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2026北师大版高中数学必修第一册
单元整合练　不等式在集合、逻辑关系及
二次函数中的应用
　1.(2024安徽合肥十中质量评价)已知集合A=x∈Z≤0,B={y|y=x2,x∈A},则集合A∪B的非空真子集的个数为(　　)
A.14　　　　B.15　　　　C.30　　　　D.62
2.(2024浙江温州十校联合体期中)若“x2-3x+2<0”是“x2-(2a+1)x+a2+a>0”的一个充分不必要条件,则a的取值范围是(　　)
A.02
C.a≤0或a≥2　　　　D.13.(2025福建福州福九联盟期中)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0(a,b,c∈R)的解集为(-4,1),则的取值范围为(　　)
A.[6,+∞)　　　　B.(-∞,-6]
C.(-6,+∞)　　　　D.(-∞,6)
4.(多选题)(2025江西上饶广丰中学月考)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为M,则下列说法正确的是(　　)
A.若M= ,则a<0且b2-4ac≤0
B.若==,则关于x的不等式a'x2+b'x+c'>0的解集也为M
C.若M={x|-13}
D.若M={x|x≠x0,x0为常数},则2ac-b+1的最小值为
5.(2025江西宜春月考)已知命题p: x∈R,x2+4x+a+1>0,且p为真命题时a的取值集合为A.设B={x|2m6.(2024浙江金华浦江建华中学检测)下列结论正确的有　　　　.(填序号)
①不存在实数a使得关于x的不等式ax2+x+1≥0的解集为 ;
②不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的一个必要条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0;
③若函数y=ax2+bx+c(a≠0)对应的方程没有实根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R;
④不等式>1的解集为{x|x<1}.
7.(2024江苏淮安涟水第一中学阶段检测)已知A={x|x2-7x+6<0},B={x|x2-4x+4t-t2<0}.
(1)当t=5时,求A∩B;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数t的取值范围.
8.(2025江西上饶玉山一中月考)已知函数y=ax2-(a+2)x+2,a∈R.
(1)若y<-2x在x∈R上恒成立,求实数a的取值范围;
(2)求不等式y≥0的解集.
答案与分层梯度式解析
单元整合练　不等式在集合、逻辑关系及
二次函数中的应用
1.D 2.C 3.A 4.ACD
1.D　由≤0得-1故B={0,1,4,9},所以A∪B={0,1,2,3,4,9},有6个元素,所以A∪B的非空真子集的个数为26-2=62.
2.C　令A={x|x2-3x+2<0},则A={x|1令B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)>0},则B={x|x>a+1或x若“x2-3x+2<0”是“x2-(2a+1)x+a2+a>0”的一个充分不必要条件,则A B,因此a+1≤1或a≥2,即a≤0或a≥2.
3.A　因为关于x的不等式ax2+bx+c<0(a,b,c∈R)的解集为(-4,1),
所以得
则==4a+≥2=6,当且仅当4a=,即a=时,等号成立,故的取值范围为[6,+∞).
4.ACD　对于A,若不等式ax2+bx+c>0的解集为 ,则a<0且对应方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac≤0,故A正确;
对于B,若===-1,则a'=-a,b'=-b,c'=-c,则不等式a'x2+b'x+c'>0等价于ax2+bx+c<0,与不等式ax2+bx+c>0的解集不同,故B错误;
对于C,若M={x|-1所以不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax即a(x2+1)-a(x-1)-2a<2ax,整理得x2-3x>0,解得x<0或x>3,即所求不等式的解集为{x|x<0或x>3},故C正确;
对于D,若M={x|x≠x0,x0为常数},则a>0,且对应方程ax2+bx+c=0的判别式Δ'=b2-4ac=0,即4ac=b2,
则2ac-b+1=b2-b+1=(b-1)2+,故当b=1时,2ac-b+1取得最小值,为,故D正确.
5.答案　
解析　若p为真命题,则关于x的不等式x2+4x+a+1>0在x∈R上恒成立,所以Δ=16-4(a+1)<0,解得a>3,
所以实数a的取值集合为A={a|a>3}.
因为x∈A是x∈B的必要不充分条件,所以B A.
又B={x|2m解得≤m<2,
所以实数m的取值范围为.
6.答案　①②
解析　对于①,当a≥0时,不等式ax2+x+1≥0的解集不为 ,
当a<0时,要使不等式ax2+x+1≥0的解集为 ,只需Δ=1-4a<0,解得a>,因为a<0,所以不存在实数a使得关于x的不等式ax2+x+1≥0的解集为 ,①正确;
对于②,当a<0且Δ=b2-4ac≤0时,ax2+bx+c≤0在R上恒成立,故不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的一个必要条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0,②正确;
对于③,若函数y=ax2+bx+c(a≠0)对应的方程没有实根,则ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0恒成立,因此不等式ax2+bx+c>0的解集不一定为R,③错误;
对于④,由>1得>0,即(1-x)x>0,解得07.解析　(1)A={x|x2-7x+6<0}={x|1当t=5时,B={x|x2-4x+4t-t2<0}={x|x2-4x-5<0}={x|-1(2)由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,得A B.
B={x|x2-4x+4t-t2<0}={x|(x-t)[x-(4-t)]<0},显然t≠4-t,∴t≠2.
①当4-t>t,即t<2时,B={x|t②当4-t2时,B={x|4-t综合①②得实数t的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).
8.解析　(1)由y<-2x在x∈R上恒成立,得ax2-(a+2)x+2<-2x,即ax2-ax-<0在x∈R上恒成立.
当a=0时,原不等式即为-<0,恒成立.
当a≠0时,函数y=ax2-ax-是一元二次函数,要使其值恒小于0,则a<0且Δ=a2+2a<0,解得-2综上,a的取值范围是(-2,0].
(2)y=ax2-(a+2)x+2可变形为y=(ax-2)(x-1).
当a=0时,y=-2(x-1),不等式y≥0的解集为{x|x≤1}.
当a≠0时,方程(ax-2)(x-1)=0的两根为x=或x=1,
当a<0时,<1,不等式y≥0的解集为x≤x≤1;
当01,不等式y≥0的解集为xx≤1或x≥;
当a=2时,=1,不等式y≥0的解集为R;
当a>2时,<1,不等式y≥0的解集为xx≤或x≥1.
综上,当a<0时,解集为x≤x≤1;
当a=0时,解集为{x|x≤1};
当0当a=2时,解集为R;
当a>2时,解集为xx≤或x≥1.
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