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2026北师大版高中数学必修第一册
2.2　全称量词与存在量词
基础过关练
题组一　全称量词命题与存在量词命题及其真假的判断
1.将“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题,下列正确的是(　　)
A.对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy
B.存在x,y∈R,使x2+y2≥2xy
C.对任意x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy
D.存在x<0,y<0,使x2+y2≥2xy
2.(2025河南南阳开学考试)下列命题是全称量词命题的是(　　)
A.存在一个实数的平方是负数
B.至少有一个整数x,使得x2+3x是质数
C.每个四边形的内角和都是360°
D. x∈R,x2=x
3.(2025江西上饶广丰中学月考)下列命题是存在量词命题的是(　　)
A.所有的素数都是奇数
B. x∈R,|x|+1≥1
C.对任意一个无理数x,x2也是无理数
D.有一个偶数是素数
4.(多选题)(2025浙江南太湖联盟联考)下列命题中,是存在量词命题且是真命题的是(　　)
A.有些菱形是正方形　　　　
B.若x>2,则2x+1>5
C. x∈R,x2-2x+1≤0　　　　
D. x∈R,x2-2x+1>0
5.(多选题)(2024安徽皖北地区部分学校月考)下列命题中是真命题的是(　　)
A.设A,B为两个集合,若A B,则 x∈A,都有x∈B
B.设A,B为两个集合,若A不包含于B,则 x∈A,使得x B
C. x∈{y|y是无理数},x2是有理数
D. x∈{y|y是无理数},x3是无理数
题组二　全称量词命题与存在量词命题的否定及其真假判断
6.(2025江西赣州十八县二十四校期中)已知命题p: x>1,x3-2>0,则 p为(　　)
A. x≤1,x3-2>0　　　　
B. x≤1,x3-2≤0
C. x>1,x3-2<0　　　　
D. x>1,x3-2≤0
7.(2025江西部分高中期中)命题“小数是无理数”的否定为(　　)
A.所有小数都不是无理数
B.有些小数是无理数
C.有些小数不是无理数
D.所有小数都是无理数
8.(多选题)(2025湖南长沙南雅中学月考)已知命题p: x∈R,|x+1|>1;命题q: x>0,x2>x,则(　　)
A. q为 x≤0,x3≤x　　　　
B. p是真命题
C.p和 q都是假命题　　　　
D. p和q都是真命题
9.(易错题)(2025安徽合肥一六八中学期中)若命题p: x∈R,<0,则 p的准确表述是　　　　.
10.(教材习题改编)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,写出这些命题的否定,并判断命题的否定的真假.
(1)有一个奇数不能被3整除;
(2) x∈Z,x2与3的和不等于0;
(3)有些三角形的三个内角都为60°;
(4)每个三角形至少有两个锐角;
(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
题组三　由命题的真假求参数
11.(2024辽宁辽东教学共同体联考)命题“ x∈[1,3],3x2-a≥0”为真命题的一个必要不充分条件是(　　)
A.a≤4　　　　B.a≤2　　　　C.a≥3　　　　D.a≤0
12.(2025安徽合肥期中)已知命题p: x∈[-1,2],x2-a≤0,命题q: x∈R,x2+ax+16≠0,若命题p,q均为真命题,则实数a的取值范围是　(　　)
A.(-8,0]　　　　B.[0,8)　　　　C.[1,8)　　　　D.[4,8)
13.(2025广东广州番禺联考)若“ x∈M,|x|>x”为真命题,“ x∈M,x>3”为假命题,则集合M可以是(　　)
A.{x|x≤3}　　　　B.{x|x<-1}
C.{x|03}
14.(2025江西吉安第一中学段考)已知集合A={x|-1≤x≤4},集合B={x|2m15.已知命题p: x∈{x|00},有mx2+4x-1≠0.若p是真命题,q是假命题,则实数m的取值范围为　　　　.
16.(2024广东东莞中学期中)已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根;命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.
(1)若命题 p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题p,q中有一个为真命题,一个为假命题,求实数m的取值范围.
17.(2025重庆西南大学附属中学月考)已知集合A={x|1(1)若命题r是真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题“p和q有且仅有一个是真命题”是假命题,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
2.2　全称量词与存在量词
基础过关练
1.A 2.C 3.D 4.ACD 5.ABD 6.D 7.C 8.BCD
11.A 12.B 13.B
1.A　
2.C　
3.D　A,B,C中分别含有全称量词“所有的”“ ”“任意一个”,是全称量词命题;D中含有存在量词“有一个”,是存在量词命题.
4.ACD　对于A,含有存在量词“有些”,是存在量词命题,当菱形的邻边互相垂直时其为正方形,为真命题,故A符合题意;
对于B,该命题是全称量词命题,故B不符合题意;
对于C,含有“ ”,是存在量词命题,当x=1时,x2-2x+1=1-2+1=0≤0,为真命题,故C符合题意;
对于D,含有“ ”,是存在量词命题,当x=0时,x2-2x+1=1>0,为真命题,故D符合题意.
5.ABD　对于A,因为A B,所以 x∈A,都有x∈B,故A正确;
对于B,因为A不包含于B,所以 x∈A,使得x B,如A={1,2,3},B={2,3,4},则1∈A,但1 B,故B正确;
对于C,当x=+1时,x2=3+2是无理数,故C错误;
对于D,当x=时,x3=2是无数理,故D正确.
6.D　存在量词命题的否定是改为全称量词命题,且否定结论,故 p: x>1,x3-2≤0.
7.C　原命题即“所有的小数都是无理数”,为全称量词命题,故它的否定应为存在量词命题,即“有些小数不是无理数”.
8.BCD　由题意得 q为 x>0,x2≤x,故A错误;
当x=0时,|x+1|=1,故p为假命题,则 p是真命题,故B正确;
当x=2时,x2>x,则 q为假命题,则q为真命题,故C,D均正确.
9.答案　 x∈R,>0或x=2
解析　先改变符号,再否定结论,注意<0的否定为>0或x-2=0(易错点).
易错警示
否定一个命题并不仅表现在形式上,而应抓住其实质,如本题中容易认为<0的否定是≥0,这是不对的,因为要有意义,其本身就隐含了x-2≠0,所以<0的否定是>0或x=2.
10.解析　(1)是存在量词命题,其否定为“每一个奇数都能被3整除”,为假命题.
(2)是全称量词命题,其否定为“ x∈Z,x2与3的和等于0”,为假命题.
(3)是存在量词命题,其否定为“任意一个三角形的三个内角不都为60°”,为假命题.
(4)是全称量词命题,其否定为“存在一个三角形至多有一个锐角”,原命题为真命题,故原命题的否定为假命题.
(5)是全称量词命题,省略了全称量词“任意”,即“任意一条与圆只有一个公共点的直线都是圆的切线”,其否定为“存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线”,为假命题.
11.A　由题意可知3x2≥a,x∈[1,3]恒成立,则a≤(3x2)min=3,
结合选项知a≤4 / a≤3,但a≤3 a≤4,故a≤3的一个必要不充分条件为a≤4.
12.B　由p是真命题,可得a≥(x2)min,x∈[-1,2],即a≥0;由q为真命题,可得a2-4×16<0,解得-813.B　当x≥0时,|x|=x;当x<0时,|x|=-x>x.
若“ x∈M,|x|>x”为真命题,则x<0;
若“ x∈M,x>3”为假命题,则命题“ x∈M,x≤3”为真命题,则x≤3,
故M {x|x<0},结合选项知B正确.
14.答案　(-∞,-2]∪[1,+∞)
解析　因为“ x∈B,x∈A”为假命题,所以“ x∈B,x A”为真命题,即A∩B= ,
当B= 时,2m≥m+1,即m≥1,此时满足A∩B= ;
当B≠ 时,或解得m≤-2,
故m的取值范围为(-∞,-2]∪[1,+∞).
15.答案　{m|-4≤m≤0}
解析　若p是真命题,则x+m-1<0对于0当0若命题q是假命题,则 q: x∈{x|x>0},使mx2+4x-1=0为真命题,即关于x的方程mx2+4x-1=0有正实数根.
当m=0时,方程为4x-1=0,解得x=,符合题意.
当m≠0时,依题意得Δ=16+4m≥0,解得m≥-4,故m≥-4且m≠0.
设两个实数根分别为x1,x2.
①当方程有两个正实数根时,x1+x2=->0,且x1x2=->0,解得m<0,此时-4≤m<0;
②当方程有一正一负两个实数根时,x1x2=-<0,解得m>0,此时m>0.所以m≥-4.
综上所述,实数m的取值范围是{m|-4≤m≤0}.
16.解析　(1)若方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根,则解得m>2.
因为命题 p为真命题,
所以实数m的取值范围为(-∞,2].
(2)若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,
则Δ=16(m-2)2-16<0,解得1若p为真命题,q为假命题,则解得m≥3;
若p为假命题,q为真命题,则解得1综上,m∈(1,2]∪[3,+∞).
17.解析　(1)因为命题r为真命题,所以A∩B≠ ,
可得B≠ ,所以a>0,则B=(-,),
因为A∩B≠ ,所以>1,可得a>1,
故a的取值范围为(1,+∞).
(2)若命题p为真命题,则A B,
由于A≠ ,所以B≠ ,故a>0,
则B=(-,),则>2,故a>4,
即当p为真命题时,a>4.
若命题q为真命题,
(i)当a=0时,x=-,符合题意;
(ii)当a≠0时,Δ=4-4a≥0,即a≤1,此时a≤1且a≠0,
故当命题q为真命题时,a≤1.
所以当p,q均为真命题时a不存在;当p,q均为假命题时1综上所述,实数a的取值范围为(1,4].
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