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2026北师大版高中数学必修第一册
专题强化练5　函数零点的综合应用
1.(2025湖南长沙长郡十八校月考)已知函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示:
x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5
f(x) -1 0.875 -0.296 9 0.224 6 -0.051 51
那么方程x3-x-1=0的一个近似解(精确度为0.1)为(　　)
A.1　　　　B.1.5　　　　C.1.25　　　　D.1.312 5
2.(2025重庆期中)已知实数a>0,且a≠1,若函数f(x)=ax+logax在(1,2)上存在零点,则(　　)
A.a2+loga2<0　　　　B.a2-log2a<0
C.a4+loga2>0　　　　D.a-loga2<0
3.(2024重庆第一中学校期末)已知函数f(x)=e-x-a(x+1)其中A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4.(2025江西萍乡期中)已知函数f(x)=若函数g(x)=[f(x)]2-2(m+2)f(x)+4m恰有5个零点,则实数m的取值范围是(　　)
A.(0,1]　　　　B.
C.[1,+∞)　　　　D.
5.(2025江西华东师范大学上饶实验中学检测)设函数f(x)的定义域为R,f(x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当x∈(-1,1]时,f(x)=-x2+1,则下列结论错误的是(　　)
A. f=-　　　　
B. f(x+7)为奇函数
C. f(x)在(6,8)上单调递减　　　　
D.方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解
6.(多选题)(2025安徽巢湖二中月考)已知函数f(x)=实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c)=λ,且aA.f(f(-3))=-35
B.λ∈
C.a+b+c∈(1,2)
D.函数y=f(f(x))-λ有5个不同的零点
7.(2024山东泰安宁阳第四中学月考)已知函数f(x)=若f(x)是单调函数,则实数a的取值范围是　　　　;若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有三个零点,则实数a的取值范围是　　　　.
8.(2025广东佛山期末)已知函数f(x)=|ln x+1|-m+2,g(x)=(m+1)|ln x-1|-16.
(1)讨论函数f(x)的零点个数;
(2)若f(x)有两个零点x1,x2(x1答案与分层梯度式解析
专题强化练5　函数零点的综合应用
1.D 2.A 3.C 4.B 5.C 6.ACD
1.D　由于f(x)=x3-x-1在R上为连续函数,f(1.375)=0.224 6>0,f(1.312 5)=-0.051 51<0,
且1.375-1.312 5=0.062 5<0.1,而1.5-1=0.5>0.1,1.5-1.25=0.25>0.1,1.375-1.25=0.125>0.1,均不合要求,结合选项,知方程x3-x-1=0的一个近似解为1.312 5,D正确.
2.A　当a>1时,f(x)=ax+logax在(0,+∞)上单调递增,
则需f(1)=a+loga1=a<0,与a>1矛盾,故舍去,
当0则需f(1)=a+loga1=a>0,f(2)=a2+loga2<0,故A正确;
由0a2-0>0,a4+loga2a-loga2>a-0>0,故B,C,D错误.
3.C　令f(x)=e-x-a(x+1)=0,则有e-x=a(x+1),其中当a=1时,有e-x=x+1,易得此方程只有一个根,为x=0,
当a=时,有e-x=(x+1),即3=x+1,易得此方程只有一个根,为x=2,如图所示,
因为x0是f(x)的一个零点,所以x0∈(0,2),
且=a(x0+1),即=,
因此x0+a=x0+=x0+1+-1,
令m=x0+1,则m∈(1,3),由对勾函数的性质可知y=m+-1在(1,3)上单调递增,
所以m+-1∈,即x0+a的取值范围是.
4.B　由函数g(x)=[f(x)]2-2(m+2)f(x)+4m恰有5个零点,得方程[f(x)]2-2(m+2)f(x)+4m=0有5个根,作出函数y=f(x)的图象,如图所示,
令t=f(x),观察图象知,当0当t>1时,直线y=t与y=f(x)的图象有2个交点,
令h(t)=t2-2(m+2)t+4m,
由函数g(x)有5个零点,得h(t)=0有两个不等实根,记为t1,t2,且t1因此或
解得0所以实数m的取值范围是.
解题模板
本题为复合函数的零点问题,解决这类问题的关键是换元,解题步骤如下(以求y=f(u(x))的零点为例):
(1)求外层函数f(u)的零点u1,u2,…,un;
(2)解内层函数对应的方程u(x)=u1,u(x)=u2,……,u(x)=un,这些方程的解就是复合函数y=f(u(x))的零点.
5.C　∵f(x-1)为奇函数,即f(x-1)=-f(-x-1),即f(x-1)+f(-x-1)=0,∴f(x)的图象关于点(-1,0)对称,
∵f(x+1)为偶函数,即f(x+1)=f(-x+1),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴f(x)=f(-x+2)=-f(x-4),即f(x+4)=-f(x),则f(x+4)=f(x-4),即f(x+8)=f(x).
A选项,f=f=-f=-=-,A中结论正确;
B选项,f(x+7)=f(x-1),所以f(x+7)为奇函数,B中结论正确;
C选项,当x∈(7,8)时,x-8∈(-1,0),所以f(x)=f(x-8)=-(x-8)2+1,所以f(x)在(7,8)上单调递增,C中结论错误;
D选项,由f(x)+lg x=0,得f(x)=-lg x,在同一坐标系内作出函数f(x)及y=-lg x的图象,如图所示,
由已知得函数f(x)的值域为[-1,1],且-lg 10=-1,
当x>10时,-lg x<-1,此时函数y=-lg x与f(x)的图象无公共点,
当0故方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解,D中结论正确.
6.ACD　由题知f(-3)=23-1=7,
所以f(f(-3))=f(7)=2×7-72=-35,故A正确;
由f(a)=f(b)=f(c)=λ,知函数y=f(x)的图象与直线y=λ至少有三个不同的交点,作出函数f(x)的图象,如图:
结合图象,可得λ∈(0,1),故B错误;
根据二次函数的对称性知,b+c=1×2=2,又2-(-1)-1=1,所以-1由y=f(f(x))-λ=0得f(f(x))=λ,
由题意知f(x)=a或f(x)=b或f(x)=c,
所以y=f(f(x))-λ的零点个数为方程f(x)=a,f(x)=b,f(x)=c的解的个数之和,
即y=f(x)的图象与直线y=a,y=b,y=c的交点个数之和,
由C可知-1y=f(x)的图象与直线y=a有一个交点,与直线y=b有三个交点,与直线y=c有一个交点,
所以函数y=f(f(x))-λ有5个不同的零点,故D正确.
7.答案　[2,4];(-∞,0)
解析　因为函数y=2x在定义域内是增函数,所以函数f(x)为增函数,所以a≥0且2a≤a2,
在同一坐标系下作出函数y=2x与y=x2的图象,如图1所示,
　
由图1可知,实数a的取值范围是[2,4].
函数g(x)=f(x)-b有三个零点等价于函数y=f(x)的图象与直线y=b有三个交点,
作出函数y=f(x)的大致图象,如图2所示,
由图2可知,当a<0时,存在实数b,使得函数f(x)的图象与直线y=b有三个交点,
所以要使函数g(x)有三个零点,则实数a的取值范围是(-∞,0).
8.解析　(1)设h(x)=|ln x+1|+2,则f(x)的零点个数可转化为方程m=h(x)的根的个数.
h(x)=作出h(x)的图象如图所示,
显然h(x)在上单调递减,在上单调递增,故h(x)≥h=2.
所以当m<2时,f(x)没有零点;当m=2时,f(x)有1个零点;当m>2时,f(x)有2个零点.
(2)由(1)知当f(x)有两个零点时,m>2,
若g(x)有两个零点,则(m+1)|ln x-1|-16=0有两个不相等的根,
令r(x)=|ln x-1|,则直线y=和r(x)的图象有两个不同的交点,作出r(x)的图象,如图所示:
则>0,解得m>-1,综上可得m>2.
由(1)和x1同理可求得ln x3=,ln x4=,
所以(ln x2+ln x4)-(ln x1+ln x3)=ln =2m+-4
=2(m+1)+-6≥2-6=10,
当且仅当2(m+1)=,即m=3时取等号,所以ln ≥10,因此的取值范围为[e10,+∞).
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