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2026北师大版高中数学必修第一册
3.2　基本不等式
基础过关练
题组一　对基本不等式的理解
1.不等式x-2y+≥2成立的前提条件为(　　)
A.x≥2y　　　　B.x>2y
C.x≤2y　　　　D.x<2y
2.若实数a,b满足a>b>0,则下列不等式中恒成立的是(　　)
A.a+b>2　　　　B.a+b<2
C.+2b>2　　　　D.+2b<2
3.(2024广东惠州实验中学月考)下列不等式以及不等式中的等号一定成立的是(　　)
A.+≥2
B.x+3+≥2(其中x>-3)
C.≥2
D.x-1+≥2(其中x>2)
题组二　利用基本不等式比较大小
4.(2025广东鹤山月考)已知x>0,A=x-2,B=-,则A与B的大小关系是(　　)
A.A≥B　　　　B.A≤B　　　　C.A>B　　　　D.A5.(教材习题改编)已知a>0,b>0,则,,,中最大的是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.(多选题)(2025江苏徐州三中月考)已知a>0,b>0且a+b=1,则下列不等式成立的是(　　)
A.ab≤　　　　B.+≤4
C.+≤　　　　D.a2+b2≥
题组三　利用基本不等式求最值
7.(2025江西南昌月考)已知实数x>1,则2x+的最小值为(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8
8.(2025江西多校联考)已知正数a,b满足+=1,则a+2b的最小值为(　　)
A.9　　　　B.6　　　　C.4　　　　D.3
9.(2025江西鹰潭余江一中月考)若0A.有最小值0　　　　B.有最大值2
C.有最大值2　　　　D.最值无法确定
10.(2025江西上饶广丰一中月考)已知实数x满足0A.9　　　　B.18　　　　C.27　　　　D.36
11.(2025江西上饶余干二中期中)已知x>0,y>0,且x+=2.
(1)求的最大值;
(2)求+y的最小值.
题组四　利用基本不等式解决恒成立问题
12.(2025湖南衡阳一中月考)对于任意0恒成立,则(　　)
A.m>　　　　B.m>　　　　C.m>　　　　D.m>
13.(2025江西抚州临川第一中学月考)若“ x0∈,使得3-λx0+1<0成立”是假命题,则实数λ的取值范围为　　　　.
14.(2025山东临沂质检)已知x>1,若x+≥a恒成立,则符合条件的正整数a的值为　　　　(写出一个即可).
题组五　利用基本不等式证明不等式
15.(多选题)(2025湖南三湘名校教育联盟联考)已知正数x,y满足2x+y=1,则(　　)
A.8xy≤1　　　　B.+≥12
C.4x2+y2≥　　　　D.x(y+1)≤
16.(2025陕西咸阳多校联考)已知x>0,y>0,证明:≥4.
17.(2024江西师大附中月考)已知a,b,c>0,且a2+b2+c2=1.求证:
(1)(1-a2)(1-b2)(1-c2)≥8a2b2c2;
(2)a+b+c≤.
题组六　利用基本不等式解决实际问题
18.(2025北京东直门中学月考)李明自主创业,经营一家网店,每售出一件A商品获利8元.现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销,假设售出A商品的件数m(单位:万)与广告费用x(单位:万元)满足m=3-.若要使这次促销活动获利最多,则投入的广告费用x应为　　　　万元,获得的总利润为　　　　万元.
19.(2025江西赣州南康三中月考)如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形菜园.设菜园的长为x米,宽为y米.
(1)若菜园的面积为36平方米,则x,y分别为何值时,所用篱笆的总长最小
(2)若使用的篱笆的总长为30米,求的最小值.
能力提升练
题组一　利用基本不等式求最值
　1.(2025江西上饶一中月考)已知x>-1,当x=a时,x-4+取得最小值b,则a+b=(　　)
A.-3　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.8
2.(2025山东潍坊月考)已知实数a,b,且ab>0,则的最大值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.6
3.(2024江苏常州阶段调研)已知a>1,b>,且2a+b=4,则+的最小值是(　　)
A.1　　　　B.　　　　C.2　　　　D.3
4.(2025湖南长沙月考)设正实数x,y,z满足x2-xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为(　　)
A.2　　　　B.　　　　C.1　　　　D.
5.(多选题)(2025江苏南通期中)已知a>0,b>0,4a+b=ab,则下列结论正确的有(　　)
A.ab的最小值为4
B.a+b的最小值为9
C.a++4的最小值为10
D.16a2+b2的最小值为128
6.已知a>0,b>0.
(1)若a+b=4,求+的最小值及此时a,b的值;
(2)若2a2+b2=4a+4b,求+的最小值及此时a,b的值;
(3)若a2+3b2+4ab-6=0,求5a+9b的最小值及此时a,b的值.
题组二　基本不等式的应用
7.设a>0,b>0,若不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值为(　　)
A.0　　　　B.4　　　　C.-4　　　　D.-2
8.(2025福建部分学校期中)已知x>0,y>0,且x+y=5,若+≥2m+1恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.(-∞,4]
9.(2025广东深圳期中)已知x>0,y>0,且x+3y-xy=0,若x+3y>m2+m恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.
10.已知a,b,c均为正实数.
(1)求证:++≥3;
(2)若a+b+c=3,证明:++≥.
11.(创新题)(2025上海浦东新区期中)问题:正实数a,b满足a+b=1,求+的最小值.其中一种解法如下:+=(a+b)=1+++2≥3+2,当且仅当=,a+b=1,即a=-1且b=2-时取等号.学习上述解法并解决下列问题:
(1)若正实数x,y满足x+y=3,求+的最小值;
(2)若实数a,b,正实数x,y满足-=1,求证:a2-b2≤(x-y)2;
(3)若M=-,求M的最小值,并求出使得M取最小值的m的值.
12.(2024广东汕尾华大实验学校月考)某火车站正在不断建设,目前准备在车站的某仓库外,利用其一侧原有墙体建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的背面靠墙,无建造费用,因此甲工程队给出的报价如下:屋子前面新建墙体报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设保管员室左右两侧的墙的宽度均为x米(2≤x≤6).
(1)当左右两面墙的宽度为多少时,甲工程队的报价最低
(2)现有乙工程队也参与此保管员室的建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左右两面墙的宽度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
3.2　基本不等式
基础过关练
1.B 2.A 3.B 4.A 5.A 6.ACD 7.B 8.A
9.C 10.C 12.D 15.AC
1.B　基本不等式成立的前提条件是各项均为非负数,又分母不能为0,即x-2y≠0,所以x-2y>0,即x>2y.
2.A　因为a>b>0,所以a+b>2,故A正确,B错误;
+2b≥2=2,当且仅当=2b,即a=4b时取等号,故C,D错误.
3.B　对于A,当x<0时,不等式不成立,A错误;
对于B,因为x>-3,所以x+3>0,所以x+3+≥2=2,当且仅当x+3=,即x=-2时,等号成立,B正确;
对于C,因为≥2,所以==+≥2=2,当且仅当=,即=1时等号成立,又≥2,所以等号取不到,C错误;
对于D,因为x>2,所以x-1>1,所以x-1+≥2=2,当且仅当x-1=,即x=2时等号成立,又x>2,所以等号取不到,D错误.
易错警示
利用基本不等式解题时要注意验证“一正、二定、三相等”,只有三条同时满足才能得出结论.
4.A　因为x>0,A=x-2,B=-,所以A-B=x-2+≥2-2=0,当且仅当x=,即x=1时等号成立,故A≥B.
5.A　因为a>0,b>0,所以≤=,≤,
=≥=,当且仅当a=b时,三个不等式中的等号成立,
则≤≤≤.
规律总结
当a>0,b>0时,≤≤≤(当且仅当a=b时等号同时成立),其中,,,分别叫作正数a,b的调和平均值、几何平均值、算术平均值、平方平均值,上述结论被称为不等式链,熟记该不等式链可速解相应的小题.
6.ACD　对于A,因为a>0,b>0,所以ab≤=,当且仅当a=b=时等号成立,故A正确;
对于B,+=+=2++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b=时等号成立,故B错误;
对于C,(+)2=a+b+2=1+2≤1+a+b=2,当且仅当a=b=时等号成立,所以+≤,故C正确;
对于D,由A中分析知ab≤,则a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-=,当且仅当a=b=时等号成立,故D正确.
7.B　∵x>1,∴x-1>0,∴2x+=2(x-1)++2≥2×+2=6,当且仅当2(x-1)=,即x=2时等号成立,∴2x+的最小值为6.
8.A　a+2b=(a+2b)=1+++4≥5+2=9,当且仅当=,+=1,即a=3,b=3时等号成立,故a+2b的最小值为9.
9.C　由基本不等式得=·≤·=2,当且仅当x=4-x,即x=2时等号成立,故有最大值,为2,故C正确,B,D错误;
令=0,解得x=0或x=4,又010.C　因为00,所以+=[3x+(1-3x)]=++15≥2×+15=27,当且仅当=,即x=时取等号.故+的最小值为27.
解题模板
解决此类最大(小)值问题,常需找出各个分式间的关系,即“隐含条件”,如本题中的“3x+(1-3x)=1”,从而得到解决问题的方法.
11.解析　(1)因为x>0,y>0,所以2=x+≥2,即≤1,当且仅当x==1,即x=y=1时取等号,所以的最大值为1.
(2)+y==≥=,
当且仅当即x=,y=时等号成立,所以+y的最小值为.
技巧点拨
在利用基本不等式求最值时,若两个正数的和为常数a(a不为1),则可将所求代数式乘a后再乘,然后将常数a代换成两个正数的和,从而构造出使用基本不等式的条件.
12.D　对于任意0恒成立,则m>,0而=≤=,当且仅当x=,即x=1时取等号,所以m>.
技巧点拨
若关于x的代数式A存在最值,则mA恒成立 m>Amax,可记为“小于最小的,大于最大的”.
13.答案　(-∞,2]
解析　若“ x0∈,使得3-λx0+1<0成立”是假命题,
则3x2-λx+1≥0在x∈上恒成立,即λ≤3x+,
又3x+≥2=2,当且仅当3x=,即x=时等号成立,故λ≤2.
14.答案　1(填1,2,3任一个都行,答案不唯一)
解析　因为x>1,所以x-1>0,
所以x+=(x-1)++1≥2+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立,所以x+的最小值是3.
因为x+≥a恒成立,所以a≤3,
又因为a是正整数,所以a的值可以为1,2,3.
15.AC　对于A, 2x+y=1≥2,则xy≤,当且仅当2x=y,2x+y=1,即x=,y=时取等号,故A正确;
对于B,+=(2x+y)=6++≥6+2=6+4,当且仅当=,2x+y=1,即x=,y=2-时取等号,故B错误;
对于C,由A知xy≤,所以4x2+y2=(2x+y)2-4xy≥1-4×=,当且仅当x=,y=时取等号,故C正确;
对于D, x(y+1)=·2x(y+1)≤·=,当且仅当2x=y+1,2x+y=1,即x=,y=0时取等号,但这与x,y均为正数矛盾,故x(y+1)<,故D错误.
16.证明　因为x>0,y>0,所以x+≥2,当且仅当xy=1时,等号成立.
同理可得+y≥2,当且仅当xy=1时,等号成立.
因为x+≥2>0,+y≥2>0,所以≥4=4,当且仅当xy=1时,等号成立.
易错警示
多次使用基本不等式时,只有每次取等号的条件一致,等号才能传递下去.如本题中,两次不等式成立的条件都是xy=1,故最终能取到4.
17.证明　(1)由a2+b2+c2=1,得1-a2=b2+c2≥2bc,当且仅当b=c时等号成立,
同理,1-b2=a2+c2≥2ac,当且仅当a=c时等号成立,
1-c2=a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,
所以(1-a2)(1-b2)(1-c2)≥2bc·2ac·2ab=8a2b2c2,当且仅当a=b=c=时等号成立.
所以(1-a2)(1-b2)(1-c2)≥8a2b2c2.
(2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(a2+c2)+(b2+c2)=3(a2+b2+c2)=3,当且仅当a=b=c=时等号成立,所以a+b+c≤.
18.答案　3;17
解析　设李明获得的总利润为y万元,由题知x≥0,
则y=8m-x=8-x=24--x=25-≤25-2=25-8=17,当且仅当x+1=,即x=3时,等号成立.故要使这次促销活动获利最多,投入的广告费用应为3万元,获得的总利润为17万元.
技巧点拨
若两个负数a,b之积为定值,求a+b的最大值,可将a+b变形为-[(-a)+(-b)],-a,-b为正数,从而可利用基本不等式求最值.
19.解析　(1)由题意知xy=36,所用篱笆的总长为(x+2y)米.
因为x>0,y>0,所以x+2y≥2=2×=12,当且仅当x=2y,xy=36,即x=6,y=3时等号成立.
所以当菜园的长x=6米,宽y=3米时,所用篱笆的总长最小.
(2)由题意得x+2y=30,x>0,y>0,所以=+=+(x+2y)=5++≥5+2=,
当且仅当=,x+2y=30,即x=y=10时等号成立,所以的最小值是.
能力提升练
1.C 2.A 3.D 4.A 5.BD 7.C 8.B
1.C　因为x>-1,所以x+1>0,>0,故x-4+=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时等号成立,故a=2,b=1,所以a+b=3.
2.A　由于a2+b2≥2ab>0,所以≤=≤=(当且仅当a=b=时等号均成立),故所求式的最大值为.
3.D　因为2a+b=4,所以(4a-4)+(2b-1)=3,
则+=[(4a-4)+(2b-1)]=≥3,当且仅当=,2a+b=4,即a=,b=1时,等号成立.
4.A　因为x2-xy+4y2-z=0,所以z=x2-xy+4y2,
所以==≤=,当且仅当=,即x=2y时等号成立,此时z=x2-xy+4y2=6y2,即当取得最大值时,+-=+-=-+=-+2,
又y为正实数,故当=2,即y=时,+-取得最大值,为2.
5.BD　因为a>0,b>0,所以4a+b=ab≥2=4,解得≥4(≤0舍去),所以ab≥16,当且仅当即时,ab取得最小值,为16,故A错误;
因为4a+b=ab,所以+=1,
所以a+b=(a+b)=5++≥5+2=9,
当且仅当即时,a+b取得最小值,为9,故B正确;
a++4=a++4b+=a+4b+1
=(a+4b)+1=18++≥18+2=26,
当且仅当即a=b=5时取等号,所以a++4的最小值为26,故C错误;
由A知ab≥16,所以16a2+b2≥2×4ab≥128,当且仅当即时取等号,所以16a2+b2的最小值为128,故D正确.
6.解析　(1)∵a+b=4,a>0,b>0,
∴+=(a+b)=++≥+2=(利用“1”的代换配凑出积为定值),
当且仅当4a2=b2,a+b=4,即a=,b=时取等号,
∴+的最小值为,此时a=,b=.
(2)∵2a2+b2=4a+4b,
∴+===+≥2=利用等量代换将a+b转化为,从而创造出积为定值的条件,
当且仅当2a2=b2,即a=1+,b=+2时取等号,
∴+的最小值为,此时a=1+,b=+2.
(3)∵a2+3b2+4ab-6=0,∴(a+3b)(a+b)=6(利用因式分解构造出积为定值),
∴5a+9b=2(a+3b)+3(a+b)≥2=12,
当且仅当2(a+3b)=3(a+b),即a=,b=时取等号,
∴5a+9b的最小值为12,此时a=,b=.
技巧点拨
给出条件等式,借助基本不等式求最值时,常常需将条件等式进行适当变形,转化为和为定值或积为定值的形式,再求积式或和式的最值.
7.C　由++≥0,得k≥--,即k≥---2,又a>0,b>0,故++2≥4(当且仅当a=b时取等号),所以---2=-≤-4,因此要使k≥-恒成立,需k≥-4,故实数k的最小值为-4.
8.B　因为x>0,y>0,且x+y=5,所以x+1+y+2=8,x+1>0,y+2>0,
所以+=[(x+1)+(y+2)]=×≥×=,
当且仅当即x=,y=时等号成立,所以+的最小值为,
因为+≥2m+1恒成立,所以2m+1≤,解得m≤,所以实数m的取值范围是.
9.答案　(-4,3)
解析　因为不等式x+3y>m2+m恒成立,所以(x+3y)min>m2+m,因为x>0,y>0,所以xy≠0,由x+3y-xy=0可得+=1,所以x+3y=(x+3y)=++6≥2+6=12,当且仅当=,+=1,即x=6,y=2时取等号,故(x+3y)min=12,所以m2+m<12,即m2+m-12<0,解得-410.证明　(1)因为a,b,c均为正实数,
所以+≥2(当且仅当a=2b时等号成立),
+≥2(当且仅当a=3c时等号成立),
+≥2(当且仅当2b=3c时等号成立),
以上三式相加,得++≥6(当且仅当a=2b=3c时等号成立),
所以++≥3(当且仅当a=2b=3c时等号成立),
即++≥3(当且仅当a=2b=3c时等号成立).
(2)由题可得(a+b)+(b+c)+(c+a)=6,
则不等式的左边=++
=
≥3+2+2+2=,
当且仅当=,=,=,a+b+c=3,即a=b=c=1时取“=”.
故++≥成立.
11.解析　(1)因为正实数x,y满足x+y=3,
所以+=(x+y)=3++≥3+2=1+,
当且仅当=,x+y=3,即x=6-3,y=3-3时,等号成立,
所以+的最小值是1+.
(2)证明:a2-b2=(a2-b2)=x2+y2-,
+≥2=2xy,当且仅当=时,等号成立,
所以x2+y2-≤x2+y2-2xy=(x-y)2,故a2-b2≤(x-y)2.
(3)设x=,y=,由解得m≥2,
则x2-y2=2m-3-(m-2)=m-1>0,x>0,y≥0,则x>y,
构造-=1,由x2-2y2=2m-3-2(m-2)=1,得-=1,则a2=1,b2=,
所以由(2)得M=-=x-y≥=,
当且仅当即x=,y=时,等号成立,
此时m=x2-y2+1=,
所以M的最小值为,且取此值时m的值为.
12.解析　(1)因为保管员室左右两侧的墙的宽度均为x米(2≤x≤6),底面积为12平方米,
所以保管员室前面的墙的长度为米,
设甲工程队的报价为y元,
则y=3××400+2×3x×150+7 200=900+7 200,2≤x≤6,
因为900+7 200≥900×2+7 200=14 400,当且仅当=x,即x=4时等号成立,
所以当左右两面墙的宽度为4米时,甲工程队的报价最低,为14 400元.
(2)根据题意可知900+7 200>对任意的x∈[2,6]恒成立,
即>对任意的x∈[2,6]恒成立,
所以a<对任意的x∈[2,6]恒成立,
因为a>0,==x+1++6≥2+6=12,
当且仅当x+1=,即x=2时等号成立,
所以0故当021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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