资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026北师大版高中数学必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　对对数的运算性质记忆不准确而出错
1.(2025广东珠海月考)求值:
(1)log2.56.25+lg +ln +;
(2)(lg 2)2+lg 2×lg 5+;
(3)log225×log3×log5.
易错点2　求参数范围时忽略定义域而出错
2.(2025江西赣州上犹中学月考)已知函数f(x)=lo(ax2-2x-1)在[2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.
3.(2025重庆渝北中学月考)已知函数f(x)=log2(x+a).
(1)当a=2时,解不等式:f(x)(2)当a>0时,若对任意的x∈(0,2),f(x)-f(4x)<0恒成立,求正数a的取值范围.
易错点3　忽视分类讨论而出错
4.(多选题)(2024重庆南开中学期末)若logab<0(a>0且a≠1,b>0),则函数f(x)=ax+b与g(x)=logb(a-x)在同一坐标系内的大致图象可能是(　　)
　　　　　　
　　
5.(2024安徽合肥期末)已知函数f(x)=|loga(x-2)-3|(a>0,且a≠1).
(1)证明函数f(x)的图象过定点;
(2)设m∈R,且m>4,求函数f(x)在[4,m]上的最小值.
思想方法练
一、方程思想在对数函数中的应用
1.(2025江苏连云港期中)经过研究,地震发生时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.若甲地发生里氏4.5级地震,乙地发生里氏8.0级地震,则乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的(　　)
A.5.25倍　　　　B.5.2倍　　　　
C.105.25倍　　　　D.105.2倍
2.(2024山东烟台月考)已知函数f(x)=lg ,f(1)=0,当x>0时,恒有f(x)-f =lg x.
(1)求f(x)的解析式及定义域;
(2)若方程f(x)=lg t有解,求实数t的取值范围;
(3)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集为 ,求实数m的取值范围.
二、数形结合思想在对数函数中的应用
3.(2024江苏扬州期中)已知函数f(x)=若a,b,c,d互不相等,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则a+b+c+d的取值范围是　　(　　)
A.(-2,3)　　　　B.　　　　C.(-1,2)　　　　D.
4.(2025湖北黄冈中学月考)设a,b分别是方程log2x+x+2=0与2x+x+2=0的根,则a+b=　　　　.
三、转化与化归思想在对数函数中的应用
5. (2024江苏南通海安曲塘高级中学期中)若实数a,b,c满足6a=12ac=3,3b-ab=5a-ab,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a>b>c　　　　B.b>c>a　　　　
C.c>a>b　　　　D.c>b>a
6.(2025吉林省实验中学月考)若函数f(x)=loga(x-2a)+loga(x-3a),a>0且a≠1.
(1)若f(4a)=3,求a的值;
(2)当a=时,若方程f(x)=lo(p-x)在(2,3)上有解,求实数p的取值范围;
(3)当a>1时,是否存在实数a,使得f(x)≤2在[a+3,a+4]上恒成立 若存在,求实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
四、分类讨论思想在对数函数中的应用
7. (2024江西上饶广丰中学月考)已知函数f(x)=(x2-2ax+3).
(1)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)在[1,2]内单调,求实数a的取值范围.
8.(2025江苏苏州联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)=loga(a2x+1)-bx,其中a>0且a≠1,b∈R.
(1)求实数b的值;
(2)若函数g(x)=af(x)+x-2m·ax,x∈{x|x(x-loga3)≤0},是否存在实数m,使得函数g(x)的最小值为-2 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.解析　(1)原式=log2.52.52+lg 10-2+ln +2×=2-2++2×3=.
(2)原式=lg 2×(lg 2+lg 5)+=lg 2+=lg 2+1-lg 2=1.
(3)解法一:原式=log252×log32-4×log53-2=16×log25×log32×log53=16×××=16.
解法二:原式=log252×log32-4×log53-2=16×log25×log32×log53=16××=16×log35×=16.
易错警示
准确记忆对数的运算性质和相关公式是对数运算的前提,同时要注意性质或公式成立的前提.
2.答案　
解析　令t=ax2-2x-1.因为函数f(x)=lo(ax2-2x-1)在[2,+∞)上单调递减,y=t在(0,+∞)上单调递减,所以根据复合函数“同增异减”的原则,可知t=ax2-2x-1在[2,+∞)上单调递增,且t>0在[2,+∞)上恒成立(易错点).
当a=0时,t=ax2-2x-1=-2x-1在[2,+∞)上单调递减,不符合题意;
当a≠0时,由题意得解得a>.
综上,实数a的取值范围是.
易错警示
研究形如y=loga f(x)(a>0且a≠1)的函数的性质,可转化为研究f(x)的性质,同时要注意f(x)>0这一隐含条件.
3.解析　(1)当a=2时,f(x)=log2(x+2),
因为对数函数y=log2x在(0,+∞)上为增函数,
所以由f(x)=log2(x+2)3,
因此不等式f(x)(2)当a>0时,对任意的x∈(0,2),有x+a>0,4x+a>0(易错点),
由题意得log2(x+a)2log2(x+a)=log2(x+a)2,x∈(0,2),
所以0<(x+a)2<4x+a(注意隐含了真数大于0),整理可得x2+(2a-4)x+a2-a<0对任意的x∈(0,2)恒成立,
令g(x)=x2+(2a-4)x+a2-a,则解得0≤a≤1,
又因为a>0,所以0因此正实数a的取值范围是(0,1].
易错警示
本题第(1)问中,解对数不等式时不要忽略对数函数的定义域,要结合2x-1>x+2>0得到正确的结论;第(2)问中,将对数不等式恒成立转化为不含对数的不等式恒成立的过程中,也要注意原对数式中的真数应大于0这一限制条件.总之,在求解参数的相关问题时,一定要先求函数的定义域,在满足定义域的前提下再解决其他问题.
4.BC　由logab<0可得,
①当a>1时,(需对底数a与1的关系分类讨论)0由0②当01,此时f(x)的图象可由y=ax的图象向上平移b(b>1)个单位长度得到,且f(x)单调递减,
由b>1及复合函数的单调性可知g(x)=logb(a-x)在定义域(-∞,a)上单调递减,所以B可能正确.
5.解析　(1)证明:令x-2=1,得x=3,此时f(3)=|loga1-3|=3恒成立,即函数f(x)的图象恒过定点(3,3).
(2)令f(x)=0,可得loga(x-2)=3,即x=2+a3,
又函数f(x)的定义域为(2,+∞),故函数f(x)在(2,2+a3)上单调递减,在(2+a3,+∞)上单调递增.
当a>1时,若4>2+a3,即1若4,则f(x)在x∈[4,m]上单调递减,故f(x)的最小值为f(m)=|loga(m-2)-3|=-loga(m-2)+3;
若4<2+a3当0故f(x)在x∈[4,m]上单调递增,此时f(x)的最小值为f(4)=|loga2-3|=3-loga2.
综上所述,当1时, f(x)min=3-loga(m-2);当易错警示
底数不同,函数的单调性可能不同,所以当底数含有参数时,要对底数进行分类讨论.同样地,当所研究的区间中含有参数时,也往往要对区间中的参数进行分类讨论.
思想方法练
1.C 3.D 5.D
1.C　设甲地发生的里氏4.5级地震释放出的能量为E1焦耳,乙地发生的里氏8.0级地震释放出的能量为E2焦耳,则lg E1=4.8+1.5×4.5,lg E2=4.8+1.5×8.0,
根据题意列出关于E1,E2的对数方程,体现了方程思想.
即E1=104.8+1.5×4.5,E2=104.8+1.5×8.0,
所以==105.25,
即乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的105.25倍.
2.解析　(1)根据题意列出对数方程,通过对数的运算性质得到关于a,b的方程,体现了方程思想.
由题得当x>0时,lg -lg =lg x,即lg -lg =lg x,即lg=lg x,∴·=x,
整理得(a-b)x2-(a-b)x=0,∴a=b,
又f(1)=0,即lg =0,∴a+b=2,从而a=b=1,
∴f(x)=lg .
令>0,得x<-1或x>0,∴f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(0,+∞).
(2)方程f(x)=lg t有解,即lg =lg t有解,
∴t==2-≠2,∴x(2-t)=t,∴x=,
结合(1)知<-1或>0,解得t>2或0∴实数t的取值范围是(0,2)∪(2,+∞).
(3)方程f(x)=lg(8x+m)即lg =lg(8x+m),∴=8x+m,即8x2+(6+m)x+m=0.
方程的解集为 ,有两种情况:
①方程8x2+(6+m)x+m=0无解,即Δ=(6+m)2-32m<0,解得2②方程8x2+(6+m)x+m=0有解,且根均在[-1,0]内,令g(x)=8x2+(6+m)x+m,
则解得0≤m≤2.
综上所述,实数m的取值范围是[0,18).
思想方法
在对数函数问题中,利用条件得到等式,运用代数手段构造方程,通过方程的知识结合对数的相关知识解决问题,是最基本的方法之一.
3.D　由分段函数的性质和特征作出分段函数的图象,通过数形结合分析出变量的取值范围.
在同一坐标系内作出函数f(x)的图象及直线y=m,如图所示,不妨设a由图可得a+b=-2,
因为loc=-lod,所以loc+lod=0,
即lo(cd)=0,即cd=1,所以d=,
所以a+b+c+d=-2+c+,
因为直线y=m与函数f(x)的图象有4个交点,
所以m∈(0,1),
又loc∈(0,1),所以c∈,
根据对勾函数的性质可知t=c+在上单调递减,所以t∈,所以a+b+c+d∈.
4.答案　-2
解析　由log2x+x+2=0可得log2x=-x-2,由2x+x+2=0可得2x=-x-2,
所以a是y=log2x的图象与直线y=-x-2的交点的横坐标,
b是y=2x的图象与直线y=-x-2的交点的横坐标,
画出函数y=log2x,y=2x的图象及直线y=-x-2,将方程的根转化为图象交点的横坐标,体现了数形结合的思想.
在同一平面直角坐标系内画出函数y=log2x,y=2x的图象及直线y=-x-2.
易知函数y=2x与y=log2x互为反函数,其图象关于直线y=x对称,故它们与直线y=-x-2的交点也关于直线y=x对称.
联立解得x=-1,故a+b=-2.
思想方法
与对数函数有关的方程的根的问题,常通过画出相应函数的图象,将方程的根转化为函数图象交点的横坐标,进而解决问题,这是数形结合思想在本章中的重要体现.利用数形结合思想解决函数问题时应注意以下几点:①准确画出函数图象,注意函数的定义域;②科学设置参数,并建立参数之间的关系,将数与形进行合理转换;③掌握数学曲线中的代数特征,掌握参数的取值对曲线形状和位置的影响.
5.D　∵6a=3,∴a=log63,∵12ac=3,∴ac=log123,
则c==log126,1-a=log62,
又3b-ab=5a-ab,∴=5a-ab,∴=,∴61-a=,
∴-1=log561-a=(1-a)log56=log62×log56=log52,
∴=log510,即b=lg 5,
将a,b,c通过换底公式转换成自然对数的形式,再比较大小.
则a=log6=1-log62=1-,
b=lg =1-lg 2=1-,
c=log12=1-log122=1-,
∵-<-<-,∴a6.解析　(1)依题意,f(4a)=loga(2a)+logaa=loga2+logaa+1=loga2+2=3,即loga2=1,所以a=2.
(2)当a=时,f(x)=(x-1)+=lo(x-1),其定义域为.
方程f(x)=(p-x)中,p-x>0,即p>,
由对数函数y=lox在(0,+∞)上单调递减,可知(x-1)·=p-x,即x2-x+-p=0,
令g(x)=x2-x+-p=+-p,显然g(x)在(2,3)上单调递增,
将方程f(x)=lo(p-x)在(2,3)上有解转化为函数g(x)的图象在(2,3)上与x轴有交点.
由方程f(x)=(p-x)在(2,3)上有解,得g(x)的图象在(2,3)上与x轴有交点,
因此即解得所以实数p的取值范围为.
(3)当a>1时,可知函数f(x)的定义域为(3a,+∞),
f(x)=loga[(x-2a)(x-3a)]=loga(x2-5ax+6a2),
假设存在实数a>1,使得f(x)≤2在[a+3,a+4]上恒成立,
将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题.
由[a+3,a+4] (3a,+∞),得a+3>3a,解得a<,则1函数y=x2-5ax+6a2=-,其图象开口向上,对称轴为直线x=a,由a+3-=3->0,即a+3>,知函数y=x2-5ax+6a2在区间[a+3,a+4]上单调递增,
又函数y=logax在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在[a+3,a+4]上单调递增,
则函数f(x)在[a+3,a+4]上的最大值为f(a+4)=loga(2a2-12a+16),
依题意,loga(2a2-12a+16)≤2,则2a2-12a+16≤a2,
即a2-12a+16≤0,解得6-2≤a≤6+2,而6-2>,
所以不存在满足题意的a.
思想方法
在对数的运算中,常通过换底公式将不同底的对数转化为同底的对数,方便进行运算;在对数函数问题中,常将不等式恒成立或有解问题转化为函数的最值问题,这些都是转化与化归思想在本章中的应用.
7.解析　(1)令u(x)=x2-2ax+3,则f(x)=u(x).
因为f(x)的值域为R,所以u(x)能取(0,+∞)内的一切值,
所以Δ=4a2-12≥0,解得a≤-或a≥.
故实数a的取值范围为(-∞,-]∪[,+∞).
(2)因为f(x)在[1,2]内单调,且y=x在定义域内单调递减,
所以u(x)在[1,2]内也单调,且当x∈[1,2]时,u(x)>0.
f(x)的单调性不确定,可分单调递增和单调递减进行讨论,再根据复合函数同增异减的原则求a的取值范围.
当u(x)在[1,2]内单调递增时,f(x)在[1,2]内单调递减,则a≤1且u(1)=4-2a>0,解得a≤1;
当u(x)在[1,2]内单调递减时,f(x)在[1,2]内单调递增,则a≥2且u(2)=7-4a>0,无解.
综上,实数a的取值范围为(-∞,1].
8.解析　(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),即loga(a2x+1)-bx=loga(a-2x+1)+bx,
则loga=2bx,即loga=loga=logaa2x=2bx,则2bx=2x对任意的x∈R都成立,
故2b=2,解得b=1,
此时f(x)=loga(a2x+1)-x,其定义域为R,且f(-x)=loga(a-2x+1)+x=loga+x=loga(a2x+1)-2x+x=loga(a2x+1)-x=f(x),
所以函数f(x)是偶函数,符合题意,故b=1.
(2)存在.
对于不等式x(x-loga3)≤0,令x(x-loga3)=0,解得x=0或x=loga3.
对数式loga3的底数中含有参数a,其范围会影响不等式的解集,故可分01两种情况讨论,借助对数函数的单调性得到loga3与0的大小关系.
若a>1,则loga3>0,故不等式的解集为[0,loga3],此时ax∈[1,3];
若0由(1)知,f(x)=loga(a2x+1)-x,
又g(x)=af(x)+x-2m·ax,x∈{x|x(x-loga3)≤0},
故g(x)=-2max=a2x-2max+1,
令ax=t,则t∈[1,3],函数g(x)=a2x-2max+1等价为函数h(t)=t2-2mt+1,t∈[1,3],则g(x)min =h(t)min ,
易知二次函数y=t2-2mt+1,t∈R的图象开口向上,对称轴为直线t=m,
抛物线的对称轴方程t=m中含有参数m,故需对m与区间[1,3]的关系进行分类讨论.
①当m≤1时,函数h(t)在[1,3]上单调递增,故h(t)min =h(1)=2-2m,
令2-2m=-2,解得m=2,不满足m≤1,故舍去;
②当1令-m2+1=-2,解得m=±,又1③当m≥3时,函数h(t)在[1,3]上单调递减,故h(t)min =h(3)=10-6m,
令10-6m=-2,解得m=2,不满足m≥3,故舍去.
综上所述,存在实数m=,使得函数h(t)在区间[1,3]上的最小值为-2,
即存在实数m=,使得函数g(x)的最小值为-2.
思想方法
在对数(型)函数问题中,底数对函数的图象和性质有影响,当底数的值不确定时要注意对底数进行分类讨论;与对数函数有关的复合函数问题中,判断单调性时,可根据同增异减的原则确定分类标准,然后分类求解.这些都是分类讨论思想在本章中的重要体现.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑