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2026北师大版高中数学必修第一册
专题强化练2　三个“二次”的综合应用
1.(2025江西上饶玉山一中月考)若关于x的不等式ax2+bx+4>0的解集为{x|-12ax的解集为(　　)
A.{x|x<1或x>2}　　　　B.{x|1C.{x|x>2}　　　　 D.{x|-22.(2024山西大学附属中学模块诊断)已知关于x的不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集中有且仅有4个正整数,则a的取值范围是(　　)
A.-3≤a<-2　　　　B.-3C.43.(多选题)(2025湖北鄂东南省级示范高中联盟期中)已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-2或x≥3},则下列说法正确的是(　　)
A.a>0
B.ax+c>0的解集为{x|x<6}
C.8a+4b+3c>0
D.cx2+bx+a<0的解集为x-4.(多选题)(2025江西赣州瑞金第一中学月考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.abc>0
B.3a>2b
C.m(am+b)≤a-b(m为任意实数)
D.4a-2b+c<0
5.(多选题)(2025江西上饶月考)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的自变量x与因变量y的部分对应值如下表:
x … -1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当x=时,对应的y值小于0.下列说法正确的有(　　)
A.abc>0
B.mn>
C.函数图象的对称轴为直线x=
D.关于x的方程ax2+bx+c=0一定有一正、一负两个实数根,且负实数根在-和0之间
6.(2024天津第七中学月考)若关于x的不等式ax2+6(a+1)x+5a+10≥0(a∈Z)只有有限个整数解,且0是其中一个解,则全部不等式的整数解的和为　　　　.
7.(2025江西多校联考)已知a∈R,函数y=ax2+(3a+2)x+2a+3.
(1)当a=1时,函数y=ax2+(3a+2)x+2a+3的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,求+;
(2)求关于x的不等式ax2+(3a+2)x+2a+3≥1的解集.
答案与分层梯度式解析
专题强化练2　三个“二次”的综合应用
1.B 2.D 3.BCD 4.ABC 5.BCD
1.B　因为不等式ax2+bx+4>0的解集为{x|-1所以-1,2是方程ax2+bx+4=0的两根,所以
解得
则不等式a(x2+1)+b(x-1)>2ax即为-2(x2+1)+2(x-1)>-4x,整理得-2x2-2+2x-2>-4x,
即x2-3x+2<0,即(x-2)(x-1)<0,解得1所以不等式a(x2+1)+b(x-1)>2ax的解集为{x|12.D　由x2-(a+1)x+a≤0,得(x-a)(x-1)≤0,
因为关于x的不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集中有且仅有4个正整数,所以a>1,
故原不等式的解集为{x|1≤x≤a},所以4≤a<5.
3.BCD　由不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-2或x≥3},得a<0,且-2,3是方程ax2+bx+c=0的两个根,则3×(-2)=,3+(-2)=-,解得c=-6a,b=-a,A错误;
对于B,不等式ax+c>0即为ax-6a>0,又a<0,故x<6,B正确;
对于C,8a+4b+3c=8a-4a+3×(-6a)=-14a>0,C正确;
对于D,不等式cx2+bx+a<0即-6ax2-ax+a<0,即6x2+x-1<0,解得-4.ABC　因为抛物线开口向下,所以a<0,又抛物线的对称轴为直线x=-=-1,所以b=2a,所以b<0,由抛物线与y轴的交点在x轴上方,知c>0,可得abc>0,故A正确;
因为b=2a,所以2b-3a=4a-3a=a<0,所以3a>2b,故B正确;
易知当x=-1时,y取得最大值,则am2+bm+c≤a-b+c,所以m(am+b)≤a-b,故C正确;
由抛物线的对称性知x=0与x=-2处的函数值相等,又x=0时,y>0,故当x=-2时,y>0,即4a-2b+c>0,故D错误.
5.BCD　将(0,2),(1,2)分别代入y=ax2+bx+c,得所以
所以二次函数y=ax2+bx+c即y=ax2-ax+2,
当x=时,y<0,即a-a+2<0,解得a<-,所以b=-a>,则a<0,b>0,c>0,故abc<0,故A错误;
当x=-1时,m=a+a+2=2a+2,当x=2时,n=4a-2a+2=2a+2,所以mn=(2a+2)2=4(a+1)2,因为a<-,所以mn>,故B正确;
易知二次函数的图象开口向下,对称轴为直线x=,又当x=时,y<0,所以根据二次函数图象的对称性知,当x=-时,y<0,而当x=0时,y=2>0,所以二次函数的图象与x轴负半轴的交点的横坐标在-和0之间,所以关于x的方程ax2+bx+c=0一定有一正、一负两个实数根,且负实数根在-和0之间,故C,D正确.
6.答案　-6
解析　若a=0,则原不等式为6x+10≥0,即x≥-,整数解有无数个,不符合题意,故a≠0.
设y=ax2+6(a+1)x+5a+10(a≠0),若y≥0的整数解只有有限个,则其图象开口向下,所以a<0,
因为0为其中一个解,所以5a+10≥0,即a≥-2,所以-2≤a<0,
又a∈Z,所以a=-2或a=-1.
若a=-2,则不等式为-2x2-6x≥0,解得-3≤x≤0,
因为x为整数,所以x=-3,-2,-1,0;
若a=-1,则不等式为-x2+5≥0,解得-≤x≤,
因为x为整数,所以x=-2,-1,0,1,2,
所以全部不等式的整数解的和为-6.
7.解析　(1)当a=1时,y=x2+5x+5,
因为y=x2+5x+5的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,所以x1+x2=-5,x1x2=5,
故+=(x1+x2)2-2x1x2=25-10=15,
所以+=(x1+x2)(+-x1x2)=-5×(15-5)=-50.
(2)不等式ax2+(3a+2)x+2a+3≥1即ax2+(3a+2)x+2a+2≥0,①
当a=0时,①式即2x+2≥0,解得x≥-1.
当a≠0时,①式即(x+1)(ax+2a+2)≥0,
令(x+1)(ax+2a+2)=0,解得x=-1或x=-2-,
若a>0,则-2-<-1,解①得x≤-2-或x≥-1.
若a<0,当-2-<-1,即a<-2时,解①得-2-≤x≤-1;
当-2-=-1,即a=-2时,由①得-2x2-4x-2≥0,所以x=-1;
当-2->-1,即-2综上,当a=0时,解集为{x|x≥-1};当a>0时,解集为xx≤-2-或x≥-1;当a<-2时,解集为x-2-≤x≤-1;当a=-2时,解集为{x|x=-1};当-221世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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