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2026北师大版高中数学必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽略集合中元素的互异性而出错
1.(2025天津一中月考)已知集合A={2a-1,a2,0},B={1-a,a-5,9},若A∩B={9},则实数a的值为(　　)
A.5或-3　　　　B.±3　　　　C.5　　　　D.-3
2.(多选题)(2025广东广州华侨中学等三校期中联考)下列命题正确的是(　　)
A.已知集合M={0,1},则满足条件M∪N=M的集合N的个数为3
B.已知集合A={0,2a+1,a2+3a+1},若-1∈A,则实数a=-2
C.命题“ x∈R,12”
D.若集合A={1,3,x2},B={1,2-x},B A,则x的值为-2
易错点2　忽略对空集的讨论而出错
3.(多选题)(2025海南部分学校联考)已知集合A={x|1A.若A∪B=B,则a≥4
B.若A∪B=A,则1≤a≤4
C.若B A,则1D.若A∩B= ,则a<1
4.(2024河南信阳高级中学月考)设集合A={x|x2-4=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}.
(1)若A∩B={-2},求实数a的值;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
易错点3　求参数时对端点值考虑不周而出错
5.设全集U=R,集合A={x|x2-4x+3≤0},B=.
(1)求( RB)∪A;
(2)若集合C={x|(x-a)(x-a-1)<0}(a∈R),且C A,求实数a的取值范围.
易错点4　对充分条件、必要条件的概念理解不清而出错
6.(多选题)(2025江西上饶一中月考)下列命题正确的是(　　)
A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B.命题“对任意的x<1,x2<1”的否定是“存在x<1,x2≥1”
C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件
D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
7.已知集合A={x|x2+4x=0},集合B={x|x2+2(a+1)x+1-a=0},若x∈B成立的一个必要不充分条件是x∈A,则实数a的取值范围为　　　　.
易错点5　忽略基本不等式的应用条件而出错
8.(多选题)(2024河南郑州十所省级示范高中期中)下列说法正确的有(　　)
A.已知x>1,则y=2x+-1的最小值为4+1
B.y=的最小值为2
C.若正数x,y满足x+2y=3xy,则2x+y的最小值为3
D.若正数x,y满足x+2y=3xy,则2x+y的最大值为3
9.(多选题)(2025广东广州一中期中)下列说法正确的是(　　)
A.若x∈R,则的最小值是2
B.若ab<0,则+的最大值为-2
C.已知x,y>0,xy=x+y+3,则xy的取值范围是[9,+∞)
D.若a,b,c∈R,且a2+b2+c2=1,则ab+bc+ca的最大值为
易错点6　忽略分式不等式中的分母不为0而出错
10.(2025上海南洋中学期中)解关于x的不等式:≥1.
11.(2024四川成都双流中学月考)不等式:≤1的解集为A.
(1)求集合A;
(2)若不等式ax2+(a-1)x-1≤0的解集为B,且A∩B=B,求a的取值范围.
思想方法练
一、函数与方程思想在不等式中的应用
1.(2024四川成都七中月考)已知对一切2≤a≤3,3≤b≤6,不等式ma2-ab+b2≥0恒成立,则实数m的最小值为　　　　.
2.关于x的不等式x2-mx+m+2>0对-2≤x≤4恒成立,则m的取值范围为　.
二、转化与化归思想在集合、逻辑用语及不等式中的应用
　3.(2025辽宁重点高中协作校联考)已知命题p: x∈[1,3],x2-ax+4<0,则p是真命题的一个必要不充分条件可以是(　　)
A.a<5　　　　B.a>3　　　　C.a<4　　　　D.a>4
4.(2024陕西商洛洛南中学月考)已知全集U=R,A={x|x2+4x+3=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若( UA)∩B= ,则实数m的值为(　　)
A.1　　　　B.3　　　　C.-1或-3　　　　D.1或3
5.(2025山东名校考试联盟联考)已知函数y=x2-ax+1.
(1)若对任意的x∈R,都有y≥0,求实数a的取值范围;
(2)若对任意的1≤x≤2,都有y≥-2,求实数a的取值范围.
三、数形结合思想在集合、不等式中的应用
6.记全集U=R,集合A={x|a-2≤x≤2a+1,a∈R},B={x|-x2+10x≤21}.
(1)若A∪B=R,求a的取值范围;
(2)若A∩B=A,求a的取值范围.
7.已知关于x的不等式mx2-mx-1<0.
(1)当x∈R时不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,求实数m的取值范围.
四、分类讨论思想在集合、不等式中的应用
8.(2024黑龙江哈尔滨第三中学校月考)设A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+px+q=0}.
(1)若A B,求p,q的值;
(2)若A∪B={1,2,3},求p,q的值.
9.(2024福建福州第三中学期中)设y=mx2-2mx-3,m∈R.
(1)若“ x∈R,y<0”是真命题,求实数m的取值范围;
(2)解关于x的一元二次不等式mx2+(1-m)x-1<0.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
1.D 2.BCD 3.AB 6.ABD 8.AC 9.BC
易混易错练
1.D　因为A∩B={9},所以9∈A,所以2a-1=9或a2=9.
若2a-1=9,则a=5,此时A={9,25,0},B={-4,0,9},此时A∩B={0,9},不符合题意;
若a2=9,则a=3或a=-3,
当a=3时,1-a=-2,a-5=-2,B中有两个元素相等,不符合集合中元素的互异性(易错点),
当a=-3时,A={-7,9,0},B={4,-8,9},此时A∩B={9},符合题意.
综上所述,a=-3.
2.BCD　对于A,由M∪N=M知N M,故集合N可能为{1},{0},{0,1}, (易错点),有4个,A错误.
对于B,若-1∈A,则2a+1=-1或a2+3a+1=-1,
当2a+1=-1时,解得a=-1,此时a2+3a+1=-1(易错点),不符合集合中元素的互异性;
当a2+3a+1=-1时,解得a=-2或a=-1(舍),当a=-2时,A={0,-3,-1},符合题意,B正确.
对于C,存在量词命题的否定为全称量词命题,则原命题的否定是“ x∈R,y≤1或y>2”,C正确.
对于D,由题意得2-x=3或2-x=x2,
当2-x=3时,x=-1,集合A中有两个1,不满足集合中元素的互异性,舍去;
当2-x=x2时,解得x=1或x=-2,
当x=1时,集合B中有两个1,不满足集合中元素的互异性,舍去,
当x=-2时,集合A={1,3,4},B={1,4},满足题意.
综上可得,x=-2,D正确.
易错警示
对于集合中的参数问题,求出结果后一定要代回原集合,看是否满足集合中元素的互异性,若不满足,则舍去.
3.AB　由已知得B={x|(x-1)(x-a)<0}.
对于A,若A∪B=B,则A B,
∵A={x|1对于B,若A∪B=A,则B A,
当B= 时(易错点),a=1;
当B≠ 时,∵A={x|1∴B={x|1对于C,若B A,
当B= 时(易错点),a=1,满足题意;
当B≠ 时,∵A={x|1则(注意集合B不为空集的条件也需写出),
∴1≤a<4,故C错误.
对于D,若A∩B= ,
当B= 时(易错点),a=1,满足题意;
当B≠ 时,∵A={x|14.解析　(1)易得A={x|x2-4=0}={-2,2},
∵A∩B={-2},∴-2∈B,即4-4(a+1)+a2-5=0,解得a=-1或a=5,
当a=-1时,B={-2,2},A∩B={-2,2},不满足题意,舍去(求得参数的值后需代回原集合检验);
当a=5时,B={-10,-2},A∩B={-2},满足题意.
故实数a的值为5.
(2)∵A∪B=A,∴B A.
当B= 时(易错点),Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0,解得a<-3,满足题意.
当B≠ 时,若Δ=0,则a=-3,此时B={2},满足题意;
若Δ>0,即a>-3,则由B A得B={-2,2},
故解得a=-1.
综上可得,实数a的取值范围为{a|a≤-3或a=-1}.
易错警示
当A B时,不能忘记A= 的情形.要注意 是任何集合的子集,且是任何非空集合的真子集.我们在求解有关集合间的关系的问题时一定要考虑空集的情况.
5.解析　(1)A={x|x2-4x+3≤0}={x|1≤x≤3},
B=={x|x>1},
∴ RB={x|x≤1},∴( RB)∪A={x|x≤3}.
(2)C={x|(x-a)(x-a-1)<0}={x|a可画出数轴如下:
∴解得1≤a≤2.
故实数a的取值范围为[1,2].
易错警示
对于与不等式有关的集合问题,通常借助数轴来求解,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,一般情况下,含“=”时,相应端点值用实心点表示,不含“=”时,相应端点值用空心圆圈表示.利用集合之间的关系求解参数的取值范围时,要注意对端点值的取舍.
6.ABD　对于A,a>1 0<<1 <1,而<1 /a>1,
故为充分不必要条件,故A正确;
对于B,原命题的否定是“存在x<1,x2≥1”,故B正确;
对于C,当x≥2且y≥2成立时,x2+y2≥4成立,
但当x2+y2≥4成立时,x≥2且y≥2不一定成立,如x=3,y=1,故C错误;
对于D,a≠0 /ab≠0,但ab≠0 a≠0,故为必要不充分条件,故D正确.
易错警示
若由条件可推出结论,则条件是结论成立的充分条件;若由结论可推出条件,则条件是结论成立的必要条件,二者不要混淆.从集合角度解释:若A B,则A是B的充分条件;若B A,则A是B的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
7.答案　(-3,0)
解析　由题意知,x∈A是x∈B的必要不充分条件,因此B A.易得A={0,-4}.
①当B= 时,Δ=4(a+1)2-4(1-a)=4a2+12a<0,解得-3②当B={-4}时,有无解;
③当B={0}时,有无解.
综上,实数a的取值范围为{a|-3易错警示
要注意“x∈A的必要不充分条件是x∈B”与“x∈A是x∈B的必要不充分条件”的区别:“x∈A的必要不充分条件是x∈B”中,x∈A为结论,x∈B为条件,而“x∈A是x∈B的必要不充分条件”中,x∈A为条件,x∈B为结论.求解时往往将“x∈A的必要不充分条件是x∈B”转化为“x∈B是x∈A的必要不充分条件”,再进一步转化为集合之间的关系.
8.AC　对于A,当x>1时,x-1>0,则y=2x+-1=2(x-1)++1≥2+1=4+1,当且仅当x=+1时,等号成立,A正确;
对于B,当x<0时,y=<0,B错误;
对于C,D,若正数x,y满足x+2y=3xy,则3==+,所以2x+y=(2x+y)=≥=3,当且仅当x=y=1时,等号成立,C正确,D错误.
9.BC　对于A, ==+≥2=2,
当且仅当=时等号成立(易错点),但是此时x无实数解,故A错误;
对于B,ab<0,则+=-(易错点)≤-2×=-2,当且仅当a=-b时等号成立,故B正确;
对于C,因为x,y>0且xy=x+y+3,所以xy=x+y+3≥2+3,即(+1)(-3)≥0,解得≥3或≤-1(舍去),所以xy≥9,当且仅当x=y=3时取等号(易错点),即xy的取值范围是[9,+∞),故C正确;
对于D,a2+b2+c2=(a2+b2)+(b2+c2)+(a2+c2)≥ab+bc+ac,当且仅当a=b=c时等号成立,则ab+bc+ac≤1,故D错误.
易错警示
(1)使用基本不等式求最值时,失误的一般原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视,要注意这三个条件缺一不可;(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧的使用,使其满足基本不等式中“一正、二定、三相等”的条件.
10.解析　由≥1,得≥0,等价于(ax+5)(x-5)≥0且x≠5(易错点)①,
当a>0时,解①得x≤-或x>5;当a=0时,解①得x>5;当0<-<5,即a<-1时,解①得-≤x<5;当-=5,即a=-1时,①的解集为 ;当->5,即-1综上所述,当a>0时,原不等式的解集为xx≤-或x>5;
当a=0时,原不等式的解集为{x|x>5};
当a<-1时,原不等式的解集为x-≤x<5;
当a=-1时,原不等式的解集为 ;
当-111.解析　(1)由≤1,得≤0,即≤0,
∴(x-3)(x+2)≤0且x+2≠0(易错点),解得-2(2)由ax2+(a-1)x-1≤0,得(ax-1)(x+1)≤0,
∵A∩B=B,∴B A,
当a=0时,B={x|x≥-1},不符合题意,舍去;
当a>0时,不等式可化为(x+1)≤0,
又-1<0<,∴B=x-1≤x≤,
∴≤3,又a>0,∴a≥;
当a<0时,不等式可化为(x+1)≥0,此时B A,不符合题意,舍去.
综上可知,a的取值范围是aa≥.
思想方法练
1.答案　0
解析　∵2≤a≤3,∴≤≤,
又3≤b≤6,∴1≤≤3,
则不等式ma2-ab+b2≥0恒成立可转化为m≥-恒成立,
令y=-,t=,则y=t-t2=-+,1≤t≤3,
将含有两个变量的不等式化为可换元的形式,构造二次函数,根据二次函数的性质求解.
故当t=1时,y取得最大值,为0,
∴m≥0,因此m的最小值为0.
2.答案　{m|2-2解析　设函数y=x2-mx+m+2,则其图象的对称轴为直线x=,
由三个“二次”之间的关系设出不等式对应的函数,根据函数图象的特点,列出满足条件的关系式来求解.
①当≤-2,即m≤-4时,有(-2)2-m×(-2)+m+2>0,解得m>-2,又∵m≤-4,∴无解;
②当-2<<4,即-40,解得2-2又∵-4③当≥4,即m≥8时,有42-m×4+m+2>0,
解得m<6,又∵m≥8,∴无解.
综上所述,m的取值范围为{m|2-2思想方法
函数、方程、不等式三者密不可分,很多不等式问题都可以从函数的角度进行求解,如y>a(y是关于x的函数,a为参数)恒成立等价于ymin>a,进而转化为求函数的最小值.
3.B　若p是真命题,则当x∈[1,3]时,a>,
将存在性问题转化为不等式有解问题,进一步转化为求最小值问题.
因为x∈[1,3]时,x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时,等号成立,
所以“a>4”是“p是真命题”的充要条件.结合选项可知,{a|a>4} {a|a>3},
将必要不充分条件的判断转化为集合间关系的判断.
所以“a>3”是“p是真命题”的一个必要不充分条件.
4.D　对于方程x2+(m+1)x+m=0,因为Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,所以B≠ ,
根据题意得A={x|(x+1)(x+3)=0}={-1,-3},B={x|(x+m)(x+1)=0}={-1,-m}.
因为( UA)∩B= ,所以B A,
根据集合之间的运算关系,将( UA)∩B= 转化为集合间的包含关系,即B U( UA),即B A.
所以B={-1}或B={-1,-3},
若B={-1},则解得m=1;
若B={-1,-3},则解得m=3,
所以m=1或m=3.
5.解析　(1)因为对任意的x∈R,都有y≥0,所以关于x的不等式x2-ax+1≥0的解集为R,即Δ=(-a)2-4≤0,
将y≥0恒成立转化为关于x的一元二次不等式的解集为R,再进一步转化为Δ≤0,体现了转化与化归思想.
解得-2≤a≤2,所以实数a的取值范围为-2≤a≤2.
(2)若对任意的1≤x≤2,都有y≥-2,
则x2-ax+1≥-2,即x2+3≥ax对1≤x≤2恒成立,
即a≤x+对1≤x≤2恒成立,
将恒成立问题转化为最值问题,体现了转化与化归思想.
由于1≤x≤2时,x+≥2=2,当且仅当x=,即x=时取等号,所以a≤2,
即实数a的取值范围为a≤2.
思想方法
转化与化归思想在本章中的应用主要体现在集合的运算性质和集合与集合之间包含关系的转化(如A∩B=A A B,A∪B=A B A,A∩( RB)= A B等),充分条件、必要条件和集合与集合之间关系的转化,恒成立问题与函数最值问题之间的转化,三个“二次”之间的转化等多个方面.
6.解析　(1)由题得B={x|x≤3或x≥7},
将A,B表示在数轴上,如图,
根据集合间的关系,将集合表示在数轴上,借助数轴可直观得出结果,体现了数形结合思想.
由A∪B=R,得解得3≤a≤5,
所以a的取值范围为{a|3≤a≤5}.
(2)由A∩B=A,得A B,由(1)知B={x|x≤3或x≥7}.
当a-2>2a+1,即a<-3时,A= ,满足A B;
当a-2≤2a+1,即a≥-3时,A≠ ,
将A,B表示在数轴上,如图,
或
分不同情况将集合表示在数轴上,借助数轴可直观得出结果,体现了数形结合思想.
由图可知,当A B时,2a+1≤3或a-2≥7,
解得a≤1或a≥9,因此-3≤a≤1或a≥9.
综上可知,a的取值范围为{a|a≤1或a≥9}.
7.解析　(1)①若m=0,则原不等式可化为-1<0,显然恒成立;
②若m≠0,则不等式mx2-mx-1<0恒成立等价于解得-4综上可知,实数m的取值范围是{m|-4(2)①当m=0时,原不等式可化为-1<0,显然恒成立;
②当m>0时,若对于x∈{x|1≤x≤3},不等式恒成立,则由函数y=mx2-mx-1的图象开口向上,对称轴为直线x=知,只需在x=3时函数值为负数即可,
即9m-3m-1<0,解得m<,此时0③当m<0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向下,对称轴为直线x=,若当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,结合函数图象知,只需在x=1时函数值为负数即可,此时m∈R,所以m<0符合题意.
结合一元二次函数的图象确定不等式恒成立的条件.
综上所述,实数m的取值范围是.
思想方法
数形结合思想在本章中的应用主要体现在集合与一元二次函数中:
(1)在集合中,主要是集合间的关系与Venn图或数轴的结合,通过Venn图或数轴可使问题更直观;
(2)在一元二次函数中,主要是通过函数图象研究一元二次函数的一些性质及解一元二次不等式等.
8.解析　由题意可知A={x|x2-3x+2=0}={1,2}.
(1)因为A B,所以1,2是方程x2+px+q=0的两根,
由根与系数的关系得1+2=-p,1×2=q,即p=-3,q=2.
(2)因为A∪B={1,2,3},
由题意可知3一定在集合B中,因此集合B中只含元素3或含有两个元素1,3或2,3,分三种情况讨论.
所以B={3}或B={1,3}或B={2,3},
当集合B={3}时,Δ=p2-4q=0且32+3p+q=0,所以p=-6,q=9;
当集合B={1,3}时,Δ>0,且1,3是方程x2+px+q=0的两根,所以-p=1+3,q=1×3,得p=-4,q=3;
当集合B={2,3}时,Δ>0,且2,3是方程x2+px+q=0的两根,所以-p=2+3,q=2×3,得p=-5,q=6.
综上所述,p=-6,q=9或p=-4,q=3或p=-5,q=6.
9.解析　(1)二次项系数含有参数,对二次项系数是不是0进行讨论.
y<0即mx2-2mx-3<0,
若m=0,则y<0即为-3<0,恒成立,满足题意;
若m≠0,要使“ x∈R,y<0”是真命题,
则解得-3综上,实数m的取值范围为(-3,0].
(2)因为mx2+(1-m)x-1<0是一元二次不等式,所以m≠0,原不等式可化为(mx+1)(x-1)<0,
方程(mx+1)(x-1)=0的两个根为x=-或x=1,
-与1的大小关系不确定,结果会影响不等式的解集,故需要分类讨论.
(i)当-=1,即m=-1时,原不等式的解集为(-∞,1)∪(1,+∞);
(ii)当->1,即-1(iii)当0<-<1,即m<-1时,原不等式的解集为∪(1,+∞);
(iv)当-<0,即m>0时,原不等式的解集为.
综上,当m<-1时,原不等式的解集为∪(1,+∞);当m=-1时,原不等式的解集为(-∞,1)∪(1,+∞);当-10时,原不等式的解集为.
思想方法
分类讨论思想是本章很重要也很常见的一种,明确分类标准很关键,分类时要做到不重不漏.在集合问题中,通常对集合是不是空集、元素与集合之间的关系进行分类讨论.在不等式问题中,若不等式含有参数,则可从以下几方面确定分类标准:①二次项系数含参,则要对二次项系数大于0,小于0,等于0进行分类讨论;②对应方程的根无法确定大小时,要对根的大小进行分类讨论;③若对应方程的判别式含参,则在确定解的情况时需分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况讨论并求解.
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