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2026北师大版高中数学必修第一册
§2　常用逻辑用语
2.1　必要条件与充分条件
基础过关练
题组一　必要条件与充分条件的判断
　1.(2025江西景德镇一中期中)已知a,b∈R,则“a>1,b<-1”是“a2+b2>2”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　
B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　
D.既不充分也不必要条件
2.(2025上海青浦实验中学质检)荀子曾说过:“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这里的“积跬步”是“至千里”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2025广东广州期中)已知集合A={x∈N+|x是4与10的公倍数},B={x|x=40t,t∈N+},则“x∈A”是“x∈B”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(教材习题改编)设R为全集,A,B为其子集,则“存在集合C使得A C,B ( RC)”是“A ( RB)”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(多选题)(2024山东济宁育才中学月考)下列选项中,p是q的必要不充分条件的有(　　)
A.p:a≤1,q:a<1
B.p:A∩B=A,q:A∪B=B
C.p:两个三角形全等,q:两个三角形面积相等
D.p:x2+y2=1,q:x=1,y=0
6.(多选题)(2025江西丰城九中段考)已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则下列结论正确的是(　　)
A.r是q的充要条件　　　　
B.p是q的充分条件
C.r是q的必要不充分条件　　　　
D.r是s的充分不必要条件
7.(教材习题改编)判断下列各题中p是q的什么条件.
(1)p:x>1,q:x>1或x<-1;
(2)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形;
(3)a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0.
题组二　必要条件与充分条件的探究与证明
8.(2025湖南邵阳新邵八中月考)“方程x2-2x+m=0至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是(　　)
A.m≥1　　　　B.m<1
C.m≥0　　　　D.m≥2
9.(2025江西抚州临川二中月考)下列选项中,是“ 是集合M={x|ax2+2x+1=0,a∈R}的真子集”的一个必要不充分条件的是(　　)
A.a∈(-∞,0)　　　　B.a∈(-∞,0]
C.a∈(-∞,1]　　　　D.a∈(-∞,2)
10.(多选题)(2024四川成都双流中学月考)一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的一个充分不必要条件是(　　)
A.n=4　　　　B.n=-5
C.n=-1　　　　D.n<0
11.(2024河南新高中创新联盟TOP二十名校调研)已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2>0的充要条件是a+b>1.
题组三　利用必要条件与充分条件求参数
12.(2025安徽多校联考)已知集合A={x|ax+2≤0,a>0},B={x|x≤-3或x>1},且“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则a的最大值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
13.(2025广东东莞五校联考)已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0,下列结论错误的是　　(　　)
A.方程x2+(m-3)x+m=0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}
B.方程x2+(m-3)x+m=0有一正根一负根的充要条件是m∈{m|m<0}
C.方程x2+(m-3)x+m=0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0D.方程x2+(m-3)x+m=0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
14.(2025江西南昌莲塘三中月考)已知p:-a15.已知p:-2≤x≤6,q:1-m≤x≤1+m,m>0.
(1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;
(2)若p是q的必要条件,求实数m的取值范围.
能力提升练
题组一　必要条件与充分条件的判断
1.(2025广东中山实验中学期中)设集合A={1,a2,-2},B={2,4},则“A∩B={4}”是“a=2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2025江西上饶广丰中学月考)如果对于任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[0.6]=0,[-1.6]=-2,那么“|x-y|<1”是“[x]=[y]”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　
B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　
D.既不充分也不必要条件
题组二　必要条件与充分条件的探究与证明
3.方程x2+kx+2=0与x2+2x+k=0有一个公共实数根的充要条件是(　　)
A.k=3　　　　B.k=0　　　　C.k=1　　　　D.k=-3
4.(创新题)(新考法·思维迁移能力创新)(2025湖北十堰竹溪二中月考)设a,b,c分别是△ABC的三条边的长,且a≤b≤c.我们知道,如果△ABC为直角三角形,那么a2+b2=c2(勾股定理).反过来,如果a2+b2=c2,那么△ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,△ABC为直角三角形的充要条件是a2+b2=c2.请利用边长a,b,c给出△ABC为锐角三角形的一个充要条件:　　　　.
5.(2025河南创新发展联盟月考)已知全集U={x∈N|x≤4},集合A,B均为U的子集,且 UA={x|x2-5x+6=0},B={2a,a,3}.
(1)求A;
(2)证明:“a=1”是“A∪B=U”的充分不必要条件.
题组三　利用必要条件与充分条件求参数
6.(2025福建泉州联考)甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏,甲、乙、丙共同写出三个集合:A={x|0<Δx<2},B={x|-3≤x≤5},C=x0A.3或4　　　　B.2或3　　　　C.1或2　　　　D.1或3
7.(2025广东东莞外国语学校月考)已知集合A={x|x<0或x>4},B={x|2a-108.(2025上海建平中学月考)已知集合A={x|x3-2x2-x+2=0},非空集合B={x|2ax2-3(a2+1)x+4=0}.
(1)若A∩B={2},求a的取值集合;
(2)若x∈A是x∈B的必要条件,求a的取值集合.
答案与分层梯度式解析
§2　常用逻辑用语
2.1　必要条件与充分条件
1.A 2.C 3.B 4.C 5.AD 6.AB 8.D 9.D
10.BC 12.A 13.D
基础过关练
1.A　由a,b∈R,a>1,b<-1,得a2>1,b2>1,则a2+b2>2,充分性成立;
取a=,b=2,满足a2+b2>2,但a>1,b<-1不成立,必要性不成立.
故“a>1,b<-1”是“a2+b2>2”的充分不必要条件.
2.C　“故不积跬步,无以至千里”,即“要至千里,必须积跬步”,而“至千里”还可能有其他必备因素,故为必要不充分条件.
3.B　∵4与10的最小公倍数为20,∴A={x∈N+|x是4与10的公倍数}={x|x=20t,t∈N+},
∵B={x|x=40t,t∈N+},∴B A,故“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.
4.C　若存在集合C使得A C,B ( RC),则( RC) ( RA),所以B ( RA),所以A ( RB),充分性成立;
若A ( RB),不妨取C=A,则A C,B ( RC),必要性成立.
故为充要条件.
5.AD　对于A,a≤1 /a<1,但a<1 a≤1,
∴p是q的必要不充分条件,A正确;
对于B,由A∩B=A,得A B,由A∪B=B,得A B,
∴p是q的充要条件,B错误;
对于C,两个三角形全等,则面积一定相等,而当两个三角形的面积相等时,它们不一定全等,
∴p是q的充分不必要条件,C错误;
对于D,当x=1,y=0时,x2+y2=1,
而当x2+y2=1时,x=1,y=0不一定成立,如x=-1,y=0,∴p是q的必要不充分条件,D正确.
6.AB　由题意可得如下关系图:
则q r,且r s q,即r q,所以r是q的充要条件,故A正确,C错误;
p r q,即p q,所以p是q的充分条件,故B正确;
r s,s q r,即s r,所以r是s的充要条件,故D错误.
7.解析　(1)因为“x>1”能推出“x>1或x<-1”,即p q,但“x>1或x<-1”推不出“x>1”,如x=-2,即q / p,所以p是q的充分不必要条件.
(2)因为“△ABC有两个角相等”推不出“△ABC是正三角形”,即p / q,但“△ABC是正三角形”能推出“△ABC有两个角相等”,即q p,所以p是q的必要不充分条件.
(3)若a2+b2=0,则a=b=0,即p q;若a=b=0,则a2+b2=0,即q p,故p q,所以p是q的充要条件.
8.D　若方程x2-2x+m=0至多有一个实数解,则Δ=(-2)2-4m≤0,解得m≥1,故充要条件为{m|m≥1},
结合选项知{m|m≥2} {m|m≥1},故一个充分不必要条件为m≥2.
9.D　若“ 是集合M={x|ax2+2x+1=0,a∈R}的真子集”
则集合M≠ ,即方程ax2+2x+1=0有实数解,
当a=0时,方程ax2+2x+1=0即2x+1=0,可得x=-,符合题意;
当a≠0时,由Δ=4-4a≥0可得a≤1,所以a≤1且a≠0,
故“ 是集合M={x|ax2+2x+1=0,a∈R}的真子集”的充要条件为a≤1,
若要找它的必要不充分条件,则{a|a≤1}应是对应集合的真子集,结合选项知D正确.
10.BC　由一元二次方程x2+4x+n=0有实数根知Δ=16-4n≥0,即n≤4,设方程的两实数根分别为x1,x2,则x1+x2=-4,
又方程x2+4x+n=0有正数根,所以x1,x2一正一负,
所以x1x2=n<0,结合选项知B,C正确.
11.证明　充分性(条件 结论):
因为ab≠0,所以a2-ab+b2=+b2>0,
又a+b>1,所以a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>a2-ab+b2,即a3+b3+ab-a2-b2>0,所以充分性成立;
必要性(结论 条件):
因为a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)+ab-a2-b2=(a+b-1)(a2-ab+b2)>0,
且a2-ab+b2=+b2>0,所以a+b-1>0,
所以a+b>1,所以必要性成立.
综上,a3+b3+ab-a2-b2>0的充要条件是a+b>1.
导师点睛
对于充要条件的证明问题,可分别证明充分性与必要性,此时应明确谁是条件,谁是结论.充分性是由条件成立来证明结论成立,而必要性则是由结论成立来证明条件成立.
12.A　A={x|ax+2≤0,a>0}=xx≤-,a>0.
因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A B,则解得013.D　对于A,原方程无实数根的充要条件是Δ=(m-3)2-4m<0,解得m∈(1,9),而(1,9) (1,+∞),故A中结论正确;
对于B,原方程有一正根一负根的充要条件是解得m∈(-∞,0),故B中结论正确;
对于C,原方程有两正实数根的充要条件是解得m∈(0,1],故C中结论正确;
对于D,原方程有实数根的充要条件是Δ=(m-3)2-4m≥0,解得m∈(-∞,1]∪[9,+∞),故D中结论错误.
14.答案　a≥3
解析　由题意得{x|-2综上,实数a的取值范围是a≥3.
15.解析　因为m>0,所以1-m<1+m,
不妨设P={x|-2≤x≤6},Q={x|1-m≤x≤1+m}.
(1)若p是q的充分条件,则P Q,
所以解得m≥5,
因此m的取值范围是{m|m≥5}.
(2)若p是q的必要条件,则Q P,
所以解得m≤3,
又因为m>0,故m的取值范围是{m|0解题模板
研究充分、必要条件时,可转化为研究集合间的关系,若p,q对应的集合分别为P,Q,则p是q的充分条件 P Q;p是q的必要条件 Q P;p是q的充分不必要条件 P Q;p是q的必要不充分条件 Q P;p是q的充要条件 P=Q.
能力提升练
1.B 2.B 3.D 6.C
1.B　因为A∩B={4},所以4∈A,故a2=4,解得a=±2,故充分性不成立;
当a=2时,A={1,4,-2},B={2,4},满足A∩B={4},故必要性成立,
故为必要不充分条件.
2.B　对于|x-y|<1,如x=-0.4,y=0.5,则|x-y|=|-0.4-0.5|=0.9<1,而[x]=[-0.4]=-1,[y]=[0.5]=0,此时[x]≠[y],故充分性不成立;
当[x]=[y]时,x,y∈[n,n+1),n∈Z,则-y∈(-n-1,-n],则x-y∈(-1,1),所以|x-y|<1,故必要性成立,
故为必要不充分条件.
3.D　设方程x2+kx+2=0与x2+2x+k=0有公共实数根x1,
则两式相减得(k-2)x1=k-2,
若k=2,则两方程相同,为x2+2x+2=0,且无实数根,
若k≠2,则x1=1,所以1+k+2=0,解得k=-3.
当k=-3时,两方程分别为x2-3x+2=0,x2+2x-3=0,
方程x2-3x+2=0的两个实数根分别为1,2,
方程x2+2x-3=0的两个实数根分别为1,-3,
即方程x2+kx+2=0与x2+2x+k=0有一个公共实数根1.
综上可知,方程x2+kx+2=0与x2+2x+k=0有一个公共实数根的充要条件是k=-3.
4.答案　a2+b2>c2
解析　△ABC为锐角三角形的一个充要条件是a2+b2>c2.证明如下:
必要性:在锐角△ABC中,∠C是锐角,设AB,AC,BC边的长分别对应c,b,a,作AD⊥BC,D为垂足,如图1,
显然AB2=AD2+DB2=AC2-CD2+(CB-CD)2=AC2-CD2+CB2+CD2-2CB·CD=AC2+CB2-2CB·CD充分性:在△ABC中,a2+b2>c2,∴∠C不是直角,设AB,AC,BC边的长分别对应c,b,a,
假设∠C为钝角,如图2,作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,则AB2=AD2+BD2=AC2-CD2+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD=AC2+BC2+2BC·CD>AC2+BC2,即c2>b2+a2,与“a2+b2>c2”矛盾,故∠C为锐角,即△ABC为锐角三角形.
　
5.解析　(1)依题意得U={0,1,2,3,4}.
由x2-5x+6=0,得x=2或x=3,则 UA={2,3},所以A={0,1,4}.
(2)证明:先证充分性:当a=1时,B={2,1,3},则A∪B={0,1,2,3,4}=U,所以充分性成立;
再证不必要性:由A∪B=U,得2∈B,
当2a=2,即a=1时,B={2,1,3},A∪B=U,
当a=2时,B={4,2,3},A∪B=U,
故A∪B=U时,a=1或a=2,所以必要性不成立.
综上,“a=1”是“A∪B=U”的充分不必要条件.
6.C　因为此数为小于5的正整数,所以A={x|0<Δx<2}=x0因为x∈B是x∈A的必要不充分条件,x∈C是x∈A的充分不必要条件,所以C A,A B,
故>且≤5,解得Δ∈,
故“Δ”中的数字是1或2.
7.答案　(-∞,-1]∪[7,+∞)
解析　因为x∈A是x∈B的必要不充分条件,所以B A.
当B= 时,a+1≤2a-10,解得a≥11;
当B≠ 时,依题意得或
解得a≤-1或7≤a<11.
综上,a≤-1或a≥7,即实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[7,+∞).
8.解析　(1)由x3-2x2-x+2=0得(x-2)(x2-1)=0(高次方程一般利用因式分解法求解),
解得x=2或x=±1,所以A={-1,1,2}.
因为A∩B={2},所以2∈B且±1 B,
则8a-6(a2+1)+4=0,即(3a-1)(a-1)=0,解得a=或a=1,
当a=1时,2ax2-3(a2+1)x+4=0即2x2-6x+4=0,解得x=1或x=2,即B={1,2},不符合题意,舍去;
当a=时,经检验,满足题意,故a的取值集合为.
(2)若x∈A是x∈B的必要条件,则B A且B≠ ,
所以B={-1}或{1}或{2}或{-1,2}或{1,2}或{-1,1}.
①由(1)知当B={1,2}时,a=1;
②当B={1}时,2a-3(a2+1)+4=0,解得a=-或a=1,
由(1)知a=1不成立,
当a=-时,2ax2-3(a2+1)x+4=0即-x2-x+4=0,此时Δ=-4×4×≠0(一元二次方程恰有两个相等的实数根时Δ=0),不符合题意,舍去;
③当B={2}时,由(1)可得a=或a=1,且a=1不符合题意,舍去,
当a=时,2ax2-3(a2+1)x+4=0即x2-x+4=0,此时Δ=-4×4×≠0,不符合题意,舍去;
④当B={-1}时,2ax2-3(a2+1)x+4=0即2a+3(a2+1)+4=0,此时方程无解,不符合题意,舍去;
⑤由④知B={-1,2}和B={-1,1}均不成立,舍去.
综上所述,a的取值集合为{1}.
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