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有理数 单元综合测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七上·柯桥月考）下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
2．（2023七上·镇海区期末）下列各数中最小的是（　　）
A．-3 B．0 C． D．
3．（2024七上·青县期末）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果正数的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七上·邵阳期末）已知，且，则中最大的数是（　　）
A． B． C． D．不确定
5．（2024七上·海曙期末）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（　　）
A． B． C．1.1 D．
6．（2024七上·坪山期末）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的饼干包装上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七上·福田期末）下列说法正确的是（　　）
A．一定是负数
B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等
C．若，则a与b互为相反数
D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数
8．（2024七上·鹿寨期末）下列四个数中，属于负数的是（　　）
A． B．3.14 C．0 D．2
9．（2023七上·海淀月考）有理数m，n，k在数轴上的对应点的位置如图所示，若m+n＜0，n+k＞0，则A，B，C，D四个点中可能是原点的是（　　）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
10．（2022七上·义乌月考）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七上·阳江期末）若，则　 　．
12．（2024七上·合江期中）比较大小：　 　（填“<”或“>”）．
13．（2024七上·黄石期中）已知三个有理数、、，其积是负数，则　 　．
14．（2024七上·东莞期中）在数轴上，点 表示 ，从点 出发，沿数轴移动 个单位长度到达点B，则点 表示的数是　 　．
15．（2024七上·龙湾月考）在，，，，，这六个数中，分数有　 　个．
16．（2024七上·武威期末）下列说法：①，则；②数轴上到某点距离相等的两个点对应的数相等；③，则；④，则．正确的有　 　（填序号）．
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·铁东期末）对于有理数，定义一种新运算“*”，规定．
（1）计算的值；
（2）已知且，求的值．
18．（2024七上·义乌月考）根据中药材市场行情调研，某药材公司决定利用一周的时间大量收购白术，公司将工作人员分为六个收购小组，每个小组的收购任务为8000千克，一周后，六个小组完成情况如下表：（以8000kg为标准，超过为正，不足为负）
小组 一 二 三 四 五 六
完成情况 +500 ﹣800 +1100 ﹣700 +200 +900
（1）6个小组完成的总量有没有超过计划数量？并说明理由；
（2）若每个小组的基本奖金为500元，每超额完成100千克另奖10元，每少完成100千克，从基本奖金中扣8元，本次收购后，该公司要支付奖金多少元？
19．（2024七上·南宁期中）已知一组数：2，，，，，，0
（1）画一条数轴，并把这些数用数轴上的点表示出来；
（2）把这些数分别填在下面对应的集合中：
负数集合分数集合非负数集合
（3）请将这些数按从小到大的顺序排列______（用“”连接）
20．（2024七上·合浦期中）“十一”黄金周期间，晋中某景区8天假期中每天游玩的人数变化如下表（用正数表示比前一天多的人数，用负数表示比前一天少的人数）：
日期 29日 30日 1日 2日 3日 4日 5日 6日
变化/万人
（1）若9月28日的游客人数为1万人，则9月30日的游客人数为______万人；
（2）与9月28日相比，10月6日的游玩人数是减少了还是增多了？变化了多少？
21．（2023七上·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图，
（1）判断正负，用“>”或“<”填空：
　 　0，　 　0，　 　0．
（2）化简：．
22．（2024七上·青原月考）如图，在数轴上（相邻两竖线间的距离为1个单位长度），点A，B，C表示的数分别记为a，b，c．
（1）若点B，C表示的数的绝对值相等，则c的值为 ；a的值为 ．
（2）若，求的值．
23．（2023七上·岳阳期中）某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负，小组的出发地记为0，某天检修完毕时，行走记录（单位：km）如下：
．
（1）问收工时，检修小组距出发地有多远？在东侧还是西侧？
（2）若检修车每千米耗油0.3 L，则从出发到收工共耗油多少升？
24．（2024七上·长春月考）在数轴上，我们可以利用线段端点表示的两个数进行减法运算的方法，即大的数减去小的数，求线段的长度.如图，在数轴上，点A、B、C示的数分别是-2、0、3.线段AB= 0 - (-2) =2；线段BC = 3 - 0 = 3；线段AC = 3 - (-2) = 5.
（1）若点E、F表示的数分别是-8 和2，则线段EF的长为　 　.
（2）点M、N为数轴上的两个动点.点N在点M的左边，点M表示的数是-5，若线段MN的长为 12，则点 N表示的数是　 　.
（3）点 P、Q为数轴上的两个动点.动点 P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿A一C一A 运动.动点Q从点 C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点A运动.设点P、Q的运动时间为t(t>0)秒.
①当点P沿A一C运动时，求点P、Q相遇时t的值
②当点B将线段PQ分成的两部分的比为1：4时，直接写出t的值.
25．（2023七上·石家庄月考）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为．
（1）请写出与、两点距离相等的点所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，你知道点对应的数是多少吗？
（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为个单位长度？
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有理数 单元综合测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七上·柯桥月考）下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】C
【解析】【解答】解：A、与不是相反数，故选项A不符合题意；
B、与不是相反数，故选项B不符合题意；
C、，与是相反数，故选项C符合题意；
D、，，与不是相反数，故选项D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数逐项判断，即可得出答案．
2．（2023七上·镇海区期末）下列各数中最小的是（　　）
A．-3 B．0 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵＞＞0＞-3，
∴最小的数为：-3；
故答案为：A.
【分析】根据正数大于0大于负数，比较大小即可.
3．（2024七上·青县期末）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果正数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据数轴得到，且，
∴，A不符合题意；
∴，B符合题意；
∴，C不符合题意；
∴，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】先根据数轴得到，且，进而对选项逐一分析即可求解。
4．（2024七上·邵阳期末）已知，且，则中最大的数是（　　）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【解析】【解答】∵，，
∴y<-x<0∴，
∴最大，
故答案为：C.
【分析】先求出y<-x<05．（2024七上·海曙期末）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（　　）
A． B． C．1.1 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由数轴上的墨迹位置可知，该数大于-3，且小于-1。因此，备选项中，只有选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据数轴上的位置关系，确定该数的可能取值范围. 然后，根据该范围，筛选出符合条件的选项.
6．（2024七上·坪山期末）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的饼干包装上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵包装上注明净含量为，
∴净含量范围为：净含量，故D不符合标准．
故选：D．
【分析】本题考查正负数的定义.根据题意先计算出净含量的范围，再结合选项可选出选项．
7．（2024七上·福田期末）下列说法正确的是（　　）
A．一定是负数
B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等
C．若，则a与b互为相反数
D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数
【答案】D
【解析】【解答】解：A．﹣|a|不一定是负数，当a为0时，结果还是0，故此选项错误；
B．互为相反数的两个数的绝对值也相等，故此选项错误；
C．若|a|=|b|，则a与b互为相反数或a=b，故此选项错误；
D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数，故此选项正确．
故答案为：D.
【分析】分别利用相反数以及绝对值的性质分析得出答案．
8．（2024七上·鹿寨期末）下列四个数中，属于负数的是（　　）
A． B．3.14 C．0 D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：由于-1是负数；3.14是正数；0既不是正数也不是负数；2是正数.
故正确答案选A.
【分析】根据正负数定义可以判断出哪个是负数.
9．（2023七上·海淀月考）有理数m，n，k在数轴上的对应点的位置如图所示，若m+n＜0，n+k＞0，则A，B，C，D四个点中可能是原点的是（　　）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】B
【解析】【解答】A、若点A为原点时，可得00，与题意不符合，∴A不符合题意；
B、若点B为原点，可得m<0n，则m+n<0，n+k>0，符合题意，∴B符合题意；
C、若点C为原点，可得m|k|，则n+k<0，与题意不符合，∴C不符合题意；
D、若点D为原点，可得m故答案为：B.
【分析】分类讨论，再结合数轴，利用数形结合逐项分析判断求解即可.
10．（2022七上·义乌月考）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定
【答案】C
【解析】【解答】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，
∴当时，该式取得最小值8，即，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴
=
=
=
=
=0；
故答案为：C．
【分析】利用已知代数式的最小值为a，可知当x=5时，可求出a的值；将a的值代入， 可求出，据此可得到b，c的取值范围，由此可得到bc的取值范围，将a代入 ，根据b、c、bc的取值范围进行化简即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七上·阳江期末）若，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵a<3
∴3-a>0
∴
故答案为：3-a
【分析】由题意可得3-a>0，再根据绝对值的性质去绝对值即可求出答案.
12．（2024七上·合江期中）比较大小：　 　（填“<”或“>”）．
【答案】>
【解析】【解答】解：
故答案为：>.
【分析】两个负数比较大小，绝对值大的反而小，因为所以
13．（2024七上·黄石期中）已知三个有理数、、，其积是负数，则　 　．
【答案】-3
【解析】【解答】解：若a、b、c均为负数，则 -1-1-1=-3，
若a、b、c中有一个负数，则 1+1-1=1，
故答案为：-3.
【分析】根据题意，可知a、b、c中有一个负数或者三个均为负数，根据绝对值的定义化简后求解.
14．（2024七上·东莞期中）在数轴上，点 表示 ，从点 出发，沿数轴移动 个单位长度到达点B，则点 表示的数是　 　．
【答案】3或
【解析】【解答】当点A向右移动时，B点表示的数是 ；
当点A向左移动时，B点表示的数是 ；
故答案是：3或 ．
【分析】画出数轴，再利用两点之间的距离分两种情况求解即可。
15．（2024七上·龙湾月考）在，，，，，这六个数中，分数有　 　个．
【答案】3
【解析】【解答】解：，，，，，这六个数中，
是分数的是：，，，共个，
故答案为：．
【分析】本题考查了有理数的分类，根据分数的定义即可解答.
16．（2024七上·武威期末）下列说法：①，则；②数轴上到某点距离相等的两个点对应的数相等；③，则；④，则．正确的有　 　（填序号）．
【答案】①
【解析】【解答】解：∵，
∴，，故①正确；
∵数轴上到原点距离相等的两个点；
∴这两个点对应的数的绝对值相等，
∴数轴上到某点距离相等的两个点对应的数不一定相等；故②错误；
③∵，
∴当时，则；
当时，则；
当时，则；
∴当时，则；
则或，故③错误；
∵，
∴数到数的距离等于数到数的距离，
则当时，．故④错误．
故答案为：①．
【分析】 ① 、根据可得，进一步得可判断① ．
② 、根据数轴上到原点距离相等的两个点得这两个点对应的数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，即可判断．
③ 、根据，对a、b、c的取值展开分类讨论逐个分析化简绝对值，即可判断③．
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·铁东期末）对于有理数，定义一种新运算“*”，规定．
（1）计算的值；
（2）已知且，求的值．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
解得：．
【解析】【分析】（1）根据新 定义一种新运算法则，由 ，列出算式，进行计算，即可得到答案；
（2）根根据新 定义一种新运算法则，由 ，列出关于a的方程，进行计算，即可求解．
（1）解：原式
；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：．
18．（2024七上·义乌月考）根据中药材市场行情调研，某药材公司决定利用一周的时间大量收购白术，公司将工作人员分为六个收购小组，每个小组的收购任务为8000千克，一周后，六个小组完成情况如下表：（以8000kg为标准，超过为正，不足为负）
小组 一 二 三 四 五 六
完成情况 +500 ﹣800 +1100 ﹣700 +200 +900
（1）6个小组完成的总量有没有超过计划数量？并说明理由；
（2）若每个小组的基本奖金为500元，每超额完成100千克另奖10元，每少完成100千克，从基本奖金中扣8元，本次收购后，该公司要支付奖金多少元？
【答案】（1）解：∵=，
∴六个小组实际完成的总量比计划总量多出1200千克
（2）解：第一小组：
第二小组：
第三小组：
第四小组：
第五小组：
第六小组：
∴需要支付奖金为：
【解析】【分析】（1）将各个小组的完成情况加起来，根据最后结果的正负即可求解；
（2）根据题意分别求出六个小组的奖金，最后加起来即可.
19．（2024七上·南宁期中）已知一组数：2，，，，，，0
（1）画一条数轴，并把这些数用数轴上的点表示出来；
（2）把这些数分别填在下面对应的集合中：
负数集合分数集合非负数集合
（3）请将这些数按从小到大的顺序排列______（用“”连接）
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：负数集合：
分数集合：
非负数集合：
（3）解：用“”连接为：．
【解析】【分析】（1）根据数轴上数的表示方法，把数在数轴上表示出来，即可得到答案；
（2）根据小于零的数是负数，得到负数集合，根据分母不为一的数是分数，得到分数集合，根据大于或等于零的数是非负数，得到非负数集合，即可求解；
（3）根据数轴上的点表示的数，结合右边的总比左边的大，即可得到答案．
（1）解：如图所示：
（2）解：负数集合：
分数集合：
非负数集合：
（3）解：用“”连接为：．
20．（2024七上·合浦期中）“十一”黄金周期间，晋中某景区8天假期中每天游玩的人数变化如下表（用正数表示比前一天多的人数，用负数表示比前一天少的人数）：
日期 29日 30日 1日 2日 3日 4日 5日 6日
变化/万人
（1）若9月28日的游客人数为1万人，则9月30日的游客人数为______万人；
（2）与9月28日相比，10月6日的游玩人数是减少了还是增多了？变化了多少？
【答案】（1）
（2）解：由题意得， 10月6日的游玩人数为：
（万人），
答：与9月28日相比，10月6日的游玩人数增加了，增加了0.7万人
【解析】【分析】（1）由表格数据，结合正负数的实际意义，计算，即可求解；
（2）根据题意，结合表格中的数据，计算，根据结果的正负，即可进行判断．
解：（1）由表格可知：9月30日的游客人数为（万人）
（1）解：由表格可知：9月30日的游客人数为（万人）
故答案为：
（2）解：
（万人），
答：与9月28日相比，10月6日的游玩人数增加了，增加了0.7万人
21．（2023七上·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图，
（1）判断正负，用“>”或“<”填空：
　 　0，　 　0，　 　0．
（2）化简：．
【答案】（1）＞；＜；＜
（2）解：原式
.
【解析】【解答】解：（1）由题意得c-b＞0，a+b＜0，a-c＜0，
故答案为：＞；＜；＜
【分析】（1）根据数轴结合题意即可求解；
（2）先根据数轴结合绝对值进行化简，再合并同类项即可求解。
22．（2024七上·青原月考）如图，在数轴上（相邻两竖线间的距离为1个单位长度），点A，B，C表示的数分别记为a，b，c．
（1）若点B，C表示的数的绝对值相等，则c的值为 ；a的值为 ．
（2）若，求的值．
【答案】（1）2；
（2）解：∵，
∴或，
当时，，，
∴；
当时，，，
∴．
综上，的值为或9．
【解析】【解答】解：（1）∵点B，C表示的数的绝对值相等，
∴B，C互为相反数，
∴线段的中点即为数轴原点，
根据数轴可得c=2，b=-2，
∴a=-2-2=-4，
故答案为：2；；
【分析】（1）根据点B，C表示的数的绝对值相等，可知线段的中点即为数轴原点，据此得出c和b的值，继而求出a值；
（2）根据，可得，由c值分别求出a、b的值，然后代入求值即可．
（1）解：∵点B，C表示的数的绝对值相等，
∴B，C互为相反数，
∴线段的中点即为数轴原点，
根据数轴可得，
故答案为：2；；
（2）∵，
∴或，
当时，，，
∴；
当时，，，
∴．
综上，的值为或9．
23．（2023七上·岳阳期中）某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负，小组的出发地记为0，某天检修完毕时，行走记录（单位：km）如下：
．
（1）问收工时，检修小组距出发地有多远？在东侧还是西侧？
（2）若检修车每千米耗油0.3 L，则从出发到收工共耗油多少升？
【答案】（1）解：由题意可得：
故收工时，检修小组距出发地有36 km，在东侧；
（2）解：由题意可得：
（L）
故从出发到收工共耗油19.8 L．
【解析】【分析】（1）根据正负数的加减运算法则即可求出答案.
（2）耗油量可以根据行驶的总路程与每千米耗油量的乘积即可求出答案.
（1）解：
故收工时，检修小组距出发地有36 km，在东侧；
（2）解：
（L）
故从出发到收工共耗油19.8 L．
24．（2024七上·长春月考）在数轴上，我们可以利用线段端点表示的两个数进行减法运算的方法，即大的数减去小的数，求线段的长度.如图，在数轴上，点A、B、C示的数分别是-2、0、3.线段AB= 0 - (-2) =2；线段BC = 3 - 0 = 3；线段AC = 3 - (-2) = 5.
（1）若点E、F表示的数分别是-8 和2，则线段EF的长为　 　.
（2）点M、N为数轴上的两个动点.点N在点M的左边，点M表示的数是-5，若线段MN的长为 12，则点 N表示的数是　 　.
（3）点 P、Q为数轴上的两个动点.动点 P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿A一C一A 运动.动点Q从点 C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点A运动.设点P、Q的运动时间为t(t>0)秒.
①当点P沿A一C运动时，求点P、Q相遇时t的值
②当点B将线段PQ分成的两部分的比为1：4时，直接写出t的值.
【答案】（1）10
（2）-17
（3）解： ①； ② t的值为或或
【解析】【解答】（1）解：EF=2-（-8）=10；
（2） 点M表示的数是-5，点N在点M的左边 ，点N表示的数=-5-12=-17
（3） ①当点P沿A一C运动时，点P表示数为2t-2，点Q表示的数为3-t，
∴ 2t-2=3-t
解得t=
则点P沿A一C运动时，点P、Q相遇时t的值是.
②点P沿A一C运动时，P到达C时t=2.5，此时Q所行路程为2.5，未到达B
∴ 当0＜t≤2.5时，如图所示，
点B把PQ分为1：4，则PB=QB，即2-2t=（3-t），解得t=；
点P沿C一A运动时，点P到A处用时t=2AC÷2=5，即2.5＜t＜5时，如图所示，
点P表示的数是3-2（t-2.5）=-2t+8，点Q表示的数是3-t，此时QB=PB，即t-3=（-2t+8），解得t=；
如图所示，，PB=QB，则-2t+8=（t-3），解得t=；
综上，当点B将线段PQ分成的两部分的比为1：4时，t的值为或或.
【分析】本题考查数轴的应用，根据题意，分情况讨论是解题关键。（1）根据题意的EF=较大的数-较小的数；（2）线段MN长12则是较大的数-较小的数，可得点N表示的数；（3）根据题意，点P沿A-C运动时，表示出点P，点Q的代数式，可得t的值；分情况讨论P、Q的位置，根据比例，得出t的值即可。
25．（2023七上·石家庄月考）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为．
（1）请写出与、两点距离相等的点所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，你知道点对应的数是多少吗？
（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为个单位长度？
【答案】（1）解：点对应的数是；
（2）它们的相遇时间是秒，
即相同时间点运动路程为：个单位，
即从数向右运动个单位到数；
（3）相遇前：秒，
相遇后：秒．
故当它们运动秒或秒时间时，两只蚂蚁间的距离为个单位长度．
【解析】【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解；
（2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点 Q 走的路程，根据左减右加的原则，可求出-20向右运动到相遇地点所对应的数；
（3）此题是追及问题，分相遇前两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，相遇后两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，列出算式求解即可．
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