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2026北师大版高中数学必修第一册
1.2　集合的基本关系
基础过关练
题组一　集合的基本关系
　1.(多选题)(2025陕西咸阳实验中学月考)下列关系中正确的是(　　)
A.0∈{0}　　　　 B. {0}
C.{1,2}={2,1}　　　　D.{0,1} {(0,1)}
2.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是(　　)
3.(2025广东中山华侨中学月考)若x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=(x,y)=1,则集合A,B间的关系为(　　)
A.B∈A　　　　B.B A　　　　C.A=B　　　　D.A B
4.(多选题)下列命题中正确的有(　　)
A.集合{a,b}的真子集是{a},{b}
B.{x|x是菱形} {x|x是平行四边形}
C.设a,b∈R,A={1,a},B={-1,b},若A=B,则a-b=-2
D. ∈{x|x2+1=0,x∈R}
5.(2025江西吉安第一中学段考)集合M={x|x=5k-2,k∈Z},P={x|x=5n+3,n∈Z},S={x|x=10m+3,m∈Z}之间的关系是(　　)
A.S P M　　　　B.S=P M
C.S P=M　　　　D.P=M S
题组二　子集(真子集)的个数
6.(2025江西上饶月考)英文单词mississippi的所有字母组成的集合的子集个数为(　　)
A.14　　　　B.15　　　　C.16　　　　D.17
7.(2025湖北华中师大一附中月考)定义A◇B={c|c=a+b,a∈A,b∈B}.设A={0,1,2},B={2,3,4},则集合A◇B的真子集个数为(　　)
A.32　　　　B.31　　　　C.30　　　　D.15
8.(教材习题改编)已知集合A满足{1,2} A {1,2,3,4,5},{1,3} A {1,2,3,5,6},则满足条件的集合A的个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.8
题组三　已知集合间的关系求参数
9.(多选题)(2025江西抚州临川第一中学月考)已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的可能取值为(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.0　　　　D.1
10.(2025江苏扬州大学附属中学月考)已知a,b∈R,若={a2,a-b,0},则a2 024+b2 024=(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2
11.(易错题)(2025江西上饶玉山一中月考)已知集合A=,B=,若B A,则实数a的所有可能取值组成的集合为(　　)
A.,　　　　B.,6　　　　
C.0,,　　　　D.0,,6
12.(2025重庆部分中学联考)设A={x|1≤x≤3},B={x|3a≤x≤a+1},若B A,则实数a的取值范围是　　　　(用区间表示).
13.已知集合A={x|ax2+2x+1=0,x∈R}.
(1)若A恰有一个子集,求a的取值范围;
(2)若A恰有一个元素,求a的取值集合.
能力提升练
题组一　集合的基本关系
1.(2024河南洛阳强基联盟联考)已知集合A={x∈N|0≤xA.{m|2C.{m|2≤m≤3}　　　　D.{m|22.(2025北京通州期中)设集合M为非空集合,且M {x∈N|x≥3},若m∈M,则∈M,那么满足上述条件的集合M的个数为(　　)
A.12　　　　B.15　　　　C.31　　　　D.32
3.(2024山西大同第一中学月考)定义集合A☉B={x|x=,a∈A,b∈B},若A={n,-1},B={,1},且集合A☉B中有3个元素,则由实数n的所有取值组成的集合的非空真子集的个数为(　　)
A.2　　　　B.6　　　　C.14　　　　D.15
题组二　已知集合间的关系求参数
4.(2025江西景德镇一中月考)已知集合A={x|ax≤4},B={4,},若B A,则实数a的取值范围为(　　)
A.{a|a≤1}　　　　B.{a|a≤-1}
C.{a|a≤-2}　　　　D.{a|a≤2}
5.(多选题)(2025江苏盐城射阳阶段测试)已知非空集合A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,x∈A},C={z|z=x2,x∈A},且C B,则实数a的值可能为(　　)
A.　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4
6.(创新题·新情境)(2025辽宁名校联盟联考)《九章算术》第八章“方程”中有一问题:今有五雀、六燕,集称之衡,雀俱重,燕俱轻.一雀一燕交而处,衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何 其大意是:今有5只雀、6只燕,将它们分别聚集在一起用衡器称重,聚在一起的雀重,燕轻.将1只雀、1只燕交换位置而放,质量相等.5只雀、6只燕的质量之和为一斤.问燕、雀每只各重多少斤
(1)设每只雀重n斤,每只燕重m斤,请列方程组求解这个问题;
(2)在(1)的条件下,设集合A=x-m≤≤n,B={x|2p-1≤x≤p+1},若B A,求p的取值范围.
7.已知a,x∈R,集合A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},C={x2+(a+1)x-3,1}.
(1)求使A={2,3,4}的x的值;
(2)求使2∈B,B A的a,x的值;
(3)求使B=C的a,x的值.
答案与分层梯度式解析
1.2　集合的基本关系
基础过关练
1.ABC 2.B 3.B 4.BC 5.C 6.C 7.B 8.B
9.BCD 10.C 11.D
1.ABC　对于A,根据元素与集合的关系知0∈{0},A正确;
对于B,空集是任何非空集合的真子集,B正确;
对于C,由集合中元素的无序性知C正确;
对于D,{0,1}为数集,{(0,1)}为点集,所以{0,1} {(0,1)},D错误.
2.B　由x2-x=0得x=1或x=0,故N={0,1},易得N M,其对应的Venn图如选项B所示.
3.B　B=(x,y)=1={(x,y)|y=x,且x≠0},而A={(x,y)|y=x},所以B A.
4.BC　对于A,集合{a,b}的真子集是{a},{b}, ,故A不正确;
对于B,菱形一定是平行四边形,故B正确;
对于C,由题意得a=-1,b=1,故a-b=-2,故C正确;
对于D,因为x∈R,所以x2+1=0无解,所以{x|x2+1=0,x∈R}= ,故D不正确.
5.C　解法一:∵M={x|x=5k-2,k∈Z},P={x|x=5n+3,n∈Z}={x|x=5(n+1)-2,n∈Z},S={x|x=10m+3,m∈Z}={x|x=5(2m+1)-2,m∈Z},∴S P=M.
解法二:将集合M,P,S中的元素分别列举出来:M={…,-7,-2,3,8,13,18,23,…},P={…,-7,-2,3,8,13,18,23,…},S={…,-7,3,13,23,…},∴S P=M.
6.C　题中单词所有字母组成的集合为{m,i,s,p},该集合的子集个数为24=16.
规律总结
若一个集合中含有n个元素,则它有2n个子集,(2n-1)个真子集,(2n-2)个非空真子集.
7.B　由题意得A◇B={c|c=a+b,a∈A,b∈B}={2,3,4,5,6},共有5个元素,则集合A◇B的真子集个数为25-1=31(个).
8.B　由题意得集合A中一定含有元素1,2,3,还有可能含有5,一定不含有4和6,所以满足条件的集合A有2个,分别为{1,2,3},{1,2,3,5}.
9.BCD　因为集合A有且仅有2个子集,所以集合A中仅有一个元素.
当a=0时,2x=0,解得x=0,此时A={0},满足要求;
当a≠0时,Δ=4-4a2=0,所以a=±1,此时A={-1}或A={1},满足要求,
故a的可能取值为±1,0.
10.C　由题意得a≠0,故=0,则b=0,故a,,1={a2,a-b,0},即{a,0,1}={a2,a,0},则a2=1,即a=±1,
当a=1时,不符合集合中元素的互异性,故舍去;
当a=-1时,{-1,0,1}={1,-1,0},符合题意,
所以a2 024+b2 024=1.
11.D　由题意知B= 或B=或B=.
若B= (易错点),则方程ax=无解,故a=0;
若B=,则方程ax=的解为x=,故a=;
若B=,则方程ax=的解为x=,故a=6,
故a的所有可能取值组成的集合为.
易错警示
空集是任何集合的子集,在解题时要注意考虑空集的情况.
12.答案　
解析　当B= 时,3a>a+1,解得a>;
当B≠ 时,或解得≤a≤,
故实数a的取值范围为,+∞.
易错警示
空集是任何非空集合的真子集,在由B A求参数的取值范围时,注意不要忽视B= 这一种特殊情况.
13.解析　(1)若集合A恰有一个子集,则集合A是空集,即方程ax2+2x+1=0无实根,
故a≠0,且Δ=4-4a<0,解得a>1,所以a的取值范围是{a|a>1}.
(2)当a=0时,方程为2x+1=0,得x=-,此时集合A只有一个元素,符合题意;
当a≠0时,由题意得Δ=4-4a=0,解得a=1.
所以a的取值集合为{0,1}.
易错警示
在考虑二次方程的实数根的情况时,不要忽略对二次项系数是不是0进行讨论.
能力提升练
1.A 2.B 3.B 4.A 5.ABC
1.A　因为集合A={x∈N|0≤x2.B　∵72=3×24=4×18=6×12=8×9,∴满足“m∈M,则∈M”的集合M是{3,24,4,18,6,12,8,9}的子集,但3和24,4和18,6和12,8和9四组中的两个数需同时出现,
∴将集合{3,24,4,18,6,12,8,9}看作有4个元素,则其非空子集的个数为24-1=15.
3.B　因为A☉B={x|x=,a∈A,b∈B},A={n,-1},B={,1},
所以x=,,,,
又集合A☉B中有3个元素,
所以当=时,n=0,此时A☉B={,,1},满足题意;
当=时,n=1(n=-1舍去),此时A☉B={,},不符合题意;
当=时,n=±,此时A☉B={,,2},满足题意;
当=时,n=1(n=-1舍去),此时A☉B={,},不符合题意.
综上,n∈{0,,-},故由实数n的所有取值组成的集合的非空真子集的个数为23-2=6.
4.A　当a=0时,ax≤4即0≤4恒成立,此时A=R,满足B A;
当a>0时,由ax≤4得x≤,此时A=xx≤,因为B A,所以4∈A且∈A,则≥4,所以0当a<0时,由ax≤4得x≥,此时A=xx≥,因为B A,所以4∈A且∈A,则≤,所以a<0.
综上,实数a的取值范围为{a|a≤1}.
5.ABC　易得B={y|-1≤y≤2a+3}.
当-2≤a<0时,C={z|a2≤z≤4},由C B得a2≥-1且2a+3≥4,解得a≥,与-2≤a<0矛盾,舍去;
当0≤a<2时,C={z|a2≤z≤4},由C B得a2≥-1且2a+3≥4,解得a≥,所以≤a<2;
当a≥2时,C={z|0≤z≤a2},由C B得a2≤2a+3,解得-1≤a≤3,所以2≤a≤3.
综上,实数a的取值范围为≤a≤3.
结合选项知A,B,C正确.
6.解析　(1)根据题意,可列方程组为
解得所以每只燕重斤,每只雀重斤.
(2)由(1)可得集合A=x-≤≤={x|-3≤x≤4}.
①当B= 时,显然B A,故p+1<2p-1,解得p>2;
②当B≠ 时,如图所示,
要使B A,则或
解得-1≤p≤2.
综上,p的取值范围是[-1,+∞).
7.解析　(1)∵A={2,4,x2-5x+9}={2,3,4},
∴x2-5x+9=3,解得x=2或x=3.
(2)∵2∈B,B A,∴
解得或经检验,均符合题意.
(3)∵B=C,∴
解方程②得x=-1或x=1-a.
把x=-1代入①,解得a=-6;
把x=1-a代入①,解得a=-2,则x=3.
经检验,和都符合题意.
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