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2026北师大版高中数学必修第一册
第五章　函数应用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
基础过关练
题组一　求函数的零点
1.(2024陕西西安期末)若函数y=x2-ax+b的两个零点为2,3,则函数y=bx2-ax-1的零点是(　　)
A.-1,　　　　B.1,-　　　　
C.,　　　　D.-,-
2.(易错题)(2025福建龙岩一中月考)函数f(x)=的零点是(　　)
A.1　　　　B.(1,0)　　　　
C.(-1,0)　　　　D.-1或1
3.已知函数f(x)与g(x)=ex互为反函数,函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,则y=h(x)-1的零点为　　　　.
4.(2025江苏靖江高级中学月考)已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))-1的所有零点构成的集合为　　　　.
题组二　函数零点(方程的解)个数的判断
5.(2025江西宜春宜丰中学月考)函数f(x)=的零点个数为(　　)
A.0　　　　B.1　　　　
C.2　　　　D.3
6.(2024陕西西安期末)关于函数f(x)=x3-2x+1的零点,下列说法正确的是(　　)
A.(1,0)是f(x)的一个零点
B. f(x)在区间(-2,-1)内存在零点
C. f(x)只有2个零点
D. f(x)的零点个数与方程x3-2x+1=0的解的个数不相等
7.(2024福建泉州期末)函数f(x)=-(k>0)的零点个数为　　　　.
8.(1)判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点个数;
(2)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),且f(1)=-.求证:函数f(x)有两个不同的零点.
题组三　确定函数零点(方程的解)所在的区间
9.(教材习题改编)函数f(x)=2x+2x-40的零点所在的一个区间是(　　)
A.(2,3)　　　　B.(3,4)　　　　C.(4,5)　　　　D.(5,6)
10.(2024河南新乡期末)已知函数f(x)=ln x+x的零点在[0.5,1]内,且零点附近的函数值如表所示:
x 0.5 1 0.75 0.625 0.562 5
f(x) -0.193 1 0.462 0.155 -0.013
则零点所在的区间为(　　)
A.(0.5,0.562 5)　　　　B.(0.625,0.75)
C.(0.562 5,0.625)　　　　D.(0.75,1)
11.(多选题)(2025湖南常德优质高中学校联盟期末)在下列区间中,函数f(x)=ex-3x2一定存在零点的有(　　)
A.(-3,-1)　　　　B.(-1,1)　　　　
C.(1,3)　　　　D.(3,5)
12.(2025江苏无锡一中月考)若函数f(x)=-ln x+2的零点在区间(ek,ek+1),k∈Z上,则k=　　　　.
题组四　根据函数零点(方程的解)的情况求参
13.(2025江西南昌期末)已知f(x)=若f(x)有三个零点,则a的取值范围为(　　)
A.-3C.-314.(2025江苏无锡一中期中)若二次函数f(x)=x2-2mx-5在区间(3,4)上存在一个零点,则m的取值范围是(　　)
A.C.m>　　　　D.m<或m>
15.(2024安徽蚌埠期末)若函数f(x)=2x-1+21-x+x2-2ax+a2-2存在零点,则实数a的值为(　　)
A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.1
16.(2025上海实验中学月考)已知函数f(x)=x2-ax+a2-4,在下列条件下,求实数a的取值范围.
(1)f(x)有两个正零点;
(2)f(x)有一个正零点,一个负零点;
(3)f(x)的一个零点大于2,另一个零点小于2;
(4)f(x)的一个零点大于2,另一个零点不大于0.
17.已知函数f(x)=|x2-4|+x2+ax,a∈R.
(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;
(2)当a=4时,求函数f(x)的零点;
(3)若方程f(x)=0在(0,4)上有两个不同的实数根x1,x2(x1能力提升练
题组一　函数的零点与方程的解
1.(2025安徽六安联考)已知函数f(x)=则函数y=[f(x)]2-3f(x)+2的零点个数是(　　)
A.6　　　　B.5　　　　C.4　　　　D.3
2.(多选题)(2025河南南阳期末)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个不同的零点-1,1,x0,且函数g(x)=ax2+bx+c,则下列判断正确的是(　　)
A.x0=-a
B.函数g(x)可能不存在零点
C.函数g(x)可能有一个零点
D.函数g(x)可能有两个零点
3.(2025福建泉州七中月考)已知函数f(x)=若g(x)=f(x)-m恰有3个零点x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.(-∞,0]　　　　D.(-∞,0)
4.(2024山东德州期末)已知函数f(x)=直线y=k与函数y=f(x)的图象有四个交点,横坐标依次为x1,x2,x3,x4且x1A.(0,20)　　　　B.(2,20)　　　　
C.(3,20)　　　　D.(6,20)
5.(多选题)(2025湖南长沙长郡中学期末)已知函数f(x)=则下列说法正确的是(　　)
A.函数y=f(x)-x有3个零点
B.关于x的方程f(x)-=0(n∈N*)有(2n+4)个不同的解
C.对于实数x∈[1,+∞),不等式2xf(x)-3≤0恒成立
D.在区间[2n-1,2n](n∈N*)内,函数f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积为
6.(2025江西宜春丰城中学月考)若三个函数f(x)=4x+2x-m,g(x)=log2x+2x+1-m,h(x)=2x+m+4的零点分别为a,b,c,则a+b+c=　　　　.
7.(2025福建师大附中期末)已知函数f(x)=-+,其中a为常数,且a>1.
(1)若f(x)是奇函数,求a的值;
(2)证明:f(x)在(0,2)上有唯一的零点;
(3)设f(x)在(0,2)上的零点为x0,证明:x0-1>loga.
题组二　根据函数零点(方程的解)的情况求参
8.(2025福建厦门科技中学月考)已知函数f(x)=若函数g(x)=2[f(x)]2-mf(x),且g(x)有6个零点,则非零实数m的取值范围是(　　)
A.[2,16)　　　　B.(2,16)
C.(-2,0)∪(0,16)　　　　D.(-2,0)∪(0,+∞)
9.(创新题)(2025江西赣州期末)给定函数y=f(x),若实数x0使得f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)的不动点;若实数x0使得f(x0)=-x0,则称x0为函数f(x)的次不动点.若函数g(x)=log2(4x-m·2x)在区间[0,1]上有且仅有一个不动点和一个次不动点,则实数m的取值范围是(　　)
A.[0,1]　　　　B.(0,1)　　　　C.　　　　D.
10.(多选题)(2025山东淄博期末)已知函数f(x)=则(　　)
A.若方程f(x)=a有四个不同的实根,则其中两个负根之和为-2
B.若方程f(x)=a有四个不同的实根,则其中两个正根之积为1
C.若方程f(x)=a有三个不同的实根,则a的取值范围为(0,1)
D.方程f(x)=3-x的两根之积小于1
11.(2024广西柳州高级中学期末)设f(x)和g(x)是定义在同一个区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“集团关联函数”,区间[a,b]称为“集团关联区间”.若f(x)=x2-2x+m与g(x)=-x2-x-m在[0,3]上是“集团关联函数”,则m的取值范围是　　　　.
12.(2024河北衡水期末)已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数,若函数h(x)=f(x)-x-b无零点,则实数b的取值范围为　　　　.
13.(2025山东青岛二中月考)已知函数f(x)=g(x)=x2-2mx+6,若函数y=g(f(x))有6个零点,则实数m的取值范围为　　　　.
14.(2024湖北武汉部分重点学校期末)已知函数f(x)=lo(ax2-x+2a-3),g(x)=xn+x-n.
(1)直接写出x>0时,g(x)的最小值;
(2)当a=2时,F(x)=f(x)+log43在x∈上是否存在零点 给出结论并证明;
(3)若g(2)=,f(g(x))存在两个零点,求a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第五章　函数应用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
基础过关练
1.B 2.A 5.C 6.B 9.C 10.C 11.BD 13.B
14.A 15.D
1.B　∵y=x2-ax+b的两个零点为2,3,∴方程x2-ax+b=0的根为2,3,∴2+3=a,2×3=b,∴a=5,b=6,
因此y=bx2-ax-1=6x2-5x-1,令6x2-5x-1=0,得x=1或x=-.
2.A　由2x+1>0,得x>-,所以f(x)的定义域为(易错点).
令f(x)==0,解得x=-1(舍去)或x=1,所以函数f(x)的零点是1.
易错警示
本题的易错点有两个:一是求函数的零点时首先要确定它的定义域;二是函数的零点是一个实数,而不是一个点.
3.答案　
解析　因为函数f(x)与g(x)=ex互为反函数,所以f(x)=ln x,
又因为函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,所以h(x)=-ln x,
由-ln x=1可得x=,则y=h(x)-1的零点为.
4.答案　{-1,1,4}
解析　令f(f(x))-1=0,
得或
解得f(x)=0或f(x)=2,
即或或或
解得x=-1或x=1或x=4,
故函数y=f(f(x))-1的所有零点构成的集合为{-1,1,4}.
5.C　解法一:当x≤0时,令x3+8=0,解得x=-2.
当x>0时,令f(x)=0,得log4x=3-x,
在同一平面直角坐标系中作出函数y=log4x的图象与直线y=3-x,如图,
由图可知函数y=log4x的图象与直线y=3-x恰有一个交点,即方程log4x=3-x恰有一个实根,
所以当x>0时,f(x)恰有1个零点.
故f(x)的零点个数为2.
解法二:当x≤0时,令x3+8=0,解得x=-2;当x>0时,f(x)=log4x+x-3单调递增,f(1)=-2<0,f(4)=2>0,故由零点存在定理知f(x)在(0,+∞)上有唯一零点.
综上,f(x)的零点个数是2.
6.B　函数的零点是一个数值,而不是一个点,A错误;
易知函数f(x)在(-2,-1)上单调递增,且图象连续,f(-2)<0,f(-1)>0,
所以由零点存在定理可知f(x)在区间(-2,-1)内存在零点,B正确;
在(0,+∞)上,f>0,f<0,f(1)=0,易知f(x)在上单调递减,且图象连续,
故f(x)在区间上存在一个零点,且x=1也是它的一个零点,结合B中分析可知,f(x)至少有3个零点,C错误;
D显然错误.
7.答案　1
解析　函数f(x)的定义域为(0,+∞),易知函数f(x)=-(k>0)在(0,+∞)上单调递减,
当k=1时,f(1)=1-1=0,函数f(x)有1个零点;
当00,
f(1)f(k)<0,故函数f(x)在(k,1)上有唯一零点;
当k>1时,f(1)=k-1>0,f(k)=1-<0,
f(1)f(k)<0,故函数f(x)在(1,k)上有唯一零点.
综上可得,函数f(x)=-(k>0)的零点个数为1.
8.解析　(1)解法一:令f(x)=0,即ln x+x2-3=0,即ln x=3-x2,故原函数的零点个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象(如图).
两函数的图象只有一个交点,故函数f(x)=ln x+x2-3有且只有一个零点.
解法二:∵f(1)=ln 1+12-3=-2<0,f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,∴f(1)f(2)<0,
又f(x)=ln x+x2-3的图象在(1,2)上是不间断的,
∴f(x)在(1,2)上必有零点,
易知f(x)在(0,+∞)上是单调递增的,
∴函数f(x)的零点有且只有一个.
(2)证明:∵f(1)=a+b+c=-,∴c=--b,
∴f(x)=ax2+bx--b.
对于方程f(x)=0,Δ=b2-4a=b2+6a2+4ab=(2a+b)2+2a2≥0,
又a>0,∴函数f(x)有两个不同的零点.
9.C　易得函数f(x)=2x+2x-40是R上的增函数,且f(4)=-16<0,f(5)=2>0,所以f(x)的零点所在的一个区间是(4,5).
10.C　因为函数y=ln x和y=x在(0,+∞)上均单调递增,所以函数f(x)=ln x+x在(0,+∞)上单调递增.
将题表中数据按照x从小到大排列如下:
x 0.5 0.562 5 0.625 0.75 1
f(x) -0.193 -0.013 0.155 0.462 1
由表格可得f(0.562 5)=-0.013<0,f(0.625)=0.155>0,
故由零点存在定理可得,零点所在的区间为(0.562 5,0.625).
11.BD　对于A,当x∈(-3,-1)时,ex<1,3x2>3,可得f(x)=ex-3x2<0,
所以f(x)在(-3,-1)上一定不存在零点,故A错误;
对于B,因为f(0)=1>0,f(-1)=-3<0,且f(x)的图象在(-1,0)上是连续不断的,所以f(x)在(-1,0)上一定存在零点,所以f(x)在(-1,1)上一定存在零点,故B正确;
对于C,令f(x)=ex-3x2=0,即ex=3x2,在同一平面直角坐标系内画出y=ex与y=3x2的图象,如图,
则两函数图象在(1,3)上无交点,所以f(x)在(1,3)上一定不存在零点,故C错误;
对于D,因为f(3)=e3-27<0,f(5)=e5-75>0,且f(x)的图象在(3,5)上是连续不断的,所以f(x)在(3,5)上一定存在零点,故D正确.
12.答案　2
解析　易知函数y=,y=-ln x+2在(0,+∞)上单调递减且图象连续,
所以函数f(x)=-ln x+2在(0,+∞)上单调递减且图象连续,
又f(e2)=-ln e2+2=>0,f(e3)=-ln e3+2=-1<0,所以f(x)的零点分布在区间(e2,e3)上,
又f(x)的零点在区间(ek,ek+1),k∈Z上,所以k=2.
13.B　当x>1时,f(x)=ln(x-1)单调递增,由ln(x-1)=0,得x=2,则f(x)在(1,+∞)上有一个零点,又f(x)有三个零点,所以方程x2+2x+a=0在(-∞,1]上有两个不相等的实根,
则解得-3≤a<1,所以a的取值范围为-3≤a<1.
14.A　令f(x)=x2-2mx-5=0,则Δ=4m2+20>0,即此方程在R上必有两个不等的实根,
由题意知方程x2-2mx-5=0在(3,4)上存在一个实根,
则f(3)f(4)<0,即(4-6m)(11-8m)<0,解得15.D　f(x)=2x-1+21-x+x2-2ax+a2-2=2x-1+21-x+(x-a)2-2,
令f(x)=0,则2x-1+21-x-2=-(x-a)2,令g(x)=2x-1+21-x-2,
∵2x-1>0,21-x>0,∴g(x)=2x-1+21-x-2≥2-2=0,当且仅当x-1=1-x,即x=1时等号成立,
令h(x)=-(x-a)2,其图象开口向下,易知h(x)≤0,当且仅当x=a时等号成立,
∴当且仅当a=1时,g(x)=h(x).
16.解析　当f(x)存在两个零点时,设这两个零点分别为x1,x2.
(1)由题意知解得2所以实数a的取值范围为.
(2)由题意知解得-2所以实数a的取值范围为(-2,2).
(3)由题意知f(2)=22-2a+a2-4<0,解得0所以实数a的取值范围为(0,2).
(4)由题意知解得0所以实数a的取值范围为(0,2).
17.解析　(1)由f(-x)=f(x)得|x2-4|+x2-ax=|x2-4|+x2+ax,即2ax=0对任意实数x都成立,∴a=0.
(2)当-2≤x≤2时,f(x)=4+4x,
令4+4x=0,解得x=-1;
当x>2或x<-2时,f(x)=2x2+4x-4,
令2x2+4x-4=0,解得x=-1±,∴x=-1-.
综上,函数f(x)的零点为-1和-1-.
(3)当|x|≤2时,f(x)=ax+4,令ax+4=0,可知方程在(0,2]上最多有一个实数根;
当|x|>2时, f(x)=2x2+ax-4,令2x2+ax-4=0,
若x1,x2均为该方程在(2,4)上的实数根,
则x1x2=-2,不符合题意,
故x1∈(0,2],x2∈(2,4).
由ax1+4=0得a=-,∴a≤-2;
由2+ax2-4=0得a=-2x2,∴-7综上所述,实数a的取值范围为-7能力提升练
1.C 2.ACD 3.B 4.D 5.ACD 8.A 9.A 10.ABD
1.C　函数y=[f(x)]2-3f(x)+2=[f(x)-1][f(x)-2]的零点,即方程f(x)=1和f(x)=2的根,
作出函数f(x)的图象,如图所示,
由图可得方程f(x)=1和f(x)=2的根共有4个,即函数y=[f(x)]2-3f(x)+2有4个零点.
2.ACD　因为-1和1是f(x)的零点,
所以解得b=-1,c=-a,
所以f(x)=x3+ax2-x-a=x(x2-1)+a(x2-1)=(x+a)(x-1)(x+1),
因为x0为函数f(x)的零点,所以x0=-a,故A正确;
当a=0时,g(x)=-x有一个零点,故C正确;
当a≠0时,对于方程g(x)=ax2-x-a=0,Δ=1+4a2>0,
所以函数g(x)有两个零点,故D正确;
由上述分析知,函数g(x)一定存在零点,故B错误.
3.B　g(x)的零点即函数f(x)的图象与直线y=m的交点的横坐标,在同一坐标系内作出f(x)的大致图象及直线y=m,如图,
则它们有三个交点,
由于f(0)=6,f=0,所以0不妨设x1又|ln x2|=|ln x3|,即-ln x2=ln x3,所以x2x3=1,故x1x2x3=x1∈.
4.D　画出f(x)的图象如图所示,
由图可得-x1=x2,x3+x4=6,故lg(-x1)=lg x2,
令x2-6x+8=0,得x=2或x=4,故x3∈(1,2),
故lg(-x1)-lg x2++=+=-,
又∈(2,4),
所以lg(-x1)-lg x2++∈(6,20).
解后反思
函数零点问题或方程解的问题通常转化为两函数图象的交点问题,将代数问题几何化,借助图象分析,大大降低了思维难度,注意要熟悉常见的函数图象,如指数函数、对数函数、幂函数等,还要熟练掌握函数图象的变换,包括平移、伸缩、对称和翻折等,涉及零点之和时,通常考虑图象的对称性.
5.ACD　当1≤x≤时,f(x)=2x-2,
当当2当3当4当6依次类推,可得函数f(x)在各段上的解析式,作出函数f(x)的大致图象,如图中实线部分所示,
对于A,由f(x)-x=0,得f(x)=x,
由图可知,直线y=x与y=f(x)的图象有3个交点,所以函数y=f(x)-x有3个零点,A正确;
对于B,当n=1时,令f(x)-=0,即f(x)=,由图可知,直线y=与y=f(x)的图象有3个交点,
所以方程f(x)-=0有3个不同的解,B错误;
对于C,若对于实数x∈[1,+∞),不等式2xf(x)-3≤0恒成立,即f(x)≤恒成立,
由图可知,f(x)的图象的每一个上顶点都在曲线y=上,所以f(x)≤在x∈[1,+∞)上恒成立,C正确;
对于D,当n=1时,x∈[1,2],此时f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积为×1×1=,
当n=2时,x∈[2,4],此时f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积为×2×=,
当n=3时,x∈[4,8],此时f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积为×4×=,……,
当x∈[2n-1,2n](n∈N*)时,f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积为×(2n-2n-1)×=,D正确.
6.答案　-2
解析　令f(x)=4x+2x-m=0,得22x=m-2x,
令g(x)=log2x+2x+1-m=0,得log22x=m-2x,
令h(x)=2x+m+4=0,得x=-,故c=-,
令2x=t,则2t=m-t,log2t=m-t,
易知函数y=2t,y=log2t互为反函数,其图象关于直线y=t对称,
设方程2t=m-t,log2t=m-t的根分别为t1,t2,
联立解得t=,则t1+t2=2×=m,
易得2a=t1,2b=t2,因此a+b==,
故a+b+c=+=-2.
7.解析　(1)易知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(x)=-+-,
由f(x)是奇函数,得f(-x)+f(x)=++-+-+-=++-1=-1=0,解得a=2.
(2)证明:易得f(x)=--+,a>1,
函数y=-在(0,+∞)上单调递增,y=-+在(0,+∞)上单调递增,
因此f(x)在(0,+∞)上单调递增,
又f(1)=-<0,f(2)=-+=>0,
且f(x)的图象在(0,+∞)上是连续不断的,
所以f(x)在(0,2)上有唯一的零点.
(3)证明:因为a>1,所以1<2a-1=a2-(a-1)2则f(loga(2a-1))=--+=-=<0,
即f(loga(2a-1))由(2)知f(x)在(0,+∞)上单调递增,
故x0>loga(2a-1),则x0-1>loga(2a-1)-1=loga,
所以x0-1>loga.
8.A　易得f(2)=8,f(4)=f(6)=0,画出f(x)的图象如图,
令g(x)=0,则2[f(x)]2-mf(x)=0,可得f(x)=0或f(x)=,
由图知f(x)=0有3个不等的实根,分别为0,4,6,
又g(x)有6个零点,所以f(x)=有3个不等实根,且均不与0,4,6相等,所以∈[1,8),解得m∈[2,16).
9.A　由于g(x)=log2(4x-m·2x)在区间[0,1]上有且仅有一个不动点和一个次不动点,
所以方程log2(4x-m·2x)=x,log2(4x-m·2x)=-x在[0,1]上都有且仅有1个实根,
由log2(4x-m·2x)=x,即4x-m·2x=2x,知m=2x-1在[0,1]上有且仅有1个实根,
因为函数y=2x-1在[0,1]上单调递增,所以20-1≤m≤21-1,即0≤m≤1.
由log2(4x-m·2x)=-x,即4x-m·2x=2-x,知m=2x-在[0,1]上有且仅有1个实根,
因为函数y=2x-在[0,1]上单调递增,所以20-≤m≤21-,即0≤m≤.
综上可知,0≤m≤1.
10.ABD　作出函数f(x)的图象,如下:
对于A,B,方程f(x)=a有四个不同的实根,即直线y=a与函数f(x)的图象有4个交点,则1设从左到右4个交点的横坐标依次为x1,x2,x3,x4,则x1<-1其中x1,x2是方程-x2-2x+1=a的两个不等实根,则x1+x2=-2,
x3,x4满足|log2x3|=|log2x4|,得log2x3+log2x4=0,即log2(x3x4)=0,即x3x4=1,A,B正确.
对于C,当a=2时,直线y=a与函数f(x)的图象有3个交点,即方程f(x)=a有三个不同的实根,C错误.
对于D,当x<0时,3-x>3,由图知当x<0时,f(x)≤2,所以由f(x)=3-x得x>0,
所以3-x=log2x,x>1或3-x=-log2x,0当x>1时,有3=x+log2x,易知函数y=x+log2x在(1,+∞)上单调递增,x=2是方程3=x+log2x唯一的根;
当≤x<1时,3-x>2,-log2x≤1,即方程3-x=-log2x在≤x<1时无解;
当00,g=-<0,于是g(x)在内有零点,即方程3-x=-log2x在内有解,
因此方程f(x)=3-x的两根之积小于1,D正确.
11.答案　
解析　因为f(x)=x2-2x+m与g(x)=-x2-x-m在[0,3]上是“集团关联函数”,
所以y=f(x)-g(x)=x2-2x+m-(-x2-x-m)=2x2-x+2m在x∈[0,3]上有两个不同的零点,
即2x2-x+2m=0在x∈[0,3]上有两个不同的根,
设h(x)=2x2-x+2m,其图象开口向上,对称轴为直线x=,
则解得0≤m<.
故m的取值范围是.
12.答案　(-∞,0]
解析　因为f(x)是偶函数,所以 x∈R,有f(-x)=f(x),
即log9(9-x+1)-kx=log9(9x+1)+kx,
即2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9-log9(9x+1)=log9=-x,所以(2k+1)x=0,所以k=-.
函数h(x)=f(x)-x-b无零点,即log9(9x+1)-x=x+b无实数解,即log9(9x+1)-x=b无实数解,
令g(x)=log9(9x+1)-x,则g(x)的图象与直线y=b无交点,
g(x)=log9=log9,
因为y=在R上单调递减,所以g(x)=log9在R上单调递减,
当x趋向于正无穷大时,趋近于0,故1+趋近于1,
当x趋向于负无穷大时,1+趋近于正无穷大,
故g(x)∈(0,+∞),
故要使得g(x)的图象与直线y=b无交点,需满足b≤0,即实数b的取值范围为(-∞,0].
13.答案　∪
解析　当x>0时,f(x)=5×+1,此时f(x)单调递减,且f(x)∈(1,6);
当x≤0时,f(x)=|x2+6x+8|,令x2+6x+8=0,得x=-2或x=-4.
作出函数f(x)的图象,如图所示:
令f(x)=t,因为y=g(f(x))有6个零点,所以t2-2mt+6=0有两个不同的实数根,设为t1,t2,且t1所以Δ=4m2-24>0,解得m>或m<-,
令h(t)=t2-2mt+6,结合函数f(x)的图象可知,
①当0②当1≤t1解得1综上所述,实数m的取值范围为∪.
易错警示
利用图象解决函数零点问题时,画函数图象一定要准确.
14.解析　(1)因为x>0,所以xn>0,x-n>0,所以g(x)=xn+x-n=xn+≥2=2,
当且仅当xn=,即x=1时等号成立,
所以当x>0时,g(x)的最小值为2.
(2)当a=2时,F(x)=f(x)+log43在x∈上存在零点,证明如下:
当a=2时,f(x)=-log3(2x2-x+1),
令t=2x2-x+1=2+,则t>0,
易知函数t=2x2-x+1在上单调递增,
又函数y=log3t在(0,+∞)上单调递增,
所以F(x)=-log3(2x2-x+1)+log43在上单调递减,
因为F(1)=-log32+log43,
==<===<1,
所以F(1)=-log32+log43>0,
又F=-log34+log43,log34>1,log43<1,
所以F=-log34+log43<0,
所以F(1)F<0,
易知F(x)的图象在上是连续不断的,
所以F(x)在x∈上存在零点.
(3)由g(2)=2n+=,解得n=±1,则g(x)=x+∈(-∞,-2]∪[2,+∞).
令m=g(x),则f(g(x))存在两个零点等价于f(m)在m∈(-∞,-2)∪(2,+∞)上存在一个零点或f(m)有-2和2两个零点,令G(x)=ax2-x+2a-4,则G(x)在x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)上存在一个零点或G(x)有-2和2两个零点.
(i)两个零点为-2和2时,代入G(x)的解析式可知a无解,
(ii)在(-∞,-2)∪(2,+∞)上有一个零点时,
①若a=0,则G(x)=-x-4,令G(x)=0,得x=-4,满足条件.
②若a≠0,则
a.解得a=;
b.G(2)·G(-2)=(6a-6)(6a-2)<0,解得综上所述,a的取值范围是∪.
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