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2026北师大版高中数学必修第一册
第二章　函数
§1　生活中的变量关系　§2　函数
2.1　函数概念
基础过关练
题组一　依赖关系与函数关系
　1.(2024江西景德镇一中月考)张大爷种植了10亩小麦,每亩施肥x千克,小麦的总产量为y千克,则(　　)
A.x,y之间有依赖关系　　　　B.x,y之间有函数关系
C.y是x的函数　　　　D.x是y的函数
2.(多选题)下列变量之间的关系,是函数关系的是(　　)
A.光照时间和果树的产量
B.圆的半径与圆的周长
C.等边三角形的边长和面积
D.某人的体重与其饮食情况
题组二　函数的概念及其应用
3.(多选题)(2025湖南怀化期中)下列四个图形中,是函数y=f(x)的图象的有(　　)
4.(2025浙江台州期中)下列关于x,y的关系式中,能表示y是x的函数的是(　　)
A.x+|y|=1　　　　B.x2+y2=1
C.2x2+y=1　　　　D.2x+y2=1
5.(多选题)(教材习题改编)下列各组函数中,表示同一函数的是(　　)
A. f(x)=x,g(x)=　　　　B. f(x)=x2,g(t)=|t|2
C. f(x)=x+1,g(x)=　　　　D. f(x)=,g(x)=
题组三　函数的定义域
6.(2025江西部分学校期中)函数f(x)=+的定义域为　　　　.
7.已知矩形的周长为1,在它的面积S与一条边的长x之间的函数关系中,定义域为　　　　.
8.(易错题)(1)函数f(x)的定义域是[0,3],则f(2x-1)的定义域是　　　　;
(2)函数f(2x-1)的定义域是[0,3],则f(x-3)的定义域是　　　　.
9.(2024江苏苏州期中)若函数f(x)=的定义域为R,则a的取值范围为　　　　.
题组四　函数的值和值域
10.(2025江苏南京金陵中学等校期中)已知函数f(x+1)=x2,则f(-1)=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4
11.(2025江西多校阶段检测)下列函数中,定义域、值域都与y=(x-2 020)2+1相同的是(　　)
A.y=　　　　B.y=-(x-2 019)2+1
C.y=|2x-1|　　　　D.y=
12.函数f(x)=的值域为　　　　;当x∈(1,+∞)时,f(x)的值域为　　　　.
13.函数y=3x-的值域为　　　　.
14.(2024湖南长沙明德中学月考)已知函数f(x)=(x≠0),则f(2)+f, f(3)+f的值分别为　　　　;f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)+f+f+…+f的值为　　　　.
能力提升练
　题组一　函数的概念及其应用
1.(2025江西南昌师大附中期中)已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4,16}.给出下列四个对应法则:①y=;②y=x+1;③y=|x|;④y=x2,则能构成从M到N的函数的是(　　)
A.①③　　　　B.①②　　　　C.③④　　　　D.②④
2.(多选题)(2025山东临沂三中月考)下列各项中,f(x)与g(x)是同一函数的是(　　)
A. f(x)=,g(x)=x-5(x≠-3)
B. f(x)=,g(x)=
C. f(x)=|x-3|,g(x)=
D. f(x)=()2,g(x)=2x-5
题组二　函数的定义域
3.(2025江苏南通期中)已知函数f(x-1)的定义域为(2,4),则函数f(x)+f(x2)的定义域为(　　)
A.(1,)　　　　B.(1,)　　　　C.(1,4)　　　　D.(1,9)
4.(2025江西南昌进贤二中期中)已知函数f(x+1)的定义域为[0,4],则函数g(x)=的定义域为(　　)
A.[1,3]　　　　B.[1,2)　　　　C.(0,2)　　　　D.[-1,7]
5.(多选题)(2025黑龙江鹤岗期中)使函数f(x)=的定义域是R的一个充分不必要条件是(　　)
A.0C.m≥4　　　　D.0≤m≤4
6.(2024四川成都七中期末)已知集合A={x|x≥4},g(x)=的定义域为B,若A∩B= ,则实数a的取值范围是　　　　.
题组三　函数的值和值域
7.(2025湖北武汉华中师大一附中月考)已知函数f(x)的定义域和值域都是[0,1],则函数f()的定义域和值域分别为(　　)
A.[1,]和[-1,0]　　　　B.[1,]和[0,1]
C.[-1,0]和[-1,0]　　　　D.[-1,0]和[0,1]
8.(2025广东揭阳一中段考)设函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(xy)=f(x)+f(y),若f(9)=6,则f(3)=(　　)
A.　　　　B.2　　　　C.　　　　D.
9.(2025安徽合肥期中)已知函数f(x)=-x2+4x+1在区间[0,m]上的值域为[1,5],则m的取值范围是(　　)
A.(0,2]　　　　B.(0,4]　　　　C.[2,4]　　　　D.[4,+∞)
10.(2025安徽滁州九校期中联考)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数,例如[-0.1]=-1,[2.8]=2.若函数f(x)=-1,则函数y=[f(x)]的值域是(　　)
A.{2}　　　　B.{1,2}
C.{-1,0,1,2}　　　　D.{-2,-1,0,1}
11.(2025四川南充高级中学期中)已知函数G(x)=.
(1)若函数G(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若函数G(x)的值域为[0,+∞),求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第二章　函数
§1　生活中的变量关系　§2　函数
2.1　函数概念
基础过关练
1.A 2.BC 3.ACD 4.C 5.BD 10.D 11.D
1.A　
2.BC　
3.ACD　根据函数的定义进行判断:对定义域内的每一个x,都有唯一一个实数y与之对应,结合选项知A,C,D符合;B中一个x可能对应两个y值,不符合函数的定义.
4.C　对于A,当x=0时,|y|=1,即y=±1,故A不满足题意;
对于B,当x=0时,y2=1,即y=±1,故B不满足题意;
对于C,原式可变形为y=-2x2+1,无论x的范围如何,对其中的每一个x,都有唯一确定的y与之对应,满足函数的定义,故C满足题意;
对于D,当x=0时,y2=1,即y=±1,故D不满足题意.
易错警示
对于函数y=f(x),可以一个x对应一个y,多个x对应一个y,但不可以一个x对应多个y,即函数可以是一对一或多对一,但不能是一对多.
5.BD　对于A,f(x)=x,g(x)=|x|,对应关系不同,不是同一函数;
对于B,f(x)=x2,g(t)=|t|2=t2,二者定义域相同,对应关系也相同,是同一函数;
对于C,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠1},二者定义域不同,不是同一函数;
对于D,f(x)=可化为f(x)=,其定义域为{x|x≠0},g(x)=可化为g(x)=,其定义域为{x|x≠0},是同一函数.
6.答案　(-∞,2)∪(2,3]
解析　由题意得解得x≤3且x≠2,故f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,3].
7.答案　
解析　不妨设矩形的长为x,则宽为(1-2x)=-x,
∴解得08.答案　(1)　(2)[2,8]
解析　(1)因为f(x)的定义域是[0,3],所以0≤x≤3,
由0≤2x-1≤3,得≤x≤2,所以f(2x-1)的定义域为.
(2)因为函数f(2x-1)的定义域是[0,3],
所以在f(2x-1)中,0≤x≤3,所以-1≤2x-1≤5,
所以在f(x-3)中,-1≤x-3≤5,解得2≤x≤8,
即f(x-3)的定义域为[2,8].
9.答案　(-2,2)
解析　由f(x)的定义域为R,得x2+ax+1=0无解,
∴Δ=a2-4<0,解得-210.D　f(-1)=f(-2+1)=(-2)2=4.
11.D　y=(x-2 020)2+1的定义域为R,值域为{y|y≥1}.
y=的定义域为{x|x≠0},排除A;
y=-(x-2 019)2+1的定义域为R,值域为{y|y≤1},排除B;
y=|2x-1|的定义域为R,值域为{y|y≥0},排除C;
y=的定义域为R,值域为{y|y≥1},D正确.
12.答案　∪;
解析　f(x)==-≠,故f(x)的值域为∪.当x>1时,4x+2>6,∴0<< 0<< -<-<0 0<-<,即当x∈(1,+∞)时,f(x)的值域为.
13.答案　
解析　令t=,则x=t2-1,t≥0,可得y=3(t2-1)-t=3t2-t-3=3-≥-,当且仅当t=,即x=-时,等号成立,所以函数的值域为.
14.答案　1,1;
解析　f(2)+f=+=+=1, f(3)+f=+=+=1.
由f(x)=,可得f(1)=,
f(x)+f=+=+==1(x≠0),
故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)+f+f+…+f=f(1)++f(3)+f+…+=+2 021=.
能力提升练
1.C 2.AC 3.B 4.B 5.AB 7.D 8.D 9.C
10.C
1.C　对于①,当x=2时,y= N,故①不满足题意;
对于②,当x=-1时,y=-1+1=0 N,故②不满足题意;
对于③,当x=-1时,y=1∈N,当x=1时,y=1∈N,
当x=2时,y=2∈N,当x=4时,y=4∈N,故③满足题意;
对于④,当x=-1时,y=1∈N,当x=1时,y=1∈N,
当x=2时,y=4∈N,当x=4时,y=16∈N,故④满足题意.
2.AC　对于A,f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(-3,+∞),且f(x)=x-5,故两个函数是同一函数,A正确;
对于B,f(x)的定义域为[1,+∞),g(x)的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),定义域不同,故不是同一函数,B错误;
对于C,f(x)=|x-3|=g(x)=
定义域和对应关系均相同,故是同一函数,C正确;
对于D,f(x)的定义域为,g(x)的定义域是R,定义域不同,故不是同一函数,D错误.
3.B　函数f(x-1)的定义域为(2,4),即2若f(x)+f(x2)有意义,则解得1则函数f(x)+f(x2)的定义域为(1,).
4.B　对于f(x+1),有0≤x≤4,则1≤x+1≤5,即f(x)的定义域为[1,5].
对于g(x),有即解得1≤x<2,所以g(x)的定义域为[1,2).
5.AB　若函数f(x)=的定义域是R,则mx2+mx+1≥0恒成立,
当m=0时,不等式为1≥0,恒成立;
当m≠0时,解得0综上,知f(x)的定义域是R的充要条件为0≤m≤4,
所以f(x)的定义域是R的充分不必要条件为{m|0≤m≤4}的真子集.结合选项知A,B符合题意.
6.答案　(-∞,3]
解析　由1-x+a>0,得x7.D　因为f(x)的定义域为[0,1],所以0≤≤1,即-1≤x≤0,所以f()的定义域为[-1,0].
又f(x)的值域为[0,1],所以f()的值域为[0,1].
8.D　对于f(xy)=f(x)+f(y),令x=y=3,则f(9)=f(3)+f(3),即2f(3)=6,可得f(3)=3;
令x=y=,则f(3)=f()+f(),即2f()=3,可得f()=;
令x=3,y=,可得f(3)=f(3)+f()=3+=.
解题技法
抽象函数问题通常用赋值法解决.
9.C　f(x)=-x2+4x+1=-(x-2)2+5,则f(0)=1,f(x)max=f(2)=5.令f(x)=1,解得x=0或x=4.作出f(x)的图象如图所示,
结合图象可知,若当x∈[0,m]时,f(x)的值域为[1,5],则m∈[2,4].
10.C　因为x2+1≥1,所以0<≤3,故-1①当-1②当0≤f(x)<1时,y=[f(x)]=0;
③当1≤f(x)<2时,y=[f(x)]=1;
④当f(x)=2时,y=[f(x)]=2,
所以函数y=[f(x)]的值域为{-1,0,1,2}.
11.解析　(1)由G(x)的定义域为R,知不等式(a2-1)x2-(a-1)x+1≥0的解集为R,
当a2-1=0时,a=±1,
若a=1,则不等式为1≥0,恒成立,解集为R,符合题意;
若a=-1,则不等式为2x+1≥0,解集不是R,不符合题意.
当a2-1≠0时,则满足
解得a≤-或a>1.
综上,实数a的取值范围是∪[1,+∞).
(2)令u(x)=(a2-1)x2-(a-1)x+1,u(x)的取值范围为集合A,则A [0,+∞),
当a2-1=0时,a=±1(易错点),
若a=1,则u(x)=1,不满足题意,
若a=-1,则u(x)=2x+1,满足题意;
当a2-1≠0时,则解得-≤a<-1.
综上,实数a的取值范围是.
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