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2026北师大版高中数学必修第一册
单元整合练　幂函数、指数函数、对数函数的综合应用
1.(2025湖南邵阳联考)若函数y=loga(3x-5)+的图象恒过定点P,点P在幂函数f(x)的图象上,则f(9)=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.3　　　　D.9
2.若对任意的x∈R,函数f(x)=a|x|始终满足0　　　　
　　　　
3.(多选题)(2024辽宁丹东质量监测)下列各式的大小关系正确的是(　　)
A.24.1>4.12　　　　B.23.9>3.92
C.>log34　　　　D.log45>log34
4.(2024江苏淮安期末)已知函数f(x)=+ln(+x),若不等式f(2x-4x)+f(m·2x-2)<0对任意x∈R恒成立,则实数m的取值范围为　(　　)
A.(-∞,2+1)　　　　B.(-2+1,+∞)
C.(-2+1,2-1)　　　　D.(-∞,2-1)
5.(2025江西宜春樟树中学月考)已知函数y=f(x)的图象与函数y=ax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称,记g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1].若y=g(x)在区间上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.[2,+∞)　　　　B.(0,1)∪(1,2)
C.　　　　D.
6.(2024湖北襄阳五中月考)已知函数f(x)=-ln|x|,则满足不等式f(log2x)<的x的取值范围是　　　　　　　　.
7.(2025江西上饶联考)已知函数f(x)=x-1+log3(+x).若不等式f(f(-4x+m·2x))+f(-32)<0对任意x∈R恒成立,则m的取值范围是　　　　.
8.(2025河南商丘重点中学联考)已知函数f(x)=loga(a2x-3t)(a>0且a≠1)的定义域为D.
(1)当t=1时,求D;
(2)将满足 x,y∈R,总有g(x+y)+g(x-y)=2g(x)的函数g(x)称为“类线性函数”,若函数f(x)为“类线性函数”,求实数t的值;
(3)已知00,是否存在实数α,β(α<β),使得函数f(x)在区间[α,β]([α,β] D)上的值域为[4α,4β] 若存在,请求出t的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
单元整合练　幂函数、指数函数、对数函数的综合应用
1.C 2.B 3.AC 4.D 5.D
1.C　令3x-5=1,得x=2,此时y=loga1+=,所以点P的坐标为(2,),
设f(x)=xα,将点P代入,得f(2)=2α=,则α=,
所以f(x)==,因此f(9)==3.
2.B　因为当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0g(2)=loga=-loga2>0,排除A,D;
g=loga|2|=loga2<0,排除C.
3.AC　对于A,B,由指数函数y=2x与幂函数y=x2可知,当x∈(4,+∞)时,有2x>x2,当x∈(2,4)时,有2x因为4.1∈(4,+∞),所以24.1>4.12,因为3.9∈(2,4),所以23.9<3.92,故A正确,B错误;
对于C,要比较=log3与log34的大小,只需比较与4的大小,因为()3=81>43,所以>4,即>log34,故C正确;
对于D,因为log45>0,log34>0,所以=×<×==<1,所以<1,即log454.D　由已知得f(x)的定义域为R,∵f(-x)+f(x)=+ln(-x)++ln(+x)=0+ln 1=0,∴f(x)为奇函数,易知f(x)在R上单调递增.
∵f(2x-4x)+f(m·2x-2)<0对任意x∈R恒成立,∴f(2x-4x)<-f(m·2x-2)=f(2-m·2x)对任意x∈R恒成立,∴2x-4x<2-m·2x对任意x∈R恒成立,
∴m<=2x+-1对任意x∈R恒成立.
∵2x>0,∴2x+-1≥2-1=2-1,当且仅当2x=,即x=时取等号,∴m<2-1.
方法技巧
常见的奇函数:y=ex-e-x,y=ln(±x),y=,y=lg .
5.D　由题意知y=f(x)是y=ax的反函数,∴f(x)=logax,
则g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]=(logax)2+(loga2-1)logax,
令t=logax,则原函数可等价为h(t)=t2+(loga2-1)t,其图象开口向上,对称轴为直线t=.
当a>1时,由x∈得t∈,此时f(x)=logax单调递增,
若y=g(x)在区间上单调递增,则h(t)在上单调递增,
∴≤loga,即1-loga2≤-2loga2,故loga2≤-1,解得≤a<1,不满足a>1,故舍去.
当0若y=g(x)在区间上单调递增,则h(t)在上单调递减,
∴≥loga,即loga2≥-1,解得01,又0综上,a的取值范围是.
6.答案　∪(2,+∞)
解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
因为f(-x)=-ln|-x|=-ln|x|=f(x),所以f(x)为偶函数.
当x>0时,f(x)=-ln x,
因为y=和y=-ln x在(0,+∞)上均单调递减,
所以f(x)=-ln x在(0,+∞)上单调递减,
因为f(1)=,且函数f(x)为偶函数,
所以f(log2x)<等价于f(|log2x|)所以|log2x|>1,则log2x<-1或log2x>1,
所以02,
所以x的取值范围为∪(2,+∞).
7.答案　(-∞,4)
解析　易知f(x)的定义域为R,
且f(-x)=-x-1+log3(-x)=-x-1+log3=-x+1-log3(+x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
因为y=x-1在[0,+∞)上单调递增,y=log3(+x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增.
因为f(x)为R上的奇函数,所以f(x)在R上单调递增,
故f(f(-4x+m·2x))+f(-32)<0即为f(f(-4x+m·2x))因为f(4)=31-1+log39=32,所以-4x+m·2x<4,即m<=+2x.
因为+2x≥2=4,当且仅当=2x,即x=1时,等号成立,所以m<4,即m的取值范围是(-∞,4).
8.解析　(1)当t=1时,a2x-3t=a2x-3>0,即a2x>3=,
当0当a>1时,得2x>loga3,解得x>loga3.
故当0当a>1时,f(x)的定义域D为.
(2)由题可知函数f(x)的定义域为R,则a2x-3t>0恒成立,可得t≤0.
根据“类线性函数”的概念可知, x,y∈R,总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x),
即loga[a2(x+y)-3t]+loga[a2(x-y)-3t]=2loga(a2x-3t),
则loga{[a2(x+y)-3t][a2(x-y)-3t]}=loga(a2x-3t)2,
所以[a2(x+y)-3t][a2(x-y)-3t]=,
即a4x-3t[a2(x+y)+a2(x-y)]+9t2=a4x-6ta2x+9t2,
所以t[2a2x-a2(x+y)-a2(x-y)]=0对于任意x,y∈R恒成立,
又2a2x-a2(x+y)-a2(x-y)不恒为0,所以t=0.
(3)存在.
易知当0令m=a2x-3t,因为当0所以f(x)在定义域上为增函数.
由题意可知即
所以α,β是方程loga(a2x-3t)=4x的两个不同的实数根,
即α,β是方程a2x-3t=a4x的两个不同的实数根.
设n=a2x,则由a2x-3t>0,t>0,知n=a2x>3t>0,
则方程n2-n+3t=0有两个不同的正实数根.
设h(n)=n2-n+3t,其图象开口向上,对称轴为直线n=,
则解得0故t的取值范围为.
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