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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破十一 全等三角形的判定之最值问题（20道）
1．(24-25七下·河北张家口桥西区·期末)在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键．
【详解】解：∵点是边的中点，，
∴，
在上取点，使得，
∵的角平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2．(23-24七下·浙江宁波镇海区蛟川书院·期末)如图，在中，，P、Q分别为边上两个动点，在运动过程中始终保持，连接和，当值达到最小时，的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，
此时，∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点H是的中点，
∴，
∴点P与点H重合，
∴，
∴，
故答案为：1．
3．(25-26九上·黑龙江哈尔滨美佳外国语学校·开学考)如图，在中，直线垂直平分分别交、于点D，E，点F为直线上任意一点，，，则周长的最小值是 ．
【答案】7
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，根据三角形三边关系可得，可知当点F与点D重合时，周长取最小值．
【详解】解：如图，连接，
直线垂直平分的边，
，
，
，当点F与点D重合时等号成立，
，
周长的最小值是7．
故答案为：7．
4．(24-25七下·广东清远清城区·期末)如图，在中，，垂直平分线段，，P是直线上的一点，若周长的最小值是17，则
【答案】
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形的三边关系的应用，先证明，结合周长的最小值是17，，可得的最小值为：，再进一步求解即可.
【详解】解：如图，连接，
垂直平分线段，
，
∵周长的最小值是17，，
∴的最小值为：，
此时，
∴.
故答案为：
5．(25-26八上·甘肃武威天祝藏族自治县第二中学·)如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可．
【详解】解：在上取一点，使得，连接，
∵平分，
∴，
∵是公共边，
∴，
∴，
∴，
当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为，
∵，
∴，
∴最小值为．
故答案为：．
6．如图，平分，于点D，点E是射线上的一个动点，若，则的最小值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查垂线段最短，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
过P作于E，由垂线段最短可得此时的长最小，根据角平分线的性质即可解答．
【详解】解：过P作于E，此时的长最小，
∵平分，，，
∴，
∴的最小值是3．
故答案为：3．
7．(24-25七下·陕西咸阳永寿县马坊中学·月考)如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查最短路线问题，解答中涉及垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键．
在上截取，连接，，证明，得到，由此得到，当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时，过点C作交于点F，根据面积求出的长即可解决问题．
【详解】解：在上截取，连接，，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∴当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时，
如图，过点C作交于点，
∵，，
∴，
解得，
∴的最小值为，
故答案为：．
8．(24-25七下·上海民办至德实验学校·期末)如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，垂线段最短，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
由线段垂直平分线的性质可得，则，当点A，点M，点D共线且时，有最小值，即有最小值为的长，由面积公式可求解．
【详解】解：连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴当点A，点M，点D共线且时，有最小值，即有最小值为的长，
∵，
∴，
故答案为：．
9．如图，在中，，E为的中点，D为上一点，交的延长线于点F．若，与之间的距离为5，则四边形的周长的最小值是 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，将问题转化为求的最小值是解答本题的关键，由已知条件可证，则有，则四边形FBCD的周长为，由此只需最小即可得到最小的周长，由垂线段最短可知，当，即时，四边形FBCD的周长最短，据此即可解答．
【详解】解：E为的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
当时最短，此时四边形的周长取最小值，
与之间的距离为5，，
当时，，
∴四边形周长的最小值为．
故答案为：16．
10．如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短．
连接，过点作于,利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论．
【详解】解：连接，过点作于．
面积为，，
，
，
垂直平分线段，
，
，
当的值最小时，的值最小，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
11．(24-25七下·陕西咸阳秦都区启迪中学·月考)如图，在中，AD是的角平分线，E，F分别是，上的动点．若，当的值最小时，的度数为 ．
【答案】
【分析】过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，证明垂直平分，推出，由三角形三边关系可知，，即的值最小为，通过证明，推出，因此利用三角形外角的性质求出即可．
本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出取最小值时点E的位置．
【详解】解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，
，
，
，
∴，
，，
垂直平分，
，
，
当点E在点处时，最小，
，
，
，
，
，
，
即当的值最小时，的度数为
故答案为：
12．(24-25七下·陕西西安碑林区·期末)如图，在四边形中，，连接，，且，，点E是边上一动点，则的最小值是 ．
【分析】过点C作于点H，证明，利用角的平分线性质定理，垂线段最短，解答即可．
本题考查了角的平分线性质定理，垂线段最短，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：过点C作于点H，
∵，，，
∴，
∴，
根据垂线段最短，
故的最小值是6，
故答案为：6．
13．(24-25八上·陕西安康汉阴县涧池初级中学·期末)如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质知，确定面积的最大值，即可获得答案．
本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．
【详解】解： 如下图，延长交于点，
∵为的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
当时，的面积取最大值，
即，
∴．
故答案为：．
14．(24-25七下·陕西咸阳永寿县·期末)如图，在中，，的平分线交于点，，，点为上一动点，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，构造辅助线是解题的关键．过点作于点．此时是点到直线的垂线段，根据“垂线段最短”， 的最小值等于的长度．
【详解】解：过点作于点．如图，
，
的平分线交于点，，
，
点为上一动点，
的最小值为的长，即的最小值是2，
故答案为：2．
15．(24-25七下·四川达州达川区·期末)如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，平行线的性质，过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解: 过作于，
∵，，
∴，
∵和分别平分和，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为，
故答案为：．
16．(24-25七下·江苏淮安淮安经济技术开发区开明中学·期中)如图，在和中，，，且点B、C、E在同一条直线上．点P是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，连接，由平角的定义可得，则，证明得到，则，根据即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，且点B、C、E在同一条直线上．
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为16，即的最小值为16，
故答案为：16．
17．(24-25七下·陕西西安交通大学附属中学·期末)如图，在锐角中，平分，，若、分别是、上的动点，当最小时， （用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查了垂线段最短，四边形内角和，角平分线的性质，先结合平分，平分，则过点C作，交于一点，过点E作，运用角平分线的性质得，则最小，则，根据，即可作答．
【详解】解：依题意，过点C作，交于一点，过点E作
∵平分，，
∴，
即（垂线段最短）
∵，，
∴
∵
∴．
故答案为：
18．(24-25七下·江苏泰州·期末)在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的高，利用垂直平分线的性质转化是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，则有，分析可知当三点共线时，有最小值，最小值为的长，此时是的高，再利用等面积法即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵垂直平分，点是上一动点，
∴，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，
∵，三点共线，
∴此时是的高，
∴
∴的最小值为．
故答案为：．
19．(24-25七下·四川成都石室联合中学·月考)如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 ．
【答案】/0.5
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，
此时，∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点H是的中点，
∴，
∴点P与点H重合，
∴，
∴，
故答案为：．
20．(24-25七下·陕西西安交通大学附属中学分校·期中)如图，在中，，，，D为中点，P为上的动点，连接，过点D作且，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了全等三角形判定与性质的综合应用，解决问题的关键是由题意证出．
先过作于，根据，可得，再根据当时，，即点与点重合，即可得出线段的最小值为 2 ．
【详解】解：∵点是中点，，
∴，
如图所示，过作于，则，
∵，
，
，
，
，
∴当时，，
即点与点重合，此时，
∴线段的最小值为 2 ．
故答案为：2．中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破十一 全等三角形的判定之最值问题（20道）
1．(24-25七下·河北张家口桥西区·期末)在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是 ．
2．(23-24七下·浙江宁波镇海区蛟川书院·期末)如图，在中，，P、Q分别为边上两个动点，在运动过程中始终保持，连接和，当值达到最小时，的值为 ．
3．(25-26九上·黑龙江哈尔滨美佳外国语学校·开学考)如图，在中，直线垂直平分分别交、于点D，E，点F为直线上任意一点，，，则周长的最小值是 ．
4．(24-25七下·广东清远清城区·期末)如图，在中，，垂直平分线段，，P是直线上的一点，若周长的最小值是17，则
5．(25-26八上·甘肃武威天祝藏族自治县第二中学·)如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ．
6．如图，平分，于点D，点E是射线上的一个动点，若，则的最小值是 ．
7．(24-25七下·陕西咸阳永寿县马坊中学·月考)如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ．
8．(24-25七下·上海民办至德实验学校·期末)如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为 ．
9．如图，在中，，E为的中点，D为上一点，交的延长线于点F．若，与之间的距离为5，则四边形的周长的最小值是 ．
10．如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ．
11．(24-25七下·陕西咸阳秦都区启迪中学·月考)如图，在中，AD是的角平分线，E，F分别是，上的动点．若，当的值最小时，的度数为 ．
12．(24-25七下·陕西西安碑林区·期末)如图，在四边形中，，连接，，且，，点E是边上一动点，则的最小值是 ．
13．(24-25八上·陕西安康汉阴县涧池初级中学·期末)如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的面积的最大值为 ．
14．(24-25七下·陕西咸阳永寿县·期末)如图，在中，，的平分线交于点，，，点为上一动点，则的最小值为 ．
15．(24-25七下·四川达州达川区·期末)如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为 ．
16．(24-25七下·江苏淮安淮安经济技术开发区开明中学·期中)如图，在和中，，，且点B、C、E在同一条直线上．点P是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ．
17．(24-25七下·陕西西安交通大学附属中学·期末)如图，在锐角中，平分，，若、分别是、上的动点，当最小时， （用含的代数式表示）．
18．(24-25七下·江苏泰州·期末)在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ．
19．(24-25七下·四川成都石室联合中学·月考)如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 ．
20．(24-25七下·陕西西安交通大学附属中学分校·期中)如图，在中，，，，D为中点，P为上的动点，连接，过点D作且，连接，则线段的最小值为 ．

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