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2026北师大版高中数学必修第一册
1.2　利用二分法求方程的近似解
基础过关练
题组一　二分法的概念及适用条件
1.(2025广东广州华南师大附中月考)下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是　　(　　)
　　　　　　　　
　　　　
2.(2025江西九江田家炳实验中学月考)下列函数零点不宜用二分法求出的是(　　)
A. f(x)=x3-8　　　　B. f(x)=ln x+3
C. f(x)=x2+2x+2　　　　D. f(x)=-x2+4x+1
3.(2024江西吉安新干中学期末)用二分法研究函数f(x)=x2+3x-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈(0,0.5),则第二次还需计算函数值(　　)
A. f(1)　　　　B. f(-0.5)
C. f(0.25)　　　　D. f(0.125)
4.(多选题)(2024陕西宝鸡期末)用二分法求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据:f(1)=-2,f(1.5)=0.625,f(1.25)≈-0.984,f(1.375)≈-0.260,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)在(1.25,1.5)上有零点
B.已经达到精确度,可以取1.375作为近似值
C.没有达到精确度,应该接着计算f(1.312 5)
D.没有达到精确度,应该接着计算f(1.437 5)
5.(2024福建莆田第二十五中学期末)若用二分法求方程2x3+3x-3=0在初始区间(0,1)内的近似解,则第三次所取区间的中点为　　　　.
题组二　用二分法求函数零点的近似值
6.已知函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点,且都可以用二分法求得,其图象是连续不断的,若f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,则下列说法不正确的是(　　)
A.函数f(x)的两个零点可能分别在区间(0,1)和(1,2)内
B.函数f(x)的两个零点可能分别在区间(1,2)和(2,3)内
C.函数f(x)的两个零点可能分别在区间(0,1)和(2,3)内
D.函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内
7.(2025江西南昌第十中学月考)已知函数f(x)=x3+x-1在(0,1)内有一个零点,且求得f(x)的部分函数值如下表所示:
x 0 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5 0.687 5 0.656 25
f(x) -1 1 -0.375 0.171 9 -0.130 9 -0.259 5 0.012 45 -0.061 13
若用二分法求f(x)零点的近似值(精确度为0.1),则对区间(0,1)等分的最少次数和f(x)零点的一个近似值分别为(　　)
A.4,0.7　　　　B.5,0.7　　　　
C.4,0.65　　　　D.5,0.65
8.(2025江西赣州上犹中学月考)已知函数f(x)=ln x+2x-6在区间(2,3)内存在一个零点,用二分法求它的近似值时,至少需要求　　　次中点值(精确度为0.01)(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8
9.(2025湖北黄冈月考)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算后的相关数据如表所示:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260
f(1.438)=0.165 f(1.406 5)=-0.052
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为　　　　.
10.(2024江西萍乡期末)已知函数f(x)=x+-3.
(1)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并用定义证明;
(2)(教材习题改编)用二分法求方程f(x)=0在区间(1,+∞)上的一个近似解(精确度为0.1).
11.(2025山东青岛月考)已知f(x)=ln x+x-2,g(x)=ex+x.
(1)用二分法求方程f(x)=0的一个近似解(精确度为0.5,精确到0.1);
(2)设f(x1)=0,g(x2)=0,求证:x1x2>-e.
题组三　二分法思想的应用
12.(2025湖南长沙月考)一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点,若知道电路不通是由焊接点脱落造成的,要想借助万用表,利用二分法的思想检测出是第几个焊接点脱落,则最多需要检测(　　)
A.4次　　　　B.6次　　　　C.7次　　　　D.50次
13.为防范某种病毒的境外输入,某机场海关在对入境人员进行病毒检测时采用“优选法”提高效率:每32人为一组,把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查.若为阴性,则全部放行;若为阳性,则对该组32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性),若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组,选其中一组16人的样本混合检查,若为阴性,则认定感染者在另一组内;若为阳性,则认定在本组内.继续把认定的这组的16人均分为两组,选其中一组8人的样本混合检查……依此类推,求最终从这32人中认定那名感染者需要经过的检测的次数.
答案与分层梯度式解析
1.2　利用二分法求方程的近似解
基础过关练
1.C 2.C 3.C 4.AD 6.C 7.C 8.C 12.C
1.C　能用二分法求零点的函数的图象必须在给定闭区间(不妨记为[a,b])上连续不断,并且f(a)f(b)<0,A,B中不存在f(a)f(b)<0,D中函数图象不连续.易知C满足题意.
2.C　A,B中的函数均在定义域内单调递增,且与x轴有唯一交点,交点两侧附近的函数值异号,可用二分法求零点;
对于C,f(x)=x2+2x+2=(x+)2只有一个零点x=-,且在该零点左右两侧附近的函数值都大于零,故不宜用二分法求零点;
对于D,f(x)=-x2+4x+1=-(x-2)2+5,其在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(2)=5>0,则零点左右两侧附近的函数值异号,可用二分法求零点.
3.C　由于(0+0.5)=0.25,则第二次需计算f(0.25).
4.AD　对于A,f(1.25)f(1.5)<0,且f(x)的图象是一条连续不断的曲线,故由零点存在定理知,f(x)在(1.25,1.5)上有零点,故A正确;
对于B,1.5-1.375=0.125>0.1,没有达到精确度,故B错误;
对于C,D,没有达到精确度,且=1.437 5,所以应该接着计算f(1.437 5),故C错误,D正确.
5.答案　
解析　设f(x)=2x3+3x-3,则f(0)=-3<0,f(1)=2>0,f(0)f(1)<0,∴第一次取区间(0,1)的中点,为,
f=-<0, ff(1)<0,
∴f(x)的零点所在的区间为,
∴第二次取区间的中点,为,
f=>0,ff<0,
∴f(x)的零点所在的区间为,
∴第三次取区间的中点,为=.
6.C　对于A,令f(1)<0,f(2)>0,f(3)>0,则函数f(x)的两个零点可能分别在区间(0,1)和(1,2)内,故A中说法正确;
对于B,令f(1)>0,f(2)<0,f(3)>0,则函数f(x)的两个零点可能分别在区间(1,2)和(2,3)内,故B中说法正确;
对于C,已知f(0)>0,若函数f(x)的两个零点分别在区间(0,1)和(2,3)内,则必有f(1)<0,f(2)<0,f(3)>0,与f(1)f(2)f(3)<0矛盾,故C中说法错误;
对于D,如果函数f(x)的两个零点都在区间(1,2)内,由f(0)>0,知f(1)>0,f(2)>0,进而有f(3)>0,与f(1)f(2)f(3)<0矛盾,所以函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内,故D中说法正确.
7.C　设零点为x0,
因为f(0)<0,f(1)>0,f(0.5)<0,所以x0∈(0.5,1),精确度为1-0.5=0.5>0.1,
又=0.75,f(0.75)>0,所以x0∈(0.5,0.75),精确度为0.75-0.5=0.25>0.1,
又=0.625,f(0.625)<0,所以x0∈(0.625,0.75),精确度为0.75-0.625=0.125>0.1,
又=0.687 5,f(0.687 5)>0,所以x0∈(0.625,0.687 5),精确度为0.687 5-0.625=0.062 5<0.1,此时满足要求,
故对区间(0,1)至少等分4次,才能满足f(x)零点的近似值的精确度为0.1,且零点的一个近似值可取区间(0.625,0.687 5)内的任意一个值,结合选项知C正确.
8.C　开区间(2,3)的区间长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,
经过n次操作后,区间长度变为,
∵要求精确度为0.01(说明区间长度不超过0.01),
∴≤0.01,∵=>0.01,=<0.01,∴n≥7,
即至少需要求7次中点值.
9.答案　1.4
解析　易知f(x)的图象在定义域内是连续不断的,
因为f(1)f(1.5)<0,所以在(1,1.5)内函数f(x)必有零点,
因为f(1.25)f(1.5)<0,所以函数f(x)的零点在(1.25,1.5)内,
因为f(1.375)f(1.5)<0,所以函数f(x)的零点在(1.375,1.5)内,
因为f(1.375)f(1.438)<0,所以函数f(x)的零点在(1.375,1.438)内,
而f(1.406 5)=-0.052,
故方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为1.4.
易错警示
要注意“精确度”和“精确到”的区别:“精确度”是指二分法迭代过程中,近似解与精确解之间的接近程度,“精确到”是指根据题目要求将得到的结果保留到指定的数位.
10.解析　(1)函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.证明如下:
任取x1,x2∈(1,+∞),不妨设x1则f(x2)-f(x1)=x2-x1+-=,
因为10,x1x2-1>0,x1x2>0,可得f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.
(2)函数f(x)=x+-3在区间(1,+∞)上的零点即为方程f(x)=0在区间(1,+∞)上的解,
因为f(x)在区间(1,+∞)上是单调的且图象连续,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)在(1,+∞)内有且仅有一个零点,记为x0,则x0∈(2,3),
在区间(2,3)上利用二分法列表如下:
区间 区间中点 中点函数值 区间长度
(2,3) f<0 1
f>0
f>0
f<0
故x0在区间内,此时区间长度为,<,满足精确度为0.1,故区间,即(2.562 5,2.625)内的任意一个实数都是符合要求的一个近似解,比如2.6是方程f(x)=0在(1,+∞)上的一个近似解.
11.解析　(1)易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,且其图象是连续不断的,
f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,
则f(x)=0的解(记为x0)在区间(1,2)内.
取=,则f=ln +-2=ln -=ln =ln <0,则x0∈,精确度为=0.5,
取=,则f=ln +-2=ln -=ln =ln >0,则x0∈,精确度为-=<0.5,且==ln ,1<<,
所以x=更接近于f(x)的零点,故方程f(x)=0的一个近似解为1.5.
(2)证明:由题意得即
故ln x1+ln(-x2)=ln(-x1x2)=2-x1+x2,且x2<0,
要证x1x2>-e,即证-x1x2即证x2由(1)知x212.C　第一次,可去掉50个结果,从剩余的50个中继续采用二分法检测;
第二次,可去掉25个结果,从剩余的25个中继续采用二分法检测;
第三次,可去掉12个或13个结果,考虑至多的情况,所以去掉12个结果,从剩余的13个中继续采用二分法检测;
第四次,可去掉6个或7个结果,考虑至多的情况,所以去掉6个结果,从剩余的7个中继续采用二分法检测;
第五次,可去掉3个或4个结果,考虑至多的情况,所以去掉3个结果,从剩余的4个中继续采用二分法检测;
第六次,可去掉2个结果,从剩余的2个中继续采用二分法检测;
第七次,可去掉1个结果,得到最终结果.
所以最多需要检测7次.
13.解析　第1次检验:32人均分为两组,每组16人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第2次检验:留下的16人均分为两组,每组8人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第3次检验:留下的8人均分为两组,每组4人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第4次检验:留下的4人均分为两组,每组2人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第5次检验:任意检验其中的1人,若该人检测结果为阴性,则另一个人感染,若该人检测结果为阳性,则该人感染.
综上,最终从这32人中认定那名感染者需要经过的检测次数为5.
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