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2026北师大版高中数学必修第一册
§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1　函数的奇偶性
基础过关练
题组一　奇偶性的概念及图象特征
1.(多选题)下列说法不正确的是(　　)
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数
C.若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数
D.图象过原点的奇函数必是单调函数
2.(2025重庆南开中学月考)已知函数f(x)的定义域为R,则“y=f(x)为奇函数”是“y=|f(x)|为偶函数”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　
B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　
D.既不充分也不必要条件
3.(2025湖南多校期中联考)若f(x)与g(x)均为定义在R上的奇函数,则函数h(x)=f(x)g(x)的部分图象可能为(　　)
　　　　　　　　
　　　　
题组二　奇偶性的判定
4.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)(　　)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
5.(多选题)(2025江西宜春丰城九中期中)下列函数中,是偶函数且在区间(0,1)上单调递增的是　　(　　)
A.y=x2-2　　　　B.y=　C.y=|x|+ D.y=
6.(2025湖北荆州中学月考)若函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(　　)
A. f(x)=　　　　B. f(x)=
C. f(x)=　　　　D. f(x)=
7.(2025江西多校阶段测试)若函数f(x)=x-,则下列函数中为奇函数的是(　　)
A.F(x)=f(x+1)-2　　　　B.F(x)=f(x-1)-2
C.F(x)=f(x-1)+2　　　　D.F(x)=f(x+1)+2
8.(教材习题改编)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=
题组三　奇偶性的应用
9.(2024江西宜春期末)若函数f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数,则f =(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.2
10.(2025江西赣州中学期中)设f(x)为R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2+a-1,则f(a)=(　　)
A.-2　　　　B.2　　　　C.0　　　　D.4
11.(2025江苏盐城期末)若奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=x3+x2+2,则f(1)+g(0)=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
12.(2025浙江绍兴上虞中学期中)已知函数y=f(x+2)是偶函数,y=f(x)在[2,+∞)上单调递减,则(　　)
A. f(2)C. f(-1)13.(2025江西上饶一中期中)已知f(x)是定义在区间[-2,2]上的偶函数,当x∈[0,2]时,满足对任意的x1≠x2,都有>0成立,若f(2+m)A.　　　　B.　　　　
C.(-1,0)　　　　D.
14. (2024甘肃张掖民乐第一中学期中)已知f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,f(-2 015)=0,则xf(x)>0的解集为(　　)
A.(-∞,-2 015)∪(2 015,+∞)　　　　
B.(-∞,-2 015)∪(0,2 015)
C.(-2 015,0)∪(0,2 015)　　　　
D.(-2 015,0)∪(2 015,+∞)
15.(2025江西上饶月考)已知函数f(x)是R上的偶函数,当x≤0,f(x)=-x2+4x-3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(2m-1)16.(2025江西南昌二中月考)已知定义在(-2,2)上的函数f(x)=的图象关于原点对称,且f(-1)=-.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断并用定义证明f(x)的单调性;
(3)解不等式f(2x+1)+f(x-2)>0.
能力提升练
题组一　奇偶性的判定
　1.(2025江西南昌大学附属中学期中)函数f(x)=的图象大致是(　　)
　　　　　　　　
　　　　
2.(2025河北邢台一中月考)已知函数f(x)的定义域是R,则下列判断不正确的是(　　)
A.若f(x)是偶函数,g(x)为奇函数,则g(f(x))是偶函数
B.若f(x)是偶函数,g(x)为奇函数,则f(g(x))是偶函数
C.若f(x)是单调递减函数,则f(f(x))也是单调递减函数
D.若f(x)是单调递增函数,则f(f(x))也是单调递增函数
3.(2023安徽部分示范高中期中联考)设函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足:①x∈(-1,0)时, f(x)>0;②f(x)+f(y)=f ,x,y∈(-1,1).则f(x)是　　　　函数(填“奇”或“偶”),且f(x)在定义域上单调递　　　　(填“增”或“减”).
题组二　函数奇偶性的综合应用
4.(2025江西月考)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且在[0,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,f(2)=0,则不等式(x+1)f(x)≥0的解集为(　　)
A.(-∞,-2]∪[0,1]∪[2,+∞)
B.(-∞,-1]∪[0,1]∪[2,+∞)
C.(-∞,-2]∪[-1,0]∪[1,+∞)
D.(-∞,-2]∪[-1,0]∪[2,+∞)
5.(2024天津河东期中)已知函数f(x+2)是偶函数,当x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2)时,[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0恒成立,设a=f(1),b=f ,c=f ,则a,b,c的大小关系为　　(　　)
A.c6.(2024湖北新高考联考协作体期中)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数, f(-2x+1)为奇函数,则(　　)
A. f(-1)=0　　　　B. f(2)=0　　　　
C. f(4)=0　　　　D. f=0
7.(2024重庆第八中学期末)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(3)+f(4)=6,则f =(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.　　　　D.
8.(多选题)(2025山东威海期中)已知函数f(x)为R上的奇函数,且对任意的x∈R,f(4-x)-f(4)=f(x)成立,当x∈[0,2]时,f(x)单调递增,则(　　)
A. f(4)=0
B.直线x=6是f(x)图象的一条对称轴
C. f(1)=f(5)
D. f(-1)+f(3)=0
9.(2025江西南昌十中期中)已知f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,满足f(x)+g(x)=ax2+x+2,若对任意的1-5成立,则实数a的取值范围是　　　　.
10.(2024湖南岳阳期末)已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2.
(1)求f(0)的值,并判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)的单调性,并求f(x)在区间[-3,3]上的最大值;
(3)若f(x)11.(创新题)(新考法·思维迁移能力创新)(2025江苏天一中学期中)我们知道,函数y=f(x)为奇函数的充要条件是函数y=f(x)的图象关于坐标原点中心对称,有同学发现该结论可以推广如下:函数y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.
(1)已知函数f(x)=mx3-nx+5,且f(5)=3,求f(-5)的值;
(2)已知函数g(x)=x3-9x2-6x+73.
(i)求g(x)的图象的对称中心;
(ii)若g(x)与h(x)=的图象有四个公共点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),求y1+y2+y3+y4的值.
答案与分层梯度式解析
§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1　函数的奇偶性
基础过关练
1.ABD 2.A 3.B 4.B 5.AD 6.D 7.C 9.D
10.A 11.C 12.D 13.B 14.A
1.ABD　A项,若定义域不包含0,则图象与y轴不相交;B项,令f(x)=x2,此时满足f(0)=0,但f(x)不是奇函数;易知C项中说法正确;D项,图象过原点的奇函数不一定是单调函数.
2.A　若y=f(x)为奇函数,则|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,即y=|f(x)|为偶函数,充分性成立;若y=|f(x)|为偶函数,如y=|x2|,而y=x2为偶函数,故不能得到y=f(x)为奇函数,必要性不成立,故为充分不必要条件.
3.B　因为f(x)与g(x)均为定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x),h(x)的定义域也为R,
所以h(-x)=f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x)=h(x),
所以h(x)为偶函数,其图象关于y轴对称且h(0)=f(0)g(0)=0,结合选项知B符合要求.
4.B　∵F(x)的定义域为(-a,a),关于原点对称,且F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),∴F(x)是偶函数.
5.AD　易知A符合题意;y=是奇函数,B不符合题意;当x∈(0,1)时,y=|x|+=x+单调递减,C不符合题意;y=是偶函数,且当x>0时,y==x,其在区间(0,1)上单调递增,D符合题意.
6.D　由题图可知,f(x)为偶函数,且f(0)<0.
对于A,定义域为R,且f(-x)==-=-f(x),则f(x)为奇函数,故A不符合;
对于B,f(0)=1>0,故B不符合;
对于C,定义域为R,且f(-x)===f(x),则f(x)为偶函数,易得f(x)=其图象为两条射线,与题图不符,故C不符合;
对于D,定义域为R,且f(-x)===f(x),则f(x)为偶函数,又f(0)=-3,满足题中图象的特点,故D符合.
7.C　f(x)=x-=x+1--1=x+1+-2,则f(x-1)+2=x+,
令g(x)=x+,则g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
又g(-x)=-x-=-g(x),故g(x)为奇函数,即F(x)=f(x-1)+2为奇函数,C符合题意.同理可知A,B,D均不符合题意.
8.解析　(1)依题意得x2-1≥0,且1-x2≥0,即x=±1,
故f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0.
∵f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x),
∴f(x)既是奇函数,也是偶函数.
(2)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(3)易得函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,
当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
易错警示
对于分段函数f(x)的奇偶性的判断,首先要看定义域是否关于原点对称,其次要分类讨论,注意只有当每一段解析式都满足f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))时,才可以说f(x)是奇(偶)函数.
9.D　因为f(x)是定义在(-b,2b-2)上的偶函数,
所以则
所以f(x)=x2+1,则f =f(1)=12+1=2.
10.A　由题意得f(0)=a-1=0,解得a=1,所以当x≤0时,f(x)=2x2,故f(a)=f(1)=-f(-1)=-2×(-1)2=-2.
名师点拨
若f(x)是在x=0处有定义的奇函数,则必有f(0)=0.
11.C　由f(x)是奇函数,知f(-x)=-f(x),由g(x)是偶函数,知g(-x)=g(x),
又f(x)+g(x)=x3+x2+2①,所以f(-x)+g(-x)=(-x)3+(-x)2+2,即-f(x)+g(x)=-x3+x2+2②,
联立①②,解得因此f(1)+g(0)=1+2=3.
12.D　因为y=f(x+2)是偶函数,所以f(-x+2)=f(x+2),即y=f(x)的图象关于直线x=2对称,故f(-1)=f(5),又因为y=f(x)在[2,+∞)上单调递减,5>3>2,故f(5)二级结论
(1)函数y=f(x+a)为偶函数 f(x)的图象关于直线x=a对称;
(2)函数y=f(x+a)为奇函数 f(x)的图象关于点(a,0)对称.
13.B　由题意得f(x)在[0,2]上单调递增,
因为f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,
所以f(2+m)因此|2+m|<|2m|①,且|2m|≤2②,
解①得m<-或m>2,解②得-1≤m≤1,故-1≤m<-,所以实数m的取值范围为.
14.A　由f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,可得f(x)在(-∞,0)上单调递增,f(0)=0,f(2 015)=-f(-2 015)=0,画出f(x)的大致图象如图所示,
xf(x)>0等价于或
解得x>2 015或x<-2 015,
所以不等式xf(x)>0的解集为(-∞,-2 015)∪(2 015,+∞).
15.解析　(1)当x>0时,-x<0,
由题意可得f(x)=f(-x)=-(-x)2+4(-x)-3=-x2-4x-3,
所以f(x)=
(2)因为y=-x2+4x-3的图象开口向下,对称轴为直线x=2,所以f(x)在(-∞,0]内单调递增,
又f(x)是R上的偶函数,所以f(x)在(0,+∞)内单调递减,
若f(2m-1)|m+1|,
整理可得m2-2m>0,解得m>2或m<0,
所以实数m的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).
16.解析　(1)由题意可得f(0)==0,即b=0,则f(x)=,
又f(-1)==-,故a=1,则f(x)=,
此时有f(-x)==-f(x),且f(x)的定义域为(-2,2),故f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故a=1,b=0.
(2)f(x)在(-2,2)上单调递增,证明如下:
任取x1,x2∈(-2,2),且x1由(1)知f(x)的解析式为f(x)=,
则f(x1)-f(x2)=-=
==,
由-20,x1-x2<0,(4-)(4-)>0,
故f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在(-2,2)上单调递增.
(3)由(1)可得f(x)为奇函数,则f(2x+1)+f(x-2)>0即f(2x+1)>-f(x-2)=f(2-x),
又f(x)在(-2,2)上单调递增,所以解得能力提升练
1.D 2.C 4.D 5.C 6.A 7.B 8.ABD
1.D　f(x)的定义域为R,且f(-x)==-=-f(x),
所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故排除A,B;
又当x>0时f(x)>0恒成立,故排除C.
解题模板
已知函数解析式判断函数图象时,一般先判断函数的奇偶性,再判断函数值的符号,必要时还可用特殊值进行判断.
2.C　对于A,令h(x)=g(f(x)),则h(-x)=g(f(-x))=g(f(x))=h(x),所以h(x)为偶函数,即g(f(x))是偶函数,故A中判断正确;
对于B,令m(x)=f(g(x)),则m(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=f(g(x))=m(x),所以m(x)是偶函数,即f(g(x))是偶函数,故B中判断正确;
对于C,不妨取f(x)=-x,则f(x)在R上单调递减,
而f(f(x))=f(-x)=x,其在R上单调递增,故C中判断错误;
对于D,任取x1,x2∈R,且x1所以f(f(x))也是单调递增函数,故D中判断正确.
3.答案　奇;减
解析　对于f(x)+f(y)=f ,
令x=y=0,得f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0,
令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,
又因为f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,
所以f(x)为奇函数.
任取x1,x2∈(-1,0),且x1因为-1所以1-x1x2>0,所以<0,
因为+1=>0,所以>-1,
所以-1<<0,
由条件①得f >0,
所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x)在(-1,0)上单调递减,
又f(x)为奇函数,所以f(x)在(-1,1)上单调递减.
4.D　由题意知f(0)=0,f(-2)=-f(2)=0,画出f(x)的大致图象,如图所示:
对于不等式(x+1)f(x)≥0,
当x+1≥0,即x≥-1时,f(x)≥0,由图可知x∈[-1,0]∪[2,+∞);
当x+1≤0,即x≤-1时,f(x)≤0,由图可知x∈(-∞,-2],
因此原不等式的解集为(-∞,-2]∪[-1,0]∪[2,+∞).
5.C　∵当x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2)时,[f(x1)-f(x2)]·(x1-x2)<0恒成立,∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,
∵f(x+2)是偶函数,即f(2+x)=f(2-x),∴f(x)的图象关于直线x=2对称,
∴a=f(1)=f(3),c=f =f ,
又f(x)在[2,+∞)上单调递减,<3<,
∴f >f(3)>f ,即f >f(1)>f ,
∴b>a>c.
6.A　∵f(x)的定义域为R, f(x+2)为偶函数,∴f(2-x)=f(2+x),可得f(-x)=f(4+x)①,
∵f(-2x+1)为奇函数,∴f(1)=0(奇函数的特殊值),且-f(-2x+1)=f(2x+1),
令2x=t,则-f(-t+1)=f(t+1),则-f(-t)=f(t+2),即f(-x)=-f(2+x)②,
由①②得f(2+x)=-f(4+x),∴f(x)=-f(2+x),
∵f(1)=0,∴f(-1)=-f(2+(-1))=-f(1)=0,
∴A正确,B,C,D无法判断.
7.B　由f(x+1)为奇函数,得f(-x+1)=-f(x+1),即f(x)=-f(2-x),由f(x+2)为偶函数,得f(-x+2)=f(x+2),即f(x)=f(4-x),
所以f(2-x)=-f(4-x),即f(x)=-f(x+2),所以f(x)=f(x+4),
因为f(-x+1)=-f(x+1)且f(-x+2)=f(x+2),
所以令x=1,可得f(0)=-f(2)且f(1)=f(3),
所以f(3)+f(4)=6,即f(3)+f(0)=6,即f(1)-f(2)=6,
因为x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,所以a+b-(4a+b)=6,解得a=-2,
由f(-x+1)=-f(x+1),可得f(1)=-f(1),即f(1)=0,所以f(1)=a+b=0,所以b=2,
所以x∈[1,2]时,f(x)=-2x2+2,则f=f=-f=2×-2=.
8.ABD　因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0.
A中,对于f(4-x)-f(4)=f(x)①,令x=4,则f(0)-f(4)=f(4),得f(4)=0,故A正确;
B中,由A知f(4)=0,则由①得f(4-x)=f(x)②,
对于②,令x=t+2,得f(2-t)=f(2+t)=-f(-2-t),即f(t-2)=f(-2-t),
令x=t+6,得f(-2-t)=f(t+6),令x=t-2,得f(6-t)=f(t-2),
则f(6-t)=f(t+6),故直线x=6是函数f(x)图象的一条对称轴,故B正确;
C中,对于①,令x=5,得f(4-5)-f(4)=f(5),
由A知f(4)=0,所以f(-1)=-f(1)=f(5),又x∈[0,2]时,f(x)单调递增,故f(1)>f(0)=0,则f(1)≠f(5),故C错误;
D中,对于①,令x=3,得f(4-3)-f(4)=f(3),所以-f(1)+f(3)=0,即f(-1)+f(3)=0,故D正确.
9.答案　
解析　由f(x)+g(x)=ax2+x+2①,得f(-x)+g(-x)=ax2-x+2,
因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以-f(x)+g(x)=ax2-x+2②,
联立①②,解得g(x)=ax2+2,
又对任意的1-5成立,
所以g(x1)-g(x2)<-5x1+5x2,即g(x1)+5x1构造h(x)=g(x)+5x=ax2+5x+2(关键点),
由上述分析可得h(x)=ax2+5x+2在x∈(1,2)上单调递增,
若a<0,则h(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=-,故-≥2,解得a≥-,所以-≤a<0;
若a=0,则h(x)=5x+2,其在x∈(1,2)上单调递增,满足题意;
若a>0,则h(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=-,故-≤1,此式在a>0时恒成立.
综上,a∈.
10.解析　(1)对于f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=0,则f(0+0)=2f(0),所以f(0)=0.
令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,
所以f(x)=-f(-x)对任意x∈R恒成立,
所以f(x)为奇函数.
(2)任取x1,x2∈R,且x10,
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)当x∈[-3,3]时,f(x)单调递减,
所以f(x)max=f(-3),
因为f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3×(-2)=-6,且f(x)为奇函数,所以f(-3)=-f(3)=6,
故f(x)在区间[-3,3]上的最大值为6.
(3)由(2)知f(x)在区间[-1,1]上单调递减,
所以f(x)≤f(-1)=-f(1)=2,
因为f(x)所以m2-2am>0对任意a∈[-1,1]恒成立,
令g(a)=-2am+m2,则即
解得m>2或m<-2.
故实数m的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).
11.解析　(1)由f(-x)+f(x)=m(-x)3-n(-x)+5+mx3-nx+5=10(实质是f(x)的图象关于点(0,5)中心对称),得f(-5)+f(5)=10(由一般到特殊),
又f(5)=3,所以f(-5)=7.
(2)(i)设对称中心的坐标为(a,b),
由题意可知y=g(x+a)-b为奇函数,
则对任意x∈R,g(-x+a)-b=-g(x+a)+b恒成立,
即(-x+a)3-9(-x+a)2-6(-x+a)+73-b=-(x+a)3+9(x+a)2+6(x+a)-73+b,
所以(6a-18)x2+2a3-18a2-12a+146-2b=0,
则解得a=3,b=1.
故函数g(x)=x3-9x2-6x+73的图象的对称中心为点(3,1).
(ii)易得h(x)==+1,
将y=的图象向右平移3个单位长度,再向上平移一个单位长度可得到h(x)的图象,
又y=的图象的对称中心为点(0,0),故h(x)的图象的对称中心为点(3,1),
则函数g(x)与h(x)的图象的四个公共点也关于点(3,1)对称,所以y1+y2+y3+y4=4.
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