资源简介

1.5.1
　估计总体的分布
学案
课标解读
1.理解并会运用样本的频率分布估计总体的分布，通过实例体会分布的意义和作用(重点)．2．在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图频率折线图(重点)．3．能根据给出的频率分布直方图解决具体问题(难点).
知识1
频率分布表和频率分布直方图
【问题导思】　
　美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是里根，他于1981年就任，当时69岁．下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2009的奥巴马，共44任)给出了历届美国总统就任时的年龄：
57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48
1．上述44个数据中最大值与最小值的差是多少？
【提示】　69－42＝27.
2．若将上述数据分成下列几组，[41.5,45,5)，[45.5,49.5)，[49.5,53.5)，[53.5,57.5)，[57.5,61.5)[61.5,65.5)，[65.5,69.5)．各组中数据个数是多少？
【提示】　各组数据的个数依次为2,7,8,16,5,4,2.
3．在直角坐标系中，能否将各组统计的数据直观地表示出来？
【提示】　可以．
1．频率分布表编制的方法步骤：
计算极差组数与组距分点频率分布表
2.
知识2
频率分布折线图
1.在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图．
2．当样本容量不断增大时，样本中落在每个区间内的样本数的频率会越来越稳定于总体在相应区间内取值的概率．也就是说，一般地，样本容量越大，用样本的频率分布去估计总体的分布就越精确．
3．随着样本量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线.
类型1
频率分布直方图的绘制
　某中学同年级40名男生的体重数据如下(单位：kg)：
61　60　59　59　59　58　58　57　57　57
57　56　56　56　56　56　56　56　55　55
55　55　54　54　54　54　53　53　52　52
52　52　52　51　51　51　50　50　49　48
列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．
【思路探究】　根据绘制频率分布直方图的步骤完成直方图．
【自主解答】　(1)计算最大值与最小值的差：61－48＝13.
(2)决定组距与组数，取组距为2，
＝＝6，
所以，共分成7组．
(3)决定分点，使分点比数据多一位小数，并把第1小组的分点减小0.5，即分成如下7组：
47．5～49.5　49.5～51.5　51.5～53.5　53.5～55.5　55.5～57.5　57.5～59.5　59.5～61.5
(4)列出频率分布表如下：
分组
频数
频率
47.5～49.5
2
0.05
49.5～51.5
5
0.125
51.5～53.5
7
0.175
53.5～55.5
8
0.20
55.5～57.5
11
0.275
57.5～59.5
5
0.125
59.5～61.5
2
0.05
总计
40
1.00
(5)绘出频率分布直方图(如图所示)．
1．组数的决定方法是：设数据总数目为n，一般地，当n≤50，则分为5组～8组；当50≤n≤100，则分为8组～12组较为合适．
2．分点的决定方法是：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是小数点后一位数，则分点减去0.05，以此类推．
3．画频率分布直方图中小长方形的高的方法是：设频数为1的小长方形的高为h，则频数为k的小长形的高为kh.
　有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：
[－20，－15)，7；[－15，－10)，11；[－10，－5)，15；
[－5,0)，40；[0,5)，49；[5,10)，41；[10,15)，20；
[15,20)，17.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图．
【解】　(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[－20，－15)
7
0.035
[－15，－10)
11
0.055
[－10，－5)
15
0.075
[－5,0)
40
0.200
[0,5)
49
0.245
[5,10)
41
0.205
[10,15)
20
0.100
[15,20]
17
0.085
总计
200
1.00
(2)频率分布直方图如图所示：
类型2
频率分布折线图的制作及应用
　公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求．为此，公交公司在某站台随机调查了80名乘客，他们的候车时间如下所示(单位：分)：
17
14
20
12
10
24
18
17
1
22
13
19
28
5
34
7
25
18
28
1
15
31
12
11
10
16
12
9
10
13
19
10
12
12
16
22
17
23
16
15
16
11
9
3
13
2
18
22
19
9
23
28
15
21
28
12
11
14
15
3
11
6
2
18
25
5
12
15
20
16
12
28
20
12
28
15
8
32
18
9
(1)将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率折线图；
(2)候车时间15分钟以上的比例是多少？你能为公交公司提出什么建议？
【思路探究】　将题给数据求出极差，合理分组，然后画出频率分布直方图、折线图．
【自主解答】　(1)该数据中最大值为34，最小值为1，两者之差为33，故取组距为5，分为7组.
时间分组(Δxi)
频数(ni)
频率(fi)
0～5
6
0.075
0.015
5～10
9
0.113
0.023
10～15
22
0.275
0.055
15～20
22
0.275
0.055
20～25
10
0.125
0.025
25～30
8
0.100
0.020
30～35
3
0.038
0.008
频率分布直方图如图所示：
频率折线图如图所示：
(2)候车时间15分钟以上的百分比为
0．275＋0.125＋0.100＋0.038＝0.538＝53.8%，
公交公司可以适当增加公交车的数量．
1．在解答第二问时可直接使用频率分布表，数据明确．
2．频率折线图也是用一个单位长度表示一定的数量，但是，它是根据数量的多少在图中描出各个点，然后把各个点用线段顺次连接成的折线，因此，它不但可以表现出数量的多少，而且能够以折线的起伏，清楚而直观地表示出数量的增减变化的情况．
　从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，8.
(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；
(2)画出频率分布直方图及频率折线图；
(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例．
【解】　(1)样本的频率分布表如下：
成绩分组(Δxi)
频数(ni)
频率(fi)
[40,50)
2
0.04
0.004
[50,60)
3
0.06
0.006
[60,70)
10
0.2
0.02
[70,80)
15
0.3
0.03
[80,90)
12
0.24
0.024
[90,100)
8
0.16
0.016
(2)频率分布直方图及频率折线图如图所示：
(3)成绩在[60,90)的频率为1－0.04－0.06－0.16＝0.74，
∴成绩在[60,90)分的学生比例为74%.
类型3
估计总体的分布
　50辆汽车经过某一段公路的时速记录如图1－5－3所示：
十位
个位
1
3
4
5
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
2
0
0
0
0
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
5
5
5
6
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
3
0
1
1
2
3
图1－5－3
将其分成7组并要求：
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图以及频率折线图；
【思路探究】　翻译数据―→列频率分布表―→
画频率分布直方图和折线图―→作出样本数据分析
【自主解答】　由图知，数据最大值为33，最小值为13，分为7组，组距为3，则频率分布表为：
宽度分组(Δxi)
频数(ni)
频率(fi)
[12.5,15.5)
3
0.06
0.020
[15.5,18.5)
8
0.16
0.053
[18.5,21.5)
9
0.18
0.060
[21.5,24.5)
11
0.22
0.073
[24.5,27.5)
10
0.20
0.067
[27.5,30.5)
5
0.10
0.033
[30.5,33.5)
4
0.08
0.027
(2)频率分布直方图及频率折线图如图所示：
1．利用频率分布表和频率分布直方图研究样本数据的分布状况．
2．根据样本分布情况，近似地估计总体的分布状况．一般利用样本在某一范围内的频率，近似地估计总体在这一范围内的概率．
　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
图1－5－1
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
【解】　(1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为＝0.08.
又因为第二小组的频率＝，
所以样本容量＝＝＝150.
(2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.
对频率分布直方图理解错误
　中小学生的视力状况受到全社会的广泛关注，某市有关部门从全市60
000名高一新生中随机抽取了400名学生，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图，从左到右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6，则全市高一新生视力在[3.95,4.25]范围内的学生约有多少人？
图1－5－2
【错解】　因为第五小组的频率是0.5，所以第一小组的频率为0.5×＝.所以全市6万名高一新生中视力在[3.95,4.25]范围内的学生约有60
000×＝25
000人．
【错因分析】　错误原因在于对频率分布直方图理解不正确，图中标准的0.5并不是第五组的频率，0.5×0.3＝0.15才是频率．
【防范措施】　正确认识直方图的意义，并能准确的应用，是解决好问题的关键．
【正解】　因为第五小组的频率是0.5×0.3＝0.15，所以第一小组的频率为0.15×＝0.125.所以全市6万名高一新生中视力在[3.95,4.25]范围内的学生约有60
000×0.125＝75
00人．
1．频率分布直方图的性质：
(1)因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．
(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
2．样本容量越大，用样本的频率分布去估计总体的分布就越精确．
1．在用样本频率分布估计总体分布的过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．总体容量越大，估计越精确
B．总体容量越小，估计越精确
C．样本容量越大，估计越精确
D．样本容量越小，估计越精确
【解析】　当样本容量越大时，估计总体越精确，故选C.
【答案】　C
2．在画频率分布直方图时，某组的频数为10，样本容量为50，总体容量为600，则该组的频率是(　　)
A.　　　　　　　　　B.
C.
D.
【解析】　该组的频率为＝.
【答案】　A
3．将容量为n的样本中的数据分为6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和为27，则n＝________.
【解析】　由题意得·n＝27，
即n＝27，
∴n＝60.
【答案】　60
4．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图；由图中数据求身高在[120,130)内的学生人数．
图1－5－3
【解】　由图知(0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.035)×10＝1，
∴a＝0.03，故在[120,130)内的频率为0.03×10＝0.3，
由样本容量为100，∴身高在[120,130)内的学生人数为100×0.3＝30.
一、选择题
1．关于频率分布直方图中小长方形的高的说法，正确的是(　　)
A．表示该组上的个体在样本中出现的频率
B．表示取某数的频率
C．表示该组上的个体数与组距的比值
D．表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值
【解析】　频率分布直方图中小长方形的高是，面积才表示频率．
【答案】　D
2．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图1－5－4所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12]内的频数为(　　)
图1－5－4
A．18　　　　B．36　　　　C．54　　　　D．72
【解析】　样本数据落在区间[10,12]内的频率为1－(0.19＋0.15＋0.05＋0.02)×2＝0.18，所以数据落在此区间的频数为200×0.18＝36，故选B.
【答案】　B
3．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
x
14
15
13
12
9
第三组的频数和频率分别是(　　)
A．14和0.14　　　　　　B．0.14和14
C.和0.14
D.和
【解析】　由10＋13＋x＋14＋15＋13＋12＋9＝100得x＝14，故第三组频数为14，
∴频率为＝0.14.
【答案】　A
4．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5)　2　[15.5,19.5)　4　[19.5,23.5)　9
[23.5,27.5)　18
[27.5,31.5)　11
[31.5,35.5)　12
[35.5,39.5)　7
[39.5,43.5)　3
根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占(　　)
A.　　　　　　　　B.
C.
D.
【解析】　根据各组数据有＝＝.
【答案】　B
5．某校在“创新素质实践行”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，下面是将某年级60篇学生调查报告进行整理，分成5组画出的频率分布直方图(如图所示)．已知从左至右4个小组的频率分别为0.05,0.15,0.35,0.30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有(分数大于或等于80分为优秀，且分数为整数)(　　)
图1－5－5
A．18篇
B．24篇
C．25篇
D．27篇
【解析】　分数大于或等于80的频率为1－0.05－0.15－0.35＝0.45，
故优秀的调查报告有0.45×60＝27.
【答案】　D
二、填空题
6．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，求时速在[60,70)的汽车大约有________辆．
图1－5－6
【解析】　时速在[60,70)的汽车的频率为0.04×10＝0.4，故共有200×0.4＝80辆．
【答案】　80
7．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中x，y∈N＋)
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频率
2
x
3
y
2
4
则样本在区间[10,50)上的频率为________．
【解析】　样本在区间[10,50]上的频率为＝0.7.
【答案】　0.7
8．(2013·陕西高考改编)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品，用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是________．
图1－5－7
【解析】　由图可知抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.
【答案】　0.45
三、解答题
9．某中学40名男生的体重数据如下(单位：kg)：
61　60　59　59　59　58　58　57　57　57
57　56　56　56　56　56　56　56　55　55
55　55　54　54　54　54　53　53　52　52
52　52　52　51　51　51　50　50　49　48
请根据上述数据列相应的频率分布表．
【解】　(1)计算极差.61－48＝13；
(2)决定组距与组数．
取组距为2，＝＝6，所以共分7组．
(3)决定分点：
使分点比数据多一位小数，并把第1小组分点减小0.5，即分成如下7组：[47.5,49.5)，[49.5,51.5)[51.5,53.5)，[53.5,55.5)[55.5,57.5)[57.5,59.5)[59.5,61.5]；
(4)列出频率分布表，如下：
分组
频数
频率
[47.5,49.5)
2
0.05
[49.5,51.5)
5
0.125
[51.5,53.5)
7
0.175
[53.5,55.5)
8
0.20
[55.5,57.5)
11
0.275
[57.5,59.5)
5
0.125
[59.5,61.5]
2
0.05
合计
40
1.00
10.为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．
成绩分组(Δxi)
频数(ni)
频率(fi)
50.5～60.5
4
0.08
60.5～70.5
0.16
70.5～80.5
10
80.5～90.5
16
0.32
90.5～100.5
请你根据尚未完成频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若成绩在75.5分～85.5分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？
【解】　(1)频率分布表如下：
成绩分组(Δxi)
频数(ni)
频率(fi)
50.5～60.5
4
0.08
0.008
60.5～70.5
8
0.16
0.016
70.5～80.5
10
0.20
0.020
80.5～90.5
16
0.32
0.032
90.5～100.5
12
0.24
0.024
(2)频数分布直方图如图所示：
(3)成绩在75.5分～80.5分的学生占70.5分～80.5分的学生的，因为成绩在70.5分～80.5分的学生频率为0.2，所以成绩在75.5分～80.5分的学生频率为0.1；
成绩在80.5分～85.5分的学生占80.5分～90.5分的学生的，因为成绩在80.5分～90.5分的学生频率为0.32，所以成绩在80.5分～85.5分的学生频率为0.16.所以成绩在75.5分～85.5分的学生频率为0.26，由于有900名学生参加了这次竞赛，
所以该校获得二等奖的学生约为0.26×900＝234(人)．
11．有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：[－20，－15)，7；[－15，－10)，11；[－10，－5)，15；[－5,0)，40；[0,5)，49；[5,10)，41；[10,15)，20；[15,20]，17.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率折线图；
(3)求样本数据不足0的频率．
【解】　(1)频率分布表为：
数据分组(Δxi)
频数(ni)
频率(fi)
[－20，－15)
7
0.035
0.007
[－15，－10)
11
0.055
0.011
[－10，－5)
15
0.075
0.015
[－5,0)
40
0.200
0.040
[0,5)
49
0.245
0.049
[5,10)
41
0.205
0.041
[10,15)
20
0.100
0.020
[15,20]
17
0.085
0.017
(2)频率分布直方图和频率折线图如图所示：
(3)样本数据不足0的频率为＝0.365.

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