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2026北师大版高中数学必修第一册
第一章　预备知识
§1　集合
1.1　集合的概念与表示
基础过关练
题组一　集合的概念与元素的特征
1.(2025湖南长沙一中月考)若x1,x2,x3,x4为集合A的四个元素,则以x1,x2,x3,x4为边长的四边形的形状可能为(　　)
A.等腰梯形　　　　B.直角梯形　　　　C.菱形　　　　D.矩形
2.(2025江西鹰潭余江一中月考)若集合A={x|mx2+2x+m=0,m∈R}中有且只有一个元素,则m的值的集合是(　　)
A.{-1}　　　　B.{0}　　　　C.{-1,1}　　　　D.{-1,0,1}
3.(多选题)(2025江苏宿迁湖滨高级中学月考)下列四个说法中正确的是(　　)
A.10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}
B.由2,3组成的集合可表示为{2,3}或{3,2}
C.方程x2-4x+4=0的所有解组成的集合是{2,2}
D.0与{0}表示同一个集合
题组二　元素与集合的关系
4.(2025江西上饶联考)下列正确的是(　　)
A.-2∈N+　　　　B.π Q　　　　C.0 N　　　　D.∈Z
5.(2025江西赣州瑞金第一中学月考)已知集合A={t|2t-3a+4>0},若2 A,则实数a的取值范围为(　　)
A.　　　　B.　　　　
C.　　　　D.
6.(2025湖南师大附中月考)若集合M={(x-y,x+y)|y=2x},则(　　)
A.(3,-1)∈M　　　　B.(-1,3)∈M
C.(-1,2)∈M　　　　D.(2,-1)∈M
7.(易错题)(2025江西赣州中学月考)已知集合S={1,a-1,a2},若4∈S,则a=　　　　.
题组三　集合的表示
8.(2025福建泉州月考)方程组的解集是　　　　.
9.(教材习题改编)集合A=x∈Z∈Z可用列举法表示为A=　　　　.
10.(教材习题改编)选择适当的方法表示下列集合:
(1)绝对值不大于2的所有整数组成的集合A;
(2)所有正奇数组成的集合B;
(3)二次函数y=x2-2x+3的图象上所有的点组成的集合C.
题组四　空集及区间表示
11.集合A=xy=用区间表示为(　　)
A.(1,2)　　　　B.(1,2]　　　　C.[1,2)　　　　D.[1,2]
12.(2025陕西西安工大附中月考)若集合A={x|ax2+ax+2=0}为空集,则实数a的取值范围是　　(　　)
A.{a|0C.{a|a<0或a>8}　　　　D.{a|a≤0或a>8}
13.若关于x的方程=1+的解构成的集合为空集,则k的值为(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
能力提升练
题组一　集合中元素特征的应用
1.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.集合{(2,4)}和{(4,2)}表示同一个集合
B.不等式2x-5<7的整数解组成的集合是无限集
C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合
D.数1,0,5,,,,组成的集合中有7个元素
2.(2024湖南长沙雅礼中学月考)设集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,定义集合A☉B,满足x1∈A,x2∈B且x1x2∈A☉B,则A☉B中所有元素之积为(　　)
A.-8　　　　B.-16　　　　C.8　　　　D.16
题组二　元素与集合的关系
3.(多选题)(2024江西上饶期末)已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z},且x1,x2∈A,x3∈B,则下列判断正确的是(　　)
A.x1x2∈A　　　　B.x2x3∈B
C.x1+x2∈B　　　　D.x1+x2+x3∈A
4.(2025河北衡水安平中学月考)已知a∈Z,A={(x,y)|ax-y≤3},且(2,1)∈A,(1,-4) A,则a的取值不可能为(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
5.(2024湖北孝感高中调研)设集合A=2,3,a2-3a,a++7,B={|a-2|,3},已知4∈A且4 B,则a的取值构成的集合为　　　　.
题组三　集合中的综合问题
6.(2025江西抚州临川第一中学月考)用C(A)表示非空集合A中元素的个数,定义A*B=若A={1},B={x|x(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值构成集合S,则C(S)=(　　)
A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.9
7.(2025江苏南京师范大学附属中学调研)已知m∈R,集合A={x|m8.(2025河南南阳月考)设实数集S满足下面两个条件:①1 S;②若a∈S,则∈S.
(1)求证:若a∈S,则1-∈S;
(2)若2∈S,则S中必含有其他的两个数,试求出这两个数.
答案与分层梯度式解析
第一章　预备知识
§1　集合
1.1　集合的概念与表示
基础过关练
1.B 2.D 3.AB 4.B 5.A 6.B 11.C 12.B
13.D
1.B　由集合中元素的互异性可知x1,x2,x3,x4均不相等,而等腰梯形两腰的长相等,菱形四条边的长都相等,矩形两组对边的长分别相等,故A,C,D错误,B正确.
2.D　当m=0时,A={x|2x=0}={0},符合题意;当m≠0时,由题意知Δ=4-4m2=0,解得m=±1,符合题意,故满足题意的m的值的集合是{-1,0,1}.
3.AB　对于A,10以内的质数有2,3,5,7,组成的集合是{2,3,5,7},故A正确;
对于B,由集合中元素的无序性知{2,3}和{3,2}都可表示由2,3组成的集合,故B正确;
对于C,由集合中元素的互异性知C错误;
对于D,0是实数,不是集合,故D错误.
4.B　对于A,因为-2不是正整数,所以-2 N+,故A错误;
对于B,因为π不是有理数,所以π Q,故B正确;
对于C,因为0是自然数,所以0∈N,故C错误;
对于D,因为不是整数,所以 Z,故D错误.
5.A　由2 A可得2×2-3a+4≤0,解得a≥,即实数a的取值范围为aa≥.
6.B　对于A,由解得不满足y=2x,故(3,-1) M,故A错误;
对于B,由解得满足y=2x,故(-1,3)∈M,故B正确;
对于C,由解得不满足y=2x,故(-1,2) M,故C错误;
对于D,由解得不满足y=2x,故(2,-1) M,故D错误.
7.答案　-2或5
解析　由题意得a-1=4或a2=4,
若a-1=4,则a=5,此时S={1,4,25},符合题意;
若a2=4,则a=2或a=-2,
当a=2时,a-1=1,S={1,4}(易错点),不合题意,舍去,
当a=-2时,S={1,-3,4},符合题意.
综上,a=-2或a=5.
易错警示
对于集合中的含参问题,求得参数的值后,要注意检验集合中元素的互异性.
8.答案　{(1,-1),(-2,2)}
解析　由解得或所以原方程组的解集是{(1,-1),(-2,2)}.
易错警示
方程组的解是有序实数对,其解集是由有序实数对构成的集合,故其中的元素应写成(a,b)的形式.
9.答案　{-2,0,2,4}
解析　由题意可得x-1的值可以为±1或±3,即x的值可以为2,0,4,-2,即A={-2,0,2,4}.
10.解析　(1)集合A可用列举法表示为A={-2,-1,0,1,2}.
(2)集合B可用描述法表示为B={x|x=2k+1,k∈N}.
(3)集合C可用描述法表示为C={(x,y)|y=x2-2x+3}.
11.C　由题意得解得1≤x<2,故集合A用区间表示为[1,2).
易错警示
注意本题中二次根式的被开方数为非负数,且分母不能为0.
12.B　当a=0时,满足A= ;当a≠0时,若A为空集,则Δ=a2-8a<0,得013.D　将原方程移项并整理,得=0,则解得x=k-2且x≠3.由方程的解构成的集合为空集,得k-2=3,即k=5.
能力提升练
1.BC 2.C 3.ABC 4.A 6.C
1.BC　集合{(2,4)}和{(4,2)}中的元素表示不同的两点,所以是不同的集合,故A错误;解不等式2x-5<7,得x<6,满足条件的整数有无数个,所以其整数解组成的集合是无限集,故B正确;C中两个集合中的元素完全相同,故表示同一个集合,故C正确;因为=,=,所以数1,0,5,,,,组成的集合中只有5个元素,故D错误.
2.C　由题意得A={-2,1},B={-1,2},又-2×(-1)=2,-2×2=-4,1×(-1)=-1,1×2=2,∴A☉B={-4,-1,2},因此-4×(-1)×2=8.
3.ABC　易知集合A为奇数集,B为偶数集,所以x1,x2为奇数,x3为偶数,
所以x1x2是奇数,x2x3是偶数,x1+x2是偶数,x1+x2+x3是偶数,即x1x2∈A,x2x3∈B,x1+x2∈B,x1+x2+x3 A.
4.A　对于A,当a=-1时,-1×2-1≤3,-1×1-(-4)≤3,故(2,1)∈A,(1,-4)∈A,A符合题意;
对于B,当a=0时,0×2-1≤3,0×1-(-4)>3,故(2,1)∈A,(1,-4) A,B不符合题意;
对于C,当a=1时,1×2-1≤3,1×1-(-4)>3,故(2,1)∈A,(1,-4) A,C不符合题意;
对于D,当a=2时,2×2-1≤3,2×1-(-4)>3,故(2,1)∈A,(1,-4) A,D不符合题意.
5.答案　{4}
解析　∵4∈A,∴a2-3a=4或a++7=4.
当a2-3a=4时,解得a=-1或a=4,
若a=-1,则a++7=4,不满足集合中元素的互异性,舍去;
若a=4,则A=2,3,4,,B={2,3},满足题意.
当a++7=4时,解得a=-1(舍去)或a=-2,
若a=-2,则B={4,3},不满足题意,舍去.
综上所述,a的取值构成的集合为{4}.
6.C　由已知得C(A)=1,因为A*B=1,所以C(B)=0或C(B)=2,
又方程x(x2+ax+2)=0的一个解为x=0,即0∈B,所以C(B)≥1,所以C(B)=2,
所以方程x2+ax+2=0有两个相等且不为0的实根,
则Δ=a2-8=0,解得a=±2,经检验均符合题意,则S={-2,2},所以C(S)=2.
7.答案　m解析　因为集合A中的元素恰有2个为整数,所以1<3m-1-m≤3,解得1当1当m=2时,集合A={x|2综上,实数m的取值范围为m8.解析　(1)证明:若a=0,则=1∈S,与1 S矛盾,故a≠0.
由题知若a∈S,则∈S,其中a≠1,
所以∈S,即==1-∈S,故得证.
(2)若2∈S,则=-1∈S;
由-1∈S,得=∈S;
由∈S,得=2∈S,
……
因此当2∈S时,集合S中必含有-1,这两个元素.
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