，根据“”证明，则，由，求得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
题型六：找出全等三角形的对数
【例题6】(24-25七下·陕西咸阳武功县普集街道办南仁初级中学·期末)如图，的三个顶点分别在正方形网格的3个格点上．若在网格图中的格点上有一点（不与点，，重合），使得与全等，则这样的三角形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查利用三角形全等的判定作图，熟记三角形全等的判定定理是解决问题的关键．以为公共边，结合两个三角形全等的判定定理，使所作的三角形另外两条边分别与的边相等即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
在网格图中的格点上有一点（不与点，，重合），使得与全等，则这样的三角形有3个，
故选：B．
【变式训练6-1】如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，观察图形可知：与是对应边，B点的对应点在上方两个，在下方两个共有个满足要求的点，也就有四个全等三角形．
【详解】解：根据题意，运用可得与全等的三角形有个，线段的上方有两个点，下方也有两个点．
故选：C．
【变式训练6-2】(23-24八上·江苏泰州姜堰区·期中)三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有 个．
【答案】3
【分析】利用判定两三角形全等，认真观察图形可得答案．本题考查作图应用与设计作图、全等三角形的判定，注意观察图形，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．
【详解】解：如图，

图中与全等的格点三角形是，共3个，
故答案为：3．
【变式训练6-3】(23-24八上·宁夏固原西吉县第七中学·期中)如图，在正方形网格内，有一个格点三角形（三个顶点都在正方形的格点上）；现需要在网格内构造一个新的格点三角形与全等，且有一条边与的一条边重合，这样的三角形可以构造出 个．
【答案】5
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法：三边分别对应相等的两个三角形全等，再依次确定第三个顶点即可．
【详解】解：如图满足条件的三角形如图所示，有5个．
故答案为：5．
【变式训练6-4】(24-25八上·江苏宿迁沭阳县乡镇联考·月考)如图，由4个小正方形组成的田字格中，的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与全等的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有 个，
【答案】3
【分析】本题考查了全等三角形的判定；根据田字格的特点画出所有与全等的三角形即可确定．
【详解】解：画出图形如下：
则由可判定都与全等，即这样的三角形共有3个；
故答案为：3．
【变式训练6-5】(24-25七下·辽宁沈阳和平区第一三四中学·期中)在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．

【答案】4
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据全等三角形的判定画出图形，即可判断．
【详解】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．

由图可得，所有格点三角形的个数是4，
故答案为：4．
题型七：全等三角形的性质与“SSS”综合
【例题7】(24-25七下·广东深圳龙岗区南湾街道沙湾中学·期中)如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，
(1)求证：．
(2)，，求当中边的取值范围．
【答案】(1)证明见结论
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
（1）由得出，再利用证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）先利用全等三角形的结论得到 ，再结合三角形三边关系列出关于的不等式，最后代入数值求出取值范围．
【详解】（1）证明：，
，即，
在和中，
，
，
∴；
（2）∵
∴，
在中，
∵，
∵， ，
∴，
即．
【变式训练7-1】如图，点、、、在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）由得到，即可证明；
（2）由（1）知，得到，继而得到．
【详解】（1）证明：，
，
，
，，
；
（2）解：由（1）知，
，
．
【变式训练7-2】(24-25八下·河北保定高碑店·月考)如图，在中，是边上的一点，连接．垂直平分，垂足为，交于点，连接．
(1)若的长为6，的周长为7，求的周长．
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，由的周长为7可得，于是可得的周长，于是得解；
（2）由三角形的内角和定理可得，利用可证得，于是可得，由三角形外角的性质可得，由此即可求出的度数．
【详解】（1）解：是线段的垂直平分线，
，，
的周长为7，
，
的周长
；
（2）解：，，
，
∵在和中，
，
，
，
．
【变式训练7-3】(24-25八下·山西阳泉盂县多校联考·期末)如图，点，，，在同一直线上，，，．
(1)求证：；
(2)已知，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠B=80°
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质等知识，
（1）先证明，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）根据（1）可得，根据三角形外角的性质得出进而得出，然后根据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，
，，
．
【变式训练7-4】(24-25八上·重庆荣昌区·期末)如图，在△和△中，，，，四点在同一直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由可证，可得；
（2）由三角形内角和定理可得，由全等三角形的性质可得，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
在△和△中，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
．
【变式训练7-5】(24-25八上·黑龙江·调研)如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．

(1)如图（1），求证：；
(2)如图（2），，，平分交于点G，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键．
（1）先根据得，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）先求出，再由和全等得，再根据平分得，然后根据三角形外角性质即可得出的度数．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中
，
；
（2）解：在中，，
，
由（1）可知：，
，
平分交于点G，
，
又是的一个外角，
，
，
．
题型八：全等三角形与“SSS”中多结论问题
【例题8】(24-25七上·山东淄博沂源县沂源县历山中学等校·期中)如图，在四边形ABDE中，，，点C是边BD上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；其中正确的结论个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】证明，由全等三角形的性质可得出．由图形的面积可得出③④正确．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，，，
∴，故①正确；
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
故②正确；
∵，，
∴四边形的面积是；
故③错误；
∵，
∴
∴．
故④正确．
综上所述，正确的是①②④；
故选：B．
【变式训练8-1】(24-25八下·四川达州渠县土溪镇初级中学·月考)已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，根据即可求证，即可判断①；根据，可得垂直平分，即可判断②③；根据，即可判断④．
【详解】解：①在和中，
，
∴，
故①正确，符合题意；
②∵，，
∴垂直平分，
即，
故②③正确，符合题意；
④
，
故④错误，不符合题意；
综上：正确的有①②③．
故选：B．
【变式训练8-2】如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是的中点，是连接弹簧和伞骨的支架，且，则弹簧M在向上滑动的过程中，总有（ ）
A． B．
C．平分 D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．证明即可对各选项作出判断．
【详解】解：∵D，E分别是的中点，
∴；
∵，
∴；
在与中，
，
∴，
∴，
即平分，
故C正确；
对于A、B、D三个选项，只在伞开合的某一时刻正确；
故选：C．
【变式训练8-3】(24-25八上·山东齐河县表白寺镇中学·月考)两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③，其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】①②③
【分析】本题考查垂直平分线的判定、全等三角形的判定，根据垂直平分线的判定得出是的垂直平分线，根据证明，即可得解．解题的关键是掌握：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【详解】解：∵，
∴点在的垂直平分线上，
∵，
∴点在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∴，，
∴①②正确，
在和中，
，
∴，
∴③正确，
∴正确的结论有①②③．
故答案为：①②③．中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.5全等三角形的判定八大题型（一课一讲）
（第1课时 全等三角形的判定“SSS”）
1.“SSS”判定定理
内容：若两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等（记作SSS）。
数学表达：
在△ABC和△DEF中，若满足：，则△ABC≌ △DEF（SSS）。
题型一：用“SSS”证明三角形全等
【例题1】如图，下列三角形中，与全等的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】如图，，则可推出（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】(24-25八上·广东东莞松山湖南方外国语学校·月考)如图所示，中，，则由“”可以判定（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
【变式训练1-3】如图，已知，，下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式训练1-4】(24-25八上·山东德州宁津县第四实验中学等两校联考·期中)如图，勤劳的小蜜蜂A、B、C、D、E、F分别位于蜂房（由若干个正六边形拼成向阳面的一侧劳作，若任何不共线三点位置都可以组成一个三角形，则与全等的三角形是 ．
【变式训练1-5】(24-25八上·湖北武汉江汉区学区四校联盟·月考)如图，，，连接，则 ．
题型二：“SSS”中添加一个条件使得三角形全等
【例题2】(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)如图，，，若要用“”证明，则还需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．不需要添加
【变式训练2-1】(24-25八上·云南富源县多校·期中)如图，在和中，，还需添加两个条件才能使，添加的一组条件不正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式训练2-2】(23-24七下·陕西咸阳秦都区·期末)如图，在和中，、相交于点E，．若利用“”来判定，则需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】(2024·山东省德州市·)如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使．
【变式训练2-4】如图，在中，，如果要用“”证明，应增加的条件是 ．
【变式训练2-5】如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，，，要使，根据还需要添加一个条件是 ．
题型三：找出全等三角形的判断依据
【例题3】(23-24八上·福建厦门第五中学·期中)如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】(2025九·贵州省铜仁市·模拟)木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】(24-25八上·河南周口郸城县名校·月考)年月日—月日，河南宜阳举办“洛水昌谷风筝节”，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（ ）

A． B． C． D．
【变式训练3-3】(24-25八上·吉林吉林永吉县大学区·期末)如图是小明制作的风筝，他根据，，不用度量，就知道，小明是通过全等三角形的判定和性质得到的结论，请问小明用的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】(24-25八上·浙江杭州拱墅区区文晖中学·期中)如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，这一做法用到三角形全等的判定定方法是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-5】尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是 ．
题型四：利用“SSS”判定三角形全等（基础题）
【例题4】如图，点B，C，E，F在同一直线上，，，．求证：．
【变式训练4-1】(24-25八上·辽宁抚顺新宾县·期末)如图，已知在和中，，求证：
(1)；
(2)．
【变式训练4-2】(23-24八下·云南红河哈尼族彝族蒙自·期末)如图，．求证：．
【变式训练4-3】(24-25八上·河北廊坊广阳区·期末)如图，四边形，其中，．
(1)求证：；
(2)证明：．
【变式训练4-4】(24-25八上·河南周口太康县·期中)开封风筝是河南开封地区传统民间工艺品．开封风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色．每年农历正月至三月的庙会上，各式各样的风箏竞相牵放，景象十分壮观．图1是小华制作的风筝，图2是风筝骨架的示意图，其中，．
(1)求证：；
(2)小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．
【变式训练4-5】(24-25八上·广西柳州第二十二中学·期中)是的中点，，．求证：
(1)求证∶；
(2)证明：．
题型五：利用“SSS”证明三角形全等求角度
【例题5】如图，点D在线段上．若，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】(24-25八上·山西长治·期末)如图，在中，．以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，再分别以点A，D为圆心，，的长为半径画弧交于点E，连接，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】(24-25八上·河南淮阳中学·期末)如图，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-3】(24-25八上·湖北恩施州宣恩县沙道沟镇民族初级中学·期中)如图，、、三点在同一直线上，且，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】(24-25八上·吉林白城第三中学·月考)如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-5】(24-25七下·四川成都双流区九江初级中学·期中)如图，点C，E分别为的边，上的点，，，则的度数为 °．
题型六：找出全等三角形的对数
【例题6】(24-25七下·陕西咸阳武功县普集街道办南仁初级中学·期末)如图，的三个顶点分别在正方形网格的3个格点上．若在网格图中的格点上有一点（不与点，，重合），使得与全等，则这样的三角形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练6-1】如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
【变式训练6-2】(23-24八上·江苏泰州姜堰区·期中)三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有 个．
【变式训练6-3】(23-24八上·宁夏固原西吉县第七中学·期中)如图，在正方形网格内，有一个格点三角形（三个顶点都在正方形的格点上）；现需要在网格内构造一个新的格点三角形与全等，且有一条边与的一条边重合，这样的三角形可以构造出 个．
【变式训练6-4】(24-25八上·江苏宿迁沭阳县乡镇联考·月考)如图，由4个小正方形组成的田字格中，的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与全等的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有 个，
【变式训练6-5】(24-25七下·辽宁沈阳和平区第一三四中学·期中)在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．

题型七：全等三角形的性质与“SSS”综合
【例题7】(24-25七下·广东深圳龙岗区南湾街道沙湾中学·期中)如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，
(1)求证：．
(2)，，求当中边的取值范围．
【变式训练7-1】如图，点、、、在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【变式训练7-2】(24-25八下·河北保定高碑店·月考)如图，在中，是边上的一点，连接．垂直平分，垂足为，交于点，连接．
(1)若的长为6，的周长为7，求的周长．
(2)若，，求的度数．
【变式训练7-3】(24-25八下·山西阳泉盂县多校联考·期末)如图，点，，，在同一直线上，，，．
(1)求证：；
(2)已知，，求的度数．
【变式训练7-4】(24-25八上·重庆荣昌区·期末)如图，在△和△中，，，，四点在同一直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【变式训练7-5】(24-25八上·黑龙江·调研)如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．

(1)如图（1），求证：；
(2)如图（2），，，平分交于点G，求的度数．
题型八：全等三角形与“SSS”中多结论问题
【例题8】(24-25七上·山东淄博沂源县沂源县历山中学等校·期中)如图，在四边形ABDE中，，，点C是边BD上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；其中正确的结论个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【变式训练8-1】(24-25八下·四川达州渠县土溪镇初级中学·月考)已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【变式训练8-2】如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是的中点，是连接弹簧和伞骨的支架，且，则弹簧M在向上滑动的过程中，总有（ ）
A． B．
C．平分 D．
【变式训练8-3】(24-25八上·山东齐河县表白寺镇中学·月考)两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③，其中正确的结论有 （填序号）．

展开更多......

收起↑