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2026北师大版高中数学必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽略函数的定义域而出错
1.函数f(x)=的图象关于(　　)
A.原点对称　　　　B.y轴对称
C.x轴对称　　　　D.直线y=x对称
2.(2025湖北荆州沙市一中期中)已知定义在(-2,2)上的偶函数f(x)在[0,2)上单调递增,且f(m-1)>f(-m),则实数m的取值范围为(　　)
A.　　　　B.
C.(-1,2)　　　　D.
3.(2024湖北武汉武昌实验中学月考)已知x∈,则函数g(x)=x+的值域为　　　　.
易错点2　忽略分段函数自变量的范围而出错
4.(2025湖南长沙期中)已知函数f(x)=则f(f(10))的值为　　　　;f(x)的最大值为　　　　.
5.(2024湖北咸宁期中)已知函数f(x)=若f(x)有最大值,则a的取值范围为　　　　.
易错点3　混淆“单调区间”与“在区间上单调”而出错
6.已知函数f(x)=|2x+a|.
(1)若f(x)的单调递增区间为[3,+∞),求实数a的值;
(2)若f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
易错点4　忽略对参数取值范围的讨论而出错
7.已知函数f(x)=且f(x)在定义域上是单调函数,则实数t的取值范围为　　　　.
8.(2024江苏南京师范大学苏州实验学校学情调研)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x-1,且f(1)=-4.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈[-2,2]时,不等式f(x)>4x+m恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设h(x)=f(2x+n),x∈[-3,3],求h(x)的最大值.
思想方法练
一、数形结合思想在函数中的应用
　1.(2025广东佛山期中)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,且当x<0时,f(x)=+,则满足不等式xf(x+1)≥0的x的取值范围是(　　)
A.[-3,-1]∪[1,+∞)　　　　B.[-3,-1)∪[2,+∞)
C.[-3,-2)∪[0,1]　　　　D.[-3,-1]∪[0,1]
2.(2024福建武夷山第一中学期中)已知f(x)的定义域为R,且f(x+1)是奇函数,当x>1时,f(x)=函数g(x)=k(x-1),k>0,则方程f(x)=g(x)的所有的根之和为(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
二、分类讨论思想在函数中的应用
3.(多选题)(2025山东东营期中)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数,如[1]=1,[0]=0,[-1]=-1,[-1.2]=-2,[1.3]=1,…….已知函数f(x)=(x>0),则下列说法正确的是(　　)
A. f(x)的值域为∪{0}
B. f(x)在(1,+∞)上单调递减
C.方程f(x)=无实根
D.方程f(x)=仅有一个实根
4.已知函数f(x)=2x2+(x-a)2.
(1)讨论f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若f(x)>2对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若f(x)在[0,1]上有最大值9,求实数a的值.
三、转化与化归思想在函数中的应用
5. (2025江西“三新”协同教研共同体联考)已知函数f(x)在R上单调递减,且y=f(x-1)-2为奇函数.若实数t满足不等式f(t2-t)+f(-t-5)>4,则的取值范围是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.(-1,3)
6.(2025湖南株洲二中期中)已知函数f(x)=是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(-1)=-.
(1)求m,n的值;
(2)判断f(x)在[-2,2]上的单调性,并用定义证明;
(3)设g(x)=kx-2k-5,若对任意的x1∈[0,3],总存在x2∈[-2,2],使得g(x1)≤f(x2)成立,求实数k的取值范围.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.B　由题意得1-x2≥0,且|x+2|+|x-1|≠0,解得-1≤x≤1,故f(x)的定义域为{x|-1≤x≤1},关于原点对称,
则f(x)==,又f(-x)=f(x),故函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称.
易错警示
解决函数问题时必须坚持“定义域优先”的原则,需要注意的是求函数定义域之前,不要对函数解析式进行变形,以免引起定义域的变化.
2.A　因为f(x)为定义在(-2,2)上的偶函数,且在[0,2)上单调递增,所以f(x)在(-2,0]上单调递减,
所以不等式f(m-1)>f(-m)等价为解得-1易错警示
求解本题时要保证m-1和-m均在定义域(-2,2)内,不要忘记这个条件.
3.答案　
解析　∵x∈,∴∈[0,1],令t=,则t∈[0,1],x=,
∴g(x)=x+可转化为y=+t=-+t+,t∈[0,1],
易知函数y=-+t+在[0,1]上单调递增,
∴y∈,∴函数g(x)的值域为.
4.答案　31;40
解析　∵f(10)=-102+20×10-64=36,∴f(f(10))=f(36)=-36-+76=31.
当x∈[3,12)时,f(x)=-x2+20x-64=-(x-10)2+36,
故当x=10时,f(x)取得最大值,为f(10)=36(易错点).
当x∈[12,40]时,f(x)=-x-+76=-+76≤-2+76=40,当且仅当x=,即x=18时,等号成立,则f(x)的最大值为f(18)=40.
而36<40,所以f(x)的最大值为40.
易错警示
本题第一个空是分段函数的求值问题,多重函数求值时要注意由内算到外,同时要注意找准自变量取值所对应的解析式;第二个空是求分段函数的最值,要考虑其在每一段定义域内的最值,最后进行比较.
5.答案　
解析　当a+1<0,即a<-1时, f(x)=(a+1)x+1在(-∞,a)上单调递减,所以f(x)没有最大值;
当a+1=0,即a=-1时, f(x)=f(x)max=1,符合题意;
当a+1>0且a≤2,即-1则a(a+1)+1≤f(2)=4+3a,得-1≤a≤3,所以-1当a>2时, f(x)=-x2+4x+3a在[a,+∞)上单调递减,要使f(x)有最大值,则a2+a+1≤f(a)=-a2+7a,
得≤a≤,所以2综上,a的取值范围为.
6.解析　(1)由题意知f(x)=
∴函数f(x)的单调递增区间为,
∴3=-,解得a=-6.
(2)由(1)可知, f(x)的单调递增区间为,
∵f(x)在[3,+∞)上单调递增,∴-≤3,即a≥-6.
∴实数a的取值范围为[-6,+∞).
易错警示
单调区间是指一个函数的定义域中所有具有递增或递减性质的区间;在区间上单调是指函数在某一个区间上单调,二者有本质区别,若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上具有相同的单调性.
7.答案　
解析　当t=0(易错点)时,函数f(x)=其在定义域上不单调,所以t≠0.
函数y=tx2+x+1(t≠0)的图象的对称轴为直线x=-.
由题知函数f(x)在定义域上是单调递增函数.
当t>0时,函数y=tx2+x+1在区间上单调递减,不符合题意;
当t<0时,函数y=tx2+x+1在区间上单调递增,要使函数f(x)在定义域上单调递增,则需t+≥t3+t+1,即t3≤-,解得t≤-,符合t<0.
故实数t的取值范围为.
8.解析　(1)由f(x)是二次函数可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵f(x+1)-f(x)=2x-1,
∴a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x-1,即2ax+a+b=2x-1,
∴解得又∵f(1)=-4,∴a+b+c=-4,∴c=-3,∴f(x)=x2-2x-3.
(2)当x∈[-2,2]时, f(x)>4x+m恒成立,即x2-6x-3>m恒成立,∴m<(x2-6x-3)min,x∈[-2,2].
令g(x)=x2-6x-3=(x-3)2-12,
当x∈[-2,2]时,g(x)单调递减,∴g(x)min=g(2)=-11.
所以m<-11.
(3)h(x)=f(2x+n)=(2x+n)2-2(2x+n)-3=4x2+(4n-4)x+n2-2n-3,x∈[-3,3],易知函数y=4x2+(4n-4)x+n2-2n-3(x∈R)的图象开口向上,对称轴方程为x=,
①当≥0,即n≤1时,h(x)max=h(-3)=n2-14n+45;
②当<0,即n>1时,h(x)max=h(3)=n2+10n+21.
综上所述,h(x)max=
易错警示
求含参数的函数的最大(小)值问题,需对参数进行分类讨论,解题时分析函数图象的对称轴与区间的位置关系即可求出最大(小)值.
思想方法练
1.D 2.C 3.ACD 5.A
1.D　由题意知f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,
当x>0时,-x<0,则f(x)=-f(-x)=-=-,
所以f(x)=所以f(x+1)=
画出y=f(x+1)的图象如图所示,
借助图象直观得到f(x+1)与x的正负情况,体现了数形结合思想.
由图可知,xf(x+1)≥0的解集为[-3,-1]∪[0,1].
2.C　因为f(x)的定义域为R,且f(x+1)是奇函数,
所以f(-x+1)=-f(x+1),则f(x)的图象关于点(1,0)对称,且f(1)=0,
因为g(x)=k(x-1),k>0,所以g(x)的图象关于点(1,0)对称,
方程f(x)=g(x)的所有的根之和即为两个函数图象所有交点的横坐标之和,
将方程f(x)=g(x)的根转化为函数f(x),g(x)图象的交点的横坐标,通过画出图象观察得出交点横坐标的和,体现了数形结合思想.
在同一坐标系内画出函数f(x)和g(x)的图象,如图所示:
由图可知,f(x)和g(x)的图象有5个交点,其中一个交点的横坐标为1,另外四个交点两两分别关于点(1,0)对称,所以5个交点的横坐标之和为2×2+1=5.
3.ACD　当0x的范围不同,f(x)的解析式也不同,故应分类讨论.
画出函数f(x)的大致图象,如图所示:
A中,f(x)的值域为∪{0},故A正确.
B中,当x>1时,f(x)在每一段上都单调递减,但f(x)在(1,+∞)上不单调递减,故B错误.
C中,由f(x)的值域为∪{0},得方程f(x)=无实根,故C正确.
D中,当1≤x<2时,f(x)=,令=,解得x=,∈[1,2),故成立;当2≤x<3时,f(x)=,令=,解得x=, [2,3),故不成立;结合图象知,当x≥3时,方程f(x)=无实根,综上知,方程f(x)=仅有一个实根,故D正确.
4.解析　(1)当a=0时, f(x)为偶函数;当a≠0时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.理由如下:
f(x)的定义域为R,关于原点对称.
a是不是0会影响到f(x)的奇偶性,所以需要分类讨论.
当a=0时, f(x)=2x2+(x-0)2=3x2,满足f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数;
当a≠0时, f(-x)=2x2+(-x-a)2=2x2+(x+a)2≠2x2+(x-a)2,即f(-x)≠f(x),
同理知f(-x)≠-f(x),所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)f(x)=3x2-2ax+a2>2对任意实数x恒成立,
即3x2-2ax+a2-2>0对任意实数x恒成立,
只需Δ=4a2-12(a2-2)<0,解得a<-或a>.
(3)f(x)=3x2-2ax+a2,其图象开口向上,对称轴为直线x=.
按照对称轴和区间的位置关系进行讨论,体现了分类讨论思想.
①当≤,即a≤时,f(x)max=f(1)=a2-2a+3=9,
解得a=1-或a=1+(舍去);
②当>,即a>时,f(x)max=f(0)=a2=9,
解得a=3或a=-3(舍去).
综上,a=1-或a=3.
思想方法
在解决函数问题时,当条件中变量或参数的取值不同,函数的图象、性质有不同的变化时,要依据题意合理进行分类讨论.涉及分段函数时,要注意自变量的取值范围对解题的影响.在分类讨论时,区间端点应准确把握.
5.A　记g(x)=f(x-1)-2,则g(x)在R上为奇函数且单调递减,则不等式f(t2-t)+f(-t-5)>4可转化为f(t2-t)-2>-[f(-t-5)-2],即f(t2-t+1-1)-2>-[f(-t-5+1-1)-2],等价于g(t2-t+1)>-g(-t-4)=g(4+t),
通过设函数g(x),将原不等式转化为关于g(x)的不等式,结合g(x)的单调性解决问题,体现了转化与化归思想.
即t2-t+1<4+t,解得-1因为y==1-在(-1,3)上单调递增,当t趋近于-1时,y趋近于-∞,当t趋近于3时,y趋近于,所以的取值范围是.
6.解析　(1)由题意得解得所以f(x)=,经检验,满足题意,所以m=0,n=1.
(2)f(x)在[-2,2]上单调递增.证明如下:
任取x1,x2∈[-2,2],且x1则f(x1)-f(x2)=-=,
因为-2≤x10,+4>0,+4>0,则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)在[-2,2]上单调递增.
(3)因为对任意的x1∈[0,3],总存在x2∈[-2,2],使得g(x1)≤f(x2),则g(x)在[0,3]上的最大值恒小于或等于f(x)在[-2,2]上的最大值,
将不等式有解及恒成立问题转化为函数最值间的大小关系问题.
因为f(x)在[-2,2]上单调递增,所以f(x)max=f(2)=.
当k=0时,g(x)=-5,-5≤恒成立,符合题意;
当k>0时,g(x)=kx-2k-5在[0,3]上单调递增,则g(x)max=g(3)=k-5,即k-5≤,所以0当k<0时, g(x)=kx-2k-5在[0,3]上单调递减,则g(x)max=g(0)=-5-2k,即-5-2k≤,所以-≤k<0.
综上所述,实数k的取值范围为.
思想方法
转化与化归思想在本章中的应用主要体现在:(1)将方程问题转化为函数问题,将不等式恒成立(能成立)问题转化为函数最值问题;(2)利用函数的单调性比较大小,解不等式求参数的取值范围等.要注意转化的过程也是一个探索的过程,抓住内在联系,通过一步一步转化才能使结果慢慢显现出来.
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