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第二十七章 相似 综合素质评价卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1.观察下面每组图形，是相似图形的是(　　)
2．教材P25练习T1变式如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是(　　)
A．周长 B．面积
C．每个内角的度数 D．每条边的长度
(第2题) (第3题) (第4题)
3．如图，a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E和点B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝2.4，则BF的长为(　　)
A．5 B．5.6 C．6 D．6.5
4．如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3，若AB的长度为6，则DE的长度为(　　)
A．4 B．9 C．12 D．13.5
5．如图是老师画出的△ABC，已标出三边的长度．下面四个三角形与△ABC不一定相似的是(　　)
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB，AC于点D，E.若AD∶DB＝2∶3，则△ADE与△ABC的面积比为(　　)
A．2∶3 B．4∶9 C．4∶25 D．4∶21
(第6题) (第7题)
7. 凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC.若物体到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为5∶4，则物体被缩小到原来的(　　)
A. B. C. D.
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，B(4，1)，以原点O为位似中心，把△OAB按相似比2∶1放大，则点A的对应点A′的坐标是(　　)
A．(1，1) B．(4，4)或(8，2)
C．(4，4) D．(4，4)或(－4，－4)
(第8题) (第9题)
9．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：
①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD.
其中一定正确的是(　　)
A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②
10．如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE绕点A顺时针旋转到图②的位置，则图②中的值为(　　)
(第10题)
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)
11.教材P26例题变式若如图所示的两个四边形相似，则α的度数是________.
(第11题)　(第12题)
12. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔5 m有一棵树，小华站在离南岸20 m的点P处，在相邻两棵树之间的空隙中，恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾(假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平面内)．已知龙舟的长为18.5 m，若龙舟行驶在河的中心，且龙舟与河岸平行，则河宽为________m.
13．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是线段BC上一动点，若点D从点B开始向点C运动．设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是________.
(第13题)
三、解答题(本大题共4小题，共48分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
14.(9分)在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，3)，B(－3，1)，C(－1，2)，位置如图所示.
(1)将△ABC绕点O顺时针旋转 90°得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)将△ABC的三个顶点坐标分别乘－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2，并判断△ABC与△A2B2C2是否位似，若位似，直接写出△ABC与△A2B2C2的位似中心的坐标以及相似比．
15．(12分)如图，在△ABC中，点D是边AB上一点.
(1)当∠ACD＝∠B时，
①求证：△ABC∽△ACD；
②若AD＝1，BD＝3，求AC的长；
(2)若AB＝AC＝2AD，CD＝2，求BC的长．
16．(12分) 如图①，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点在地面上，经测量得到AB＝CD＝136 cm，OA＝OC＝51 cm，OE＝OF＝34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段．
【发现】连接AC，则AC与EF有何位置关系？请说明理由．
【探究】若EF＝32 cm，利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？
17．(15分)如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点P从点A出发，沿折线AB－BC以每秒1个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t s(0(1)求AC的长；
(2)如图②，当点P在BC上时，过点P作AC的垂线，垂足为D.
①求证：△ABC∽△PDC；
②当∠BAP＝45°时，求PD的长；
(3)设点P移动的路程为x，分别求出当0(4)过点P作PQ⊥AP，交AC于点Q.当CQ＝时，请直接写出t的值．
答案
一、1.B　2.C　3.C　4.B　5.C　6.C 7．A　8.D　9.D　10.B
二、11.87°　12.108　13.2
三、14.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
点B1的坐标为(1，3)．
(2)由题意得A2(4，－6)，B2(6，－2)，C2(2，－4)，△A2B2C2如图所示．
△ABC与△A2B2C2位似，位似中心为原点O(0，0)，相似比为.
15．(1)①证明：∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，
∴△ABC∽△ACD.
②解：∵AD＝1，BD＝3，
∴AB＝AD＋BD＝1＋3＝4.
∵△ABC∽△ACD，
∴＝，
∴AC＝＝＝2.
(2)解：∵AB＝AC＝2AD，
∴＝＝.
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴＝＝，
∴BC＝CD＝×2＝2.
16. 解：【发现】AC∥EF，理由如下：如图，
∵立杆AB，CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠EOF.
又∵＝＝＝，
∴△AOC∽△EOF，
∴∠OAC＝∠OEF，
∴AC∥EF.
【探究】如图，过点A作AM⊥BD于点M，过点O作ON⊥EF于点N，
∵OE＝OF＝34 cm，
∴△OEF是等腰三角形，
∴∠OEF＝∠OFE＝(180°－∠EOF)．
∵ON⊥EF，EF＝32 cm，
∴EN＝FN＝EF＝16 cm.
在Rt△OEN中，根据勾股定理，可得
ON＝＝＝30(cm)．
∵ON⊥EF，AM⊥BD，
∴∠ONE＝∠AMB＝90°.
∵OA＝OC，AB＝CD，
∴OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝(180°－∠BOD)，
∴∠OBD＝∠OEF，
∴△ABM∽△OEN，
∴＝，即＝，
∴AM＝120 cm.
∴利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于120 cm时，连衣裙才不会拖在地面上．
17．(1)解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10.
(2)①证明：∵PD⊥AC，
∴∠CDP＝∠B＝90°.
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△PDC.
②解：∵∠BAP＝45°，∠B＝90°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∴BP＝AB＝6，
∴CP＝BC－BP＝2.
∵△ABC∽△PDC，
∴＝，
∴＝，
∴PD＝1.2.
(3)解：当0∵∠AEP＝∠B＝90°，∠A＝∠A，
∴△AEP∽△ABC，
∴＝，∴＝，
∴PE＝x.
当6∵∠CFP＝∠B＝90°，∠C＝∠C，
∴△PFC∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴PF＝－x.
综上，当0＜x≤6时，点P到AC的距离为x；
当6＜x＜14时，点P到AC的距离为－x.
(4)解：t的值为或或.

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