资源简介

§3　对数函数
3.1　对数函数的概念
3.2　对数函数y=log2x的图象和性质
【学习目标】
1.理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数的关系.
2.了解指数函数与对数函数互为反函数,并会求指数函数或对数函数的反函数.
3.掌握对数函数y=log2x的图象和性质.
◆ 知识点一　对数函数
1.概念:
函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数,其中a叫作对数函数的　　　　.
2.对数函数的基本性质:
(1)定义域是　　　　　;
(2)图象过定点　　　　.
3.两个特殊的对数函数:
(1)以10为底的对数函数为常用对数函数,记作　　　　;
(2)以无理数e为底的对数函数为自然对数函数,记作　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y=loga(x+1)(a>0且a≠1)是对数函数. (　 )
(2)y=logax+1(a>0且a≠1)是对数函数. (　 )
(3)y=logx5是对数函数. (　 )
◆ 知识点二　反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)和对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=log3x的反函数是y=3x. (　 )
(2)y=2x与y=2log4x互为反函数. (　 )
◆ 知识点三　对数函数y=log2x的图象和性质
函数 y=log2x
图象
性质 定义域 (0,+∞)
值域 R
单调性 在(0,+∞)上为　　　　函数
过定点 (1,0)
函数值 变化 当x>1时,　　　
当0【诊断分析】 1.画对数函数y=log2x的简图时,应抓住哪三个关键点
2.函数y=log3x与函数y=log2x的性质一样吗
◆ 探究点一　对数函数的概念及其应用　　　　　 　　　　　 　　　　　
例1 (1)(多选题)[2024·江西抚州金溪一中高一月考] 下列函数中是对数函数的是 (　 )
A.y=x B.y=log2(x+1)
C.y=ln x D.y=lg x+1
(2)若函数y=log(a-1)x+(a2-2a-3)是对数函数,则a=　　　　.
变式 函数f(x)=(m2-1)logmx是以m为底的对数函数,则m的值是　　　　.
[素养小结]
判断一个解析式仅含对数符号“log”的函数是对数函数的方法
◆ 探究点二　反函数
例2 求下列函数的反函数:
(1)y=log3x;(2)y=4x.
变式 [2024·福建福州永泰一中高一月考] 已知函数f(x)=log5x,g(x)是f(x)的反函数,则f(1)+g(1)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.10 B.8
C.5 D.2
[素养小结]
求函数反函数的一般步骤:①反解x;②交换x,y,然后验证此时y是否为关于x的函数;③注明定义域(原函数的值域).
◆ 探究点三　比较大小
例3 比较下列各组数的大小:
(1)log2与log2;
(2)log2(a2+1)与log2(2a).
变式 [2024·江西赣州南康中学高一月考] 已知a=,b=log2,c=lo,则 (　 )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>b>a
D.c>a>b
[素养小结]
比较对数的大小,主要依据对数函数的单调性.底数相同时,应先弄清相应的对数函数及其单调性,再通过自变量的大小关系得到相应函数值的大小关系.
拓展 已知a=log23,b=log2,c=0.4-1.2,则(　 )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.c>b>a
◆ 探究点四　解与对数函数y=log2x有关的不等式或方程
例4 (1)不等式log2(x2-4)>3的解集为　　　　　　　　.
(2)方程log2(x+4)+log2(x-1)=1+log2(x+1)的解为　　　　.
变式 (1)函数f(x)=的定义域为 (　 )
A.[-2,0] B.(-2,0)
C.(-2,0] D.(0,+∞)
(2)满足2(3)方程log2(x-3)+log2(x+4)=3的解为　　　　.
[素养小结]
对于log2f(x)>log2g(x)的求解,常利用函数y=log2x的单调性,将不等式转化为f(x)>g(x)来求解,但一定要注意f(x)>0,g(x)>0的限制条件.对于方程log2f(x)=log2g(x)的求解,一般通过方程f(x)=g(x)来求解,同样方程的解要保证f(x)>0,g(x)>0.§3　对数函数
3.1　对数函数的概念
3.2　对数函数y=log2x的图象和性质
【课前预习】
知识点一
1.底数　2.(1)(0,+∞)　(2)(1,0)
3.(1)y=lg x　(2)y=ln x
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)×
知识点二
诊断分析
(1)√　(2)√
知识点三
增　y>0　y<0
诊断分析
1.解:三个关键点是(2,1),(1,0),.
2.解:性质一样.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)AC　(2)3　[解析] (1)根据对数函数的定义,可得y=x和y=ln x都是对数函数,y=log2(x+1)和y=lg x+1不是对数函数.故选AC.
(2)若y=log(a-1)x+(a2-2a-3)是对数函数,则解得a=3.
变式　　[解析] 由函数f(x)=(m2-1)logmx是以m为底的对数函数,可得解得m=.
探究点二
例2　解:(1)∵对数函数y=log3x的底数是3,∴它的反函数是指数函数y=3x.
(2)∵指数函数y=4x的底数是4,∴它的反函数是对数函数y=log4x(x>0).
变式　C　[解析] 因为函数f(x)=log5x,g(x)是f(x)的反函数,所以g(x)=5x,故f(1)+g(1)=log51+51=5.故选C.
探究点三
例3　解:(1)方法一:因为对数函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,且<,所以log2方法二:因为log2<0,log2>0,所以log2(2)因为对数函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,
且a2+1-2a=(a-1)2≥0,即a2+1≥2a,
所以log2(a2+1)≥log2(2a).
变式　D　[解析] ∵y=2x在R上为增函数,y=log2x在(0,+∞)上为增函数,∴0log22=1,∴c>a>b.故选D.
拓展　C　[解析] ∵函数y=log2x在(0,+∞)上为增函数,∴b=log2>2,∴c>a>b.故选C.
探究点四
例4　(1){x|x>2或x<-2}　(2)2　[解析] (1)由log2(x2-4)>3,得x2-4>23=8,所以x2-12>0,解得x>2或x<-2,故原不等式的解集为{x|x>2或x<-2}.
(2)由已知可得则解得x=2,所以原方程的解为2.
变式　(1)C　(2){x|-1(2)由2(3)由log2(x-3)+log2(x+4)=3,得log2(x2+x-12)=log28,∴x2+x-12=8,即x2+x-20=0,解得x=4或x=-5.当x=-5时,原方程无意义,舍去,∴方程log2(x-3)+log2(x+4)=3的解为4.§3　对数函数
3.1　对数函数的概念
3.2　对数函数y=log2x的图象和性质
1.C　[解析] 函数y=logx2,y=2log4(1-x)的真数不是自变量x,它们不是对数函数,A,B不满足题意;函数y=ln x是对数函数,C满足题意;函数y=lox的底数含有参数a,而a的值不能保证a2+a是不等于1的正数,D不满足题意.故选C.
2.A　[解析] 根据对数的运算可知,log21=0,log21≠1,log2(-1)无意义,log22=1,所以函数y=log2x的图象经过点(1,0).故选A.
3.C　[解析] 函数y=有意义,则1-log2x≥0且x>0,即log2x≤1且x>0,解得04.C　[解析] a=log43=log2,因为0.3<<π,y=log2x在(0,+∞)上是增函数,所以log20.35.A　[解析] 设f(x)=logax(a>0且a≠1),因为函数f(x)的图象过点(4,2),所以f(4)=loga4=2,即a=2,所以f(x)=log2x,它的反函数g(x)的解析式为g(x)=2x.故选A.
6.C　[解析] 因为y=log2x,x∈是增函数,所以ymin=log2=-2,ymax=log24=2,所以函数的值域为[-2,2].故选C.
7.B　[解析] f(x)的定义域为(1,+∞),由题意,不妨设18.ACD　[解析] 对于A,函数f(x)为增函数,故A正确;对于B,f(x)=log2x不是偶函数,故B不正确;对于C,当x>1时,f(x)=log2x>log21=0,故C正确;对于D,由f(x)=log2x的图象知,若09.BD　[解析] 因为函数y=log2x在(0,+∞)上为增函数,0<<<3,所以log210.9　[解析] 由对数函数的反函数为同底数的指数函数可得g(x)=3x,故g(2)=32=9.
11.　[解析] 根据题意可得解得x>,所以满足f(x-1)12.4　[解析] ∵f(x)在[1,a]上单调递增,∴f(1)≤f(x)≤f(a),∴m-n=2a+log2a-2=16,则2a+log2a=18,又f(4)=18,∴a=4.
13.解:(1)由8-2x>0,得2x<8,解得x<3,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,3).
(2)由y=f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1),得x=log2(8-ay),互换x,y,得y=log2(8-ax),所以函数f(x)的反函数为y=log2(8-ax).
又因为函数f(x)的反函数是其本身,所以a=2.
14.解:(1)∵g(x)≥f(x),∴log2(3x+1)≥log2(x+1),
∴解得x≥0,
即所求x的取值范围是[0,+∞).
(2)当x≥0时,y=g(x)-f(x)=log2(3x+1)-log2(x+1)=log2.设u==3-(x≥0),则易知该函数在[0,+∞)上单调递增,∴当x=0时,umin=1.又y=log2u在定义域上是增函数,∴ymin=0.
15.　[解析] 作出函数f(x)=|log2x|的图象,如图所示,得016.解:(1)h(x)=log2(x+1)-log2(1-x)=log2,
函数h(x)的自变量x满足解得-1所以函数h(x)的定义域为(-1,1).
(2)h(x)=log2,所以h(x)>log2即为log2>log2.
因为函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,
所以>>0对x∈恒成立,又(1-x)x>0,所以0又函数y=x2+x=-在上单调递增,所以当x∈时(x2+x)min=+=,
则03.1　对数函数的概念
3.2　对数函数y=log2x的图象和性质
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.[2024·江西赣州定南中学高一月考] 下列函数中为对数函数的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=logx2
B.y=2log4(1-x)
C.y=ln x
D.y=x(a∈R)
2.函数y=log2x的图象经过点 (　 )
A.(1,0) B.(1,1)
C.(-1,1) D.(2,2)
3.函数y=的定义域为 (　 )
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(0,2] D.(1,2]
4.已知a=log43,b=log20.3,c=log2π,则a,b,c的大小关系是 (　 )
A.aC.b5.[2024·湖南长沙一中高一期中] 若对数函数f(x)的图象经过点(4,2),则它的反函数g(x)的解析式为 (　 )
A.g(x)=2x
B.g(x)=
C.g(x)=4x
D.g(x)=x2
6.函数y=log2x,x∈的值域为 (　 )
A.[2,4] B.[-1,2]
C.[-2,2] D.[-2,1]
7.已知函数f(x)=|log2(x-1)|,若x1≠x2,f(x1)=f(x2),则+= (　 )
A. B.1
C.2 D.
8.(多选题)已知函数f(x)=log2x,则下列说法中正确的是 (　 )
A.函数f(x)为增函数
B.函数f(x)为偶函数
C.若x>1,则f(x)>0
D.若09.(多选题)设a=log2,b=log2,c=log23,则下列结论正确的是 (　 )
A.a>c B.b>a
C.a>b D.c>b
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.[2024·山西太原高一期末] 已知函数f(x)=log3x与g(x)互为反函数,则g(2)=　　　　.
11.设函数f(x)=则满足f(x-1)12.若函数f(x)=2x+log2x在[1,a]上的取值范围为[n,m],且m-n=16,则a=　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知函数f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的反函数是其本身,求实数a的值.
14.(10分)设函数f(x)=log2(x+1),g(x)=log2(3x+1).
(1)求出使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围;
(2)当x≥0时,求y=g(x)-f(x)的最小值.
15.(5分)已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m16.(15分)已知函数f(x)=log2(x+1),g(x)=log2(1-x),设h(x)=f(x)-g(x).
(1)求函数h(x)的定义域;
(2)若不等式h(x)>log2在上恒成立,求实数m的取值范围.

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