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2026北师大版高中数学必修第一册
单元整合练　函数性质的综合应用
　1.(2025广东中山华侨中学月考)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是(　　)
A. f(x)是偶函数,单调递减区间是(1,+∞)
B. f(x)是偶函数,单调递增区间是(-∞,-1)
C. f(x)是奇函数,单调递减区间是(-∞,-1)
D. f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1)
2.(2025江西南昌三中期中)已知函数f(x)=x(|x|+1),且f(a2)+f(2a-3)<0,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-3,0)　　　　B.(-3,1)　　　　C.(-1,1)　　　　D.(-1,3)
3. (多选题)(2024河南郑州中牟期中)已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+,且f=0,当x>时,f(x)>0,则下列结论正确的是(　　)
A. f(0)=-　　　　
B. f(-1)=
C. f(x)为减函数　　　　
D.F(x)=f(x)+为奇函数
4. (多选题)(2025江西赣州中学期中)已知f(x)是定义在R上的函数.对任意的a,b∈R,总有f(a+b)=f(a)+f(b),f(-1)=,且x<0时,f(x)>0恒成立.则下列正确的是(　　)
A. f(2)=-
B. f(x)是偶函数
C. f(x)在(0,+∞)上单调递减
D.f+f+…+f=-
5.(多选题)(2025江西南昌二中月考)用[x]表示不超过x的最大整数,例如[-1.1]=-2,[1.6]=1.已知f(x)=x+[x],则(　　)
A. f=
B. f(x)为奇函数
C. f(x)为R上的增函数
D.y=f(x)的图象与直线y=x-1的所有交点的横坐标之和为4
6.(多选题)(2025湖北襄阳四中期中)设函数f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者,下列说法正确的有(　　)
A.函数f(x)为偶函数
B.当x∈[1,+∞)时,f(x-2)≤f(x)恒成立
C.当x∈R时, f(f(x))≤f(x)恒成立
D.当x∈[-4,4]时, f(x-2)≥f(x)恒成立
7.(创新题)(2025山西晋城期中)空集或非空有限集合A中所含元素的个数通常被称为集合A的基数或势,记作.如=0,=2.已知非空集合B满足:若实数x∈B,则必有∈B.
(1)求的最小值并给出证明;
(2)若定义在B上的函数f(x)满足:对任意x∈B都有f(x)+f =3x,求f(x)的解析式;
(3)若(2,+∞) B,对于(2)中的函数f(x),判断并证明f(x)在x∈(2,+∞)上的单调性.
8. (2024天津第四十七中学期中)已知函数f(x)=.
(1)若g(x)=f(x)-1,判断g(x)的奇偶性并加以证明;
(2)若a=.
①用定义证明函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,并求函数f(x)在[1,+∞)上的最小值;
②设h(x)=kx+5-2k,若对任意的x1∈[1,2],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)≤h(x2)成立,求实数k的取值范围.
9.(2025江西景德镇一中期中)设函数f(x)满足:①对任意实数m,n都有f(m+n)+f(m-n)=2f(m)f(n);②对任意m∈R,都有f(1+m)=f(1-m)恒成立;③f(x)不恒为0,且当0(1)求f(0),f(1)的值;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并给出你的证明;
(3)定义“若存在非零常数T,使得对定义域中的任意一个x,均有g(x+T)=g(x),则称g(x)是以T为周期的周期函数”.试证明:函数f(x)为周期函数,并求出f+f+f+…+f的值.
答案与分层梯度式解析
单元整合练　函数性质的综合应用
1.D 2.B 3.AD 4.ACD 5.ACD 6.ABC
1.D　f(x)的定义域为R,且f(-x)=-x|x|+2x=-(x|x|-2x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数.
当x≥0时,f(x)=x2-2x, f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),单调递减区间为(-1,1).
2.B　f(x)的定义域为R,且当x≥0时,f(x)=x2+x,易知函数y=x2+x在R上的图象的对称轴为直线x=-,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,∵f(-x)=-x(|-x|+1)=-x(|x|+1)=-f(x),∴f(x)为奇函数,
∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,即f(x)在R上单调递增.
∵f(a2)+f(2a-3)<0,∴f(a2)<-f(2a-3)=f(3-2a),
∴a2<3-2a,解得-33.AD　对于f(x+y)=f(x)+f(y)+,
A中,令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+,解得f(0)=-,A正确;
B中,令x=y=,得f(1)=f +f +=,
令x=1,y=-1,得f(0)=f(1)+f(-1)+,解得f(-1)=-,B错误;
C中,因为f(-1)=-,f(0)=-,所以f(-1)D中,令y=-x,则f(x)+f(-x)+=f(0)=-,
所以f(x)+=-,即F(x)=-F(-x),易知F(x)=f(x)+的定义域为R,关于原点对称,所以F(x)=f(x)+为奇函数,D正确.
4.ACD　对于f(a+b)=f(a)+f(b),令a=b=0,则f(0+0)=f(0)+f(0),则f(0)=0,
令a=x,b=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,故f(-x)=-f(x),又f(x)的定义域为R,故f(x)是奇函数,故B错误;
由f(-1)=,可得f(1)=-,则f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-+=-,故A正确;
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2),
又x1-x2<0,所以f(x1-x2)>0,则f(x1)>f(x2),
则f(x)在(0,+∞)上单调递减,故C正确;
由题意得f +f +…+f
=f =f
=f =f
=2 023×1 012×f ,
由f +f +f =f =f(1)=-,可得f =-,
则2 023×1 012×f=2 023×1 012×=-,故D正确.
5.ACD　对于A,f =+=+0=,故A正确.
对于B,由f=,f=-+=--1=-,知f(x)不为奇函数,故B错误.
对于C, x1,x2∈R,且x1>x2,则f(x1)-f(x2)=x1+[x1]-x2-[x2]=x1-x2+([x1]-[x2]),
由x1>x2,知x1-x2>0,[x1]≥[x2],故f(x1)-f(x2)>0,故f(x)为R上的增函数,故C正确.
对于D,令x+[x]=x-1,得[x]=x-1,
又x-1<[x]≤x,所以x-1当x=2时,有[2]=2,×2-1=2,即2为y=f(x)的图象与直线y=x-1的一个交点的横坐标;
当1当x=1时,[x]=1,×1-1=,故1不为y=f(x)的图象与直线y=x-1的交点的横坐标;
当0综上,所有交点的横坐标之和为2++=4,故D正确.
6.ABC　画出f(x)的图象,如图所示:
对于A选项, f(x)=其定义域关于原点对称,且f(-x)=f(x)恒成立,故选项A正确;
对于B选项,当x≥1时, f(x)=|x-2|, f(x-2)的图象由f(x)的图象向右平移两个单位长度得到,所以f(x-2)≤f(x)恒成立,故选项B正确;
对于C选项,由图知,当x∈R时, f(x)≥0,可令t=f(x),由y=f(t)和y=t(t≥0)的图象知,当t≥0时,y=t的图象在y=f(t)的图象的上方,且两图象在点(0,0),(1,1)处重合,所以当t≥0时,t≥f(t),即f(f(x))≤f(x)成立,故选项C正确;
对于D选项,结合B选项知D选项错误.
7.解析　(1)设实数x∈B,则根据题意知∈B,=∈B,=x∈B,
若x=,则无实数解,
故x,,是彼此不相等的三个实数,
故B中至少有3个元素,即的最小值为3.
(2)由(1)知,若x∈B,则∈B,∈B.
又对任意x∈B,都有f(x)+f =3x①,
所以将①式中的所有x全部代换为,得f+f=3×②,
将①式中的所有x全部代换为,得f+f(x)=3×③,
①+③-②,得2f(x)=3x+3×-3×,
整理得f(x)=x-3+,
所以f(x)的解析式为f(x)=x-3+(x≠±1).
(3)f(x)在(2,+∞)上单调递增.证明如下:
x1,x2∈(2,+∞),且x1=(x1-x2)1+,
由20,1-x1<0,1-x2<0,1+x1>0,1+x2>0,故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)因此f(x)在(2,+∞)上单调递增.
8.解析　(1)g(x)=f(x)-1=x+,为奇函数.证明如下:g(x)=x+的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
又g(-x)=-x-=-=-g(x),故g(x)为奇函数.
(2)①当a=时,f(x)=x++1,
任取x1,x2∈[1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=x1++1-=(x1-x2)+=(x1-x2)+=(x1-x2),
因为x1,x2∈[1,+∞),且x10,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,
故f(x)在[1,+∞)上的最小值为f(1)=1++1=.
②因为对任意的x1∈[1,2],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)≤h(x2)成立,所以f(x)在[1,2]上的最大值小于或等于h(x)在[0,1]上的最大值.
由①知当x∈[1,2]时,f(x)∈.
当k=0时,h(x)=5,符合题意.
当k>0时,h(x)=kx+5-2k在[0,1]上单调递增,h(x)∈[5-2k,5-k],
所以≤5-k,所以0当k<0时,h(x)=kx+5-2k在[0,1]上单调递减,h(x)∈[5-k,5-2k],
所以≤5-2k,所以k<0.
综上可得,k的取值范围为.
9.解析　(1)由于f(x)不恒为0,所以存在x0,使f(x0)≠0,
对于f(m+n)+f(m-n)=2f(m)f(n)(*),令m=x0,n=0,则f(x0)+f(x0)=2f(x0)f(0),所以f(0)=1;
令m=1,n=1,则f(2)+f(0)=2[f(1)]2,
在f(1+m)=f(1-m)中,令m=1,得f(2)=f(0)=1,则[f(1)]2=1,
对于(*)式,令m=n=,则f(1)+f(0)=2ff,
因为当0所以f(1)<1,故f(1)=-1.
(2)f(x)的定义域为R,关于原点对称.
对于(*)式,令m=0,n=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),
因为f(0)=1,所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.
(3)在f(1+m)=f(1-m)中,令1+m=-x,得m=-1-x,则f(-x)=f(2+x),
又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(2+x),即f(x)是以2为周期的周期函数.
对于(*)式,令m=n=,得f+f(0)=2,即f+1=2,
令m=,n=,得f(1)+f=2ff,即-1+f=2ff,
联立结合f<1,可得f=,f=-.
由f(1+m)=f(1-m)得f=f,f=f,
所以f+f+f+f+f+f=0,
又f(x)是以2为周期的周期函数,
所以f+f+f+…+f=337×0+f+f+f=-1.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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