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2026北师大版高中数学必修第一册
2.2　函数的表示法
基础过关练
题组一　函数的表示方法
　1.(2025广东佛山期中)已知函数f(x)、g(x)用列表法表示如下,则下列结论正确的是(　　)
x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1
x 1 2 3 4
g(x) 2 4 1 3
A. f(f(1))=4　　　　B.g(g(1))=1
C. f(g(1))=3　　　　D.g(f(1))=2
2.(多选题)(2025江西抚州期中)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成,则(　　)
A. f(f(-3))=1
B.若f(x)=4,则x=0
C.函数的定义域是(-∞,0]∪[2,3]
D.函数的值域是[1,5]
3. (2025江西临川第一中学阶段测试)在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从某商标中抽象出一个图象如图所示,其对应的函数的解析式可能是(　　)
A. f(x)=　　　　B. f(x)=
C. f(x)=　　　　D. f(x)=
题组二　函数解析式的求解
4.(2025河北石家庄期中)已知一次函数y=f(x)满足f(x+1)=2f(x)-x,则f(x)=(　　)
A.x-1　　　　B.x+1　　　　C.2x-1　　　　D.2x+1
5.(2025江西赣州中学期中)已知函数f(+2)=x,则函数f(x)的解析式为(　　)
A. f(x)=(x-2)2(x≥0)　　　　
B. f(x)=(x-2)2(x≥2)
C. f(x)=(x+2)2(x≥0)　　　　
D. f(x)=(x+2)2(x≥2)
6.(2024安徽淮南月考)已知函数f(2x-1)=3x-5,若f(x0)=4,则x0=　　　　.
7.(2025江西新余四中月考)求下列函数的解析式:
(1)已知二次函数f(x)满足f(0)=1,且f(x+1)-f(x)=2x;
(2)已知函数f(x)满足f(x)+2f =3x.
题组三　分段函数及其应用
8. (2025江西南昌三中期中)已知函数f(x)=则f(f(1))=(　　)
A.14　　　　B.5　　　　
C.1　　　　D.-1
9.(2025江西上饶质检)已知函数f(x)=若f(a)=3,则a=(　　)
A.2　　　　B.-4或2　　　　
C.0或2　　　　D.-4或0或2
10.函数f(x)=x+的图象是(　　)
　　　　　
　　　　
11.(2025江西师范大学附属上饶实验中学检测)已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论中错误的是(　　)
A. f(f(-1))=1
B.若f(x)=3,则x的值是
C. f(x)<1的解集为(-∞,1)
D. f(x)的值域为(-∞,4)
12.(2024河南郑州外国语学校月考)已知函数f(x)=在[0,a]上的值域为[0,1],则实数a的取值范围是　　　　.
13.(2025广东东莞光明中学期中)已知函数f(x)=
(1)求f(3),f ;
(2)在所给坐标系中画出函数f(x)的图象;
(3)若f(a)≤5,求a的取值范围.
能力提升练
题组一　函数的表示方法及应用
　1.(多选题)设f(x)=(x≠±1),则下列结论错误的有(　　)
A. f(2x)=　　　　
B. f(-x)=f(x)(x≠±1)
C. f=-f(x)(x≠0且x≠±1)　　　　
D. f=f(x)(x≠0且x≠±1)
2.(2025湖南邵阳期中)已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则满足f (g(x))>g(f(x))的x的值是(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.1和2
3.(2025湖南邵阳联考)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5 cm,AC=4 cm,点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿AC边向点C运动,同时点Q从点A出发,以2 cm/s的速度沿AB,BC边向点C运动,直到它们都到达点C为止.若△APQ的面积为S cm2,点P的运动时间为t s,则S与t的函数图象是(　　)
　　　　　　
题组二　函数解析式的求法
4.(多选题)(2025江西南昌进贤二中期中)若函数f(x)满足关系式f(x)+3f(2-x)=,则下列结论正确的是(　　)
A. f(-2)=　　　　B. f(-1)=f(1)
C. f(3)=-1　　　　D. f(3)+3f(-1)=
5.(多选题)(2024广东广州执信中学月考)若函数f(1-2x)=(x≠0),则(　　)
A. f=15　　　　
B. f(2)=-
C. f(x)=-1(x≠0)　　　　
D. f=-1(x≠0且x≠1)
6.(多选题)(2024浙江期中)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=x3f ,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),若f(x)+f(y)+xy=f(x+y),则下列说法正确的是(　　)
A. f(0)=0　　　　B. f(3)=3
C. f(x)-f(-x)=x　　　　D. f(x)=
题组三　分段函数及其应用
7.(2025江苏南京六校期中)已知函数f(x)=若f(a)=2,则f(5-a)的值为(　　)
A.1　　　　B.1或0
C.-1或1或0　　　　D.1或-1或
8.(2024江苏连云港赣榆期中)函数f(x)=的值域是(　　)
A.[-1,3]　　　　B.[-1,4]　　　　C.[-2,4]　　　　D.[-2,2]
9.(2025河南南阳质量评估)设A=,B=,f(x)=若m∈A,且f(f(m))∈A,则m的取值范围为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
10.(多选题)(2024湖南长沙明德中学月考)如图所示,函数f(x)的图象由两条线段组成,则下列关于函数f(x)的说法中正确的是(　　)
A. f(2)>f(0)
B. f(f(1))=3
C. f(x)=2|x-1|-x+1,x∈[0,4]
D. a>0,使不等式f(x)≤a的解集为
11.(2025湖北鄂东南省级示范高中期中)设函数f(x)=关于x的方程f(x)=a有三个不等实根x1,x2,x3,且x112.(2025广东佛山期中)某城市出租车的计费标准如下:乘客上车后,行驶路程在3千米内(包括3千米)收费都是10元;超过3千米但不超过15千米的部分,按照2元/千米收费;超过15千米的部分,按照3元/千米收费.
(1)求乘客付费金额y(单位:元)与行驶路程x(单位:千米)之间的函数关系式,其中x>0;
(2)若甲乘坐出租车前往20千米远的A地,当出租车行驶了15千米后,甲是继续乘坐这辆出租车,还是此时换乘一辆出租车到达A地的付费金额更少 并说明理由;
(3)若乙乘坐出租车需要行驶的路程为x千米,且1513.(2025四川南充高级中学期中)如图,△OAB是边长为2的正三角形,记△OAB位于直线x=t(t>0)左侧的图形(如图中阴影部分)的面积为f(t).
(1)求函数y=f(t)的解析式;
(2)记函数g(t)=,求g(t)的最大值及相应的t的值.
答案与分层梯度式解析
2.2　函数的表示法
基础过关练
1.C 2.AD 3.B 4.B 5.B 8.B 9.B 10.C
11.C
1.C　由题中表格得f(1)=2,f(2)=3,g(1)=2,g(2)=4.
f(f(1))=f(2)=3,A错误; g(g(1))=g(2)=4,B错误;f(g(1))=f(2)=3,C正确;g(f(1))=g(2)=4,D错误.
2.AD　对于A,由题图知f(-3)=2,f(2)=1,所以f(f(-3))=f(2)=1,A正确;
对于B,易知直线y=4与f(x)的图象有两个交点,所以f(x)=4时,x不一定为0,B错误;
对于C,D,由题图可知,函数f(x)的定义域为[-3,0]∪[2,3],值域为[1,5],C错误,D正确.
3.B　由题图知f(x)的定义域为{x|x≠±1},
A中f(x)的定义域为{x|x≠1},B,C中f(x)的定义域均为{x|x≠±1},D中f(x)的定义域为R,故排除A,D;
又由题中图象知f(0)=1,故排除C.
4.B　设f(x)=kx+b(k≠0),
则由f(x+1)=2f(x)-x,得k(x+1)+b=2(kx+b)-x,
即kx+k+b=(2k-1)x+2b,则得则f(x)=x+1.
5.B　解法一:由题意得f(+2)=(+2-2)2,其中+2≥2,
所以f(x)=(x-2)2(x≥2).
解法二:设t=+2,则x=(t-2)2且t≥2,因为f(+2)=x,所以f(t)=(t-2)2,故f(x)=(x-2)2(x≥2).
6.答案　5
解析　解法一:令t=2x-1,则x=,
故f(t)=-5=t-.
因为f(x0)=4,所以x0-=4,解得x0=5.
解法二:由已知得解得
7.解析　(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(0)=c=1,
因为f(x+1)-f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+1]-(ax2+bx+1)=2ax+a+b=2x,
所以解得
因此f(x)=x2-x+1.
(2)由f(x)+2f=3x①,可得f+2f(x)=②,联立①②解得f(x)=-x(x≠0).
8.B　f(1)=f(-1)=5,∴f(f(1))=f(5)=f(3)=f(1)=f(-1)=5.
9.B　若a≥0,则f(a)=2a-1=3,解得a=2;
若a<0,则f(a)=a2+4a+3=3,解得a=-4或a=0(舍去).
故a=2或a=-4.
10.C　函数f(x)=x+=作出函数图象,如图.
11.C　f(-1)=-1+2=1,则f(f(-1))=f(1)=12=1,故A中结论正确;
当x≤-1时,令x+2=3,解得x=1(舍去),
当-1当x≤-1时,令x+2<1,解得x<-1,
当-1所以f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),故C中结论错误;
当x≤-1时,f(x)∈(-∞,1],
当-1因此f(x)的值域为(-∞,4),故D中结论正确.
12.答案　[1,1+]
解析　画出f(x)=的图象,如图:
由x2-2x=1,解得x=1-(舍)或x=1+,
∴要使函数f(x)=在[0,a]上的值域为[0,1],则实数a的取值范围是[1,1+].
13.解析　(1)f(3)=2×3=6,f ==.
(2)函数f(x)的图象如图所示.
(3)当a≤1时,由f(a)≤5得a+2≤5,解得a≤3,所以a≤1;
当1当a≥2时,由f(a)≤5得2a≤5,解得a≤,所以2≤a≤.
综上所述,实数a的取值范围为.
能力提升练
1.AD 2.B 3.C 4.ABD 5.AD 6.AC 7.B 8.C
9.D 10.BC
1.AD　因为f(x)=(x≠±1),
所以f(2x)==,
f(-x)==f(x)(x≠±1),
f===-f(x)(x≠0且x≠±1),
f===-f(x)(x≠0且x≠±1).
2.B　当x=1时, f(g(1))=f(3)=1,g(f(1))=g(1)=3,不符合题意;
当x=2时, f(g(2))=f(2)=3,g(f(2))=g(3)=1,符合题意;
当x=3时, f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,不符合题意.
综上,满足f(g(x))>g(f(x))的x的值为2.
3.C　在Rt△ABC中,由勾股定理得BC===3(cm),
根据题意知点Q到达点B的时间是 s,到达点C的时间为=4(s),点P到达点C的时间为4 s,当点Q在AB边上时(不含端点),0如图1,过点Q作QD⊥AC于点D,则DQ∥BC,
∴△ADQ∽△ACB,∴=,∴=,
解得DQ=t cm,∴S=PA·DQ=×t×t=t2(cm2);
　
当点Q在BC边上时,≤t≤4,BQ=(2t-5)cm,AP=t cm,如图2,
∴CQ=(8-2t)cm,PC=(4-t)cm,
∴S=AP·CQ=·t·(8-2t)=(-t2+4t)cm2.
综上所述,S与t的函数关系式为S=
∴函数图象的第一段为过原点且开口向上的抛物线的一部分,第二段为自左向右逐渐下降且开口向下的抛物线的一部分.结合选项知C中图象符合.
4.ABD　对于f(x)+3f(2-x)=①,用2-x代换x,则f(2-x)+3f(x)=②,由3×②-①,并整理,得f(x)=-,故f(-2)=,f(3)=-,A正确,C错误;
f(-1)=+=,f(1)=-=,即f(-1)=f(1),B正确;
由①式知,当x=3时,f(3)+3f(-1)=,D正确.
5.AD　令1-2x=t,则x=,因为x≠0,所以t≠1,
则f(t)==-1(t≠1),
即f(x)=-1(x≠1),
所以f=-1=16-1=15,
f(2)=-1=4-1=3,
f=-1=-1(x≠0且x≠1).
6.AC　在f(x)+f(y)+xy=f(x+y)中,令x=y=0,
则f(0)=0,故A正确;
令y=-x,则f(x)+f(-x)-x2=f(0)=0,即f(x)+f(-x)=x2①,
所以当x≠0时,f +f =,即f =-f ,又f(x)=x3f ,所以f(x)=x3-f =x-x3f =x+f(-x),即f(x)-f(-x)=x(x≠0)②,
又f(0)=0也符合②式,故f(x)-f(-x)=x③,故C正确;
联立①③,解得f(x)=,故D错误;
f(3)==6,故B错误.
7.B　依题意得①或②或③,
易知①无解;解②得a=4,则f(5-a)=f(1)==1;
解③得a=6(a=2舍),则f(5-a)=f(-1)=2×(-1)+2=0.
故f(5-a)的值为1或0.
8.C　当-3≤x≤0时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,
则当x=-1时,f(x)min=-2,当x=-3时,f(x)max=4-2=2,则f(x)∈[-2,2];
当0综上所述,f(x)∈[-2,4].
9.D　当x∈时,f(x)=x+∈,且f=;当x∈时,f(x)=2-2x∈[0,1),且f=,作出f(x)的图象,如图,
若f(f(m))∈A,即f(f(m))∈,则≤f(m)≤1,又m∈A,故由图象可知≤m≤.
10.BC　根据题意,可知函数f(x)为分段函数,且其图象过点(0,3),(1,0),(4,3),
当0≤x<1时,设f(x)=kx+b,
将(0,3),(1,0)代入,可得所以即f(x)=-3x+3;
当1≤x≤4时,设f(x)=mx+n,
将(1,0),(4,3)代入,可得所以故f(x)=x-1,
故f(x)=
选项A,f(2)=1选项B,f(f(1))=f(0)=3,所以B正确;
选项C,f(x)=2|x-1|-x+1=所以C正确;
选项D,由函数图象知,若 a>0,使f(x)≤a的解集为,则f=f(2)=a,又f=2, f(2)=1,所以D错误.
11.答案　
解析　 画出函数f(x)的图象,如图,
由图可知当-1显然横坐标为x1,x2的两交点关于直线x=1对称,则x1+x2=2,因此2x1+2x2=4;
另一个交点位于直线y=-2x+6上,在y=-2x+6中,当-112.解析　(1)依题意,当0当3当x>15时,y=10+2×12+3(x-15)=3x-11.
综上,y=
(2)若不换乘,则甲需付费3×20-11=49(元);
若换乘,则甲需付费2×15+4+2×5+4=48(元).
综上,甲此时换乘一辆出租车到达A地的付费金额更少.
(3)若不换乘,则乙需付费(3x-11)元.
若换乘,则有以下几种情况:
①当15因为3x-11≤43<44,所以乙不换乘的付费金额更少.
②当18因为3x-11-(2x+8)=x-19,
所以当18当x=19时,乙换乘与不换乘的付费金额一样多;
当19综上,当1513.解析　(1)设直线x=t(t>0)与x轴交于点C(t,0),与线段OB或BA交于点D,
由已知得B(1,),A(2,0),S△OAB=.
当0当1当t≥2时,f(t)=S△OAB=,
所以y=f(t)=
(2)由(1)可得g(t)==
当0当1;
当t≥2时,g(t)=≤.
综上所述,当t=时,g(t)取得最大值,为2-.
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