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3.3勾股定理的简单应用苏科版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员向边线传球，传球落点在边线上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员，图中四边形为直角梯形，，，，则两次传球中足球飞过的最短路径为( )
A. B. C. D.
2.如图是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为、、，现有一长为的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，那么梯子顶端到地面的距离为由以上信息可知小巷的宽为( )
A. B. C. D.
4.九章算术是古代东方数学代表作，书中记载：“今有开门去阃读，门槛的意思一尺，不合二寸，问门广几何？”题目大意是：如图、图图为图的平面示意图，推开双门，双门间隙的距离为寸，，两点到门槛的距离都为尺尺寸，则的长是( )
A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸
5.如图，有一个由传感器控制的灯，装在门上方离地的墙上，任何物体只要移至该灯及以内的位置时，灯就会自动亮起若一名身高的学生正对着门从远处走来，当灯刚好亮起时，他与门之间的距离为( )
A. B. C. D.
6.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是( )
A. B. C. D.
7.如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
8.如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等则候车点应距点( )
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
9.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
10.如图，长为的橡皮筋放置在地面上，固定两端点和，然后把中点向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了( )
A. B. C. D.
11.中国结寓意团圆、美满，在我们甘肃，很多家庭都喜欢用中国结来装饰家居小南家就有一个菱形中国结装饰，这个中国结的纺织花纹融合了甘肃传统图案特色，像是敦煌壁画中的某些元素等图示为其简化示意图，测得，，于点，则的长为( )
A. B. C. D.
12.九章算术中有一道“折竹抵地”的问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺问折高者几何？其意思是：一根竹子，原来高一丈一丈为尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，那么折断处离地面的高度是( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是 ．
14.如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落书柜、衣柜与地面均无缝隙在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的至少为 ．
15.
图是一个圆柱，它的高为，底面周长为如果一只蚂蚁从圆柱下底面的点处沿圆柱的侧面爬到与点相对的上底面的点处，然后爬回点处，那么蚂蚁爬行的最短路程为 ；
如图，已知长方体的长，宽，高一只蚂蚁如果沿长方体的表面从点爬到点，那么需要爬行的最短距离为 ．
16.水池中有一根芦苇，长在离岸边远的水底，直立时，芦苇高出水面，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，已知是边上的中线，若，，，求的面积．
18.本小题分
如图，点处的居民楼与马路相距，当居民楼与马路上行驶的汽车距离小于时就会受到噪声污染如果汽车以的速度行驶经过，那么会给这栋居民楼带来多长时间的噪声污染
19.本小题分
拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松如图，一个某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，点到地面的距离，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移到处，求拉杆把手离地面的距离假设点的位置保持不变．
20.本小题分
金秋十月，某校体育运动会顺利举行，运动员们在赛场上奋力拼搏，老师们全力提供服务保障．如图，过道上，两点相距，，为两个班级，于点，于点，为方便同学们接取饮用水，现要在过道上临时设立一个饮水站，使得，两个班级到站的距离相等．
请用直尺不带刻度和圆规画出饮水站的位置；不要求写作法，但要保留作图痕迹
已知，，求饮水站到点的距离．
21.本小题分
如图，一个牧童在小河南面的点处牧马，此时他正位于他的小屋的西面、北面处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回到小屋，则他要走的最短路程是多少？
22.本小题分
九章算术中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺如果把该芦苇沿与池塘边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的处如图水深和芦苇长各多少尺？
23.本小题分
如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点处时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点处时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点处时的水平距离，求钟摆的长度．
24.本小题分
小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
25.本小题分
同学们想测量旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：如图，测量出绳子垂直落地后还剩余；如图，把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离．
小亮：如图，先在旗杆底端的绳子上打一个结，然后举起绳结拉到点处，过点作于点，．
请你按小明的方案求出旗杆的高度．
已知小亮举起绳结离旗杆的距离，求此时绳结到地面的高度．
答案和解析
1.【答案】
【解析】如图，作点关于的对称点，连接交于点，
连接，过点作于点，，，
，，，
两次传球中足球飞过的最短路径长等于，依题意得，
，．
，．
又，，．
又，，即两次传球中足球飞过的最短路径为．
故选B．
2.【答案】
【解析】当吸管放进盒里垂直于底面时，露在盒外的长度最长，
最长为；
露出部分最短时吸管与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线为，高为，由勾股定理易得盒里面吸管长为，
则露在盒外的长度为，
则可得吸管露在盒外的部分的取值范围是故选B．
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】提示：设寸．过点作于点，则寸，寸，寸．在中，由勾股定理，得，即，解得故的长是寸．
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】设，则，然后根据勾股定理得到方程，解方程即得答案．
【详解】解：设，则，，
在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，
即绳索的长是；
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．在中，根据勾股定理得出：，即大正方形的面积是，再根据勾股定理可得阴影部分的两个小正方形的边长的平方和等于斜边的平方，即两个小正方形的面积和也是，即可得到答案．
【解答】
解：如图，
在中，
根据勾股定理得出：，
，
在中，
，
阴影部分面积是：
，
故选A．
8.【答案】
【解析】解：设千米，则千米，
，，，两村到候车点的距离相等，
，
故，
解得：，
则候车点应距点千米．
9.【答案】
【解析】【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论．
【解答】解：如图，在中，
，米，米，
．
在中，
，米，，
，，米，
米．
故选C．
10.【答案】
【解析】解：由题意得：为等腰三角形，，
为中点，，
，
，
橡皮筋被拉长了：．
故选：．
根据等腰三角形的性质，利用勾股定理求出腰长，再用两腰长之和减去的长即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，，
，，
，
，
菱形的面积，
，
．
故选：．
由菱形的性质推出，，，由勾股定理求出，由菱形的面积公式得到，即可求出的长．
本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是由菱形的面积公式得到．
12.【答案】
【解析】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：．
解得：，
折断处离地面的高度为尺，
故选：．
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
13.【答案】
【解析】如图，过点作，设火车行驶到点处时，点处开始受噪音影响，火车行驶到点处时，点处开始不受噪音影响，则，，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是，，由勾股定理得，又，，处受噪音影响的时间为．
14.【答案】
【解析】提示：由题意，得，解得或因为，所以图中的至少为．
15.【答案】【小题】
【小题】

【解析】
把圆柱的侧面展开，展开图如图所示，
易知，，，
在中，由勾股定理得，
蚂蚁爬行的最短路程为故填．

根据题意，画出示意图如图所示，可能的路径有三种情况：
把正面、右面展开，得图，；
把正面、上面展开，得图，；
把左面、上面展开，得图，．
，故最短路径应为图所示，且最短路程是．
16.【答案】
【解析】解：设水的深度为，则芦苇的长度为，
由题意可得，，
解得，
水的深度为，
故答案为：．
设水的深度为，则芦苇的长度为，根据题意，可得方程，解方程即可求解．
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
17.【答案】解：是边上的中线，，，，，是直角三角形且 如图，过点作，垂足为，，，， 即的面积为．

【解析】略
18.【答案】如图，连接、根据题意可知，，，，是等腰三角形，在中，由勾股定理得，，故会给这栋居民楼带来噪声污染的时长为答：会给这栋居民楼带来的噪声污染．

【解析】略
19.【答案】如图所示，过作于，延长交于，则．
设，则由题可得，，．
在中，在中，，
，解得，．
由勾股定理得，，．
又，，
拉杆把手离地面的距离为．

【解析】略
20.【答案】【小题】
如图，点即为所求．
【小题】
由题意，得．
设，则．
，，．
在中，由勾股定理，得．
在中，由勾股定理，得．
，，
即，解得，．
答：饮水站到点的距离为．

【解析】 略
略
21.【答案】解：设小河南岸所在直线为，作出点关于的对称点，连接交于点，则就是最短路程．在中，由勾股定理，得，所以答：他要走的最短路程是．
【解析】略
22.【答案】设水深尺，则芦苇长尺
芦苇生长在底边长为尺的正方形池塘的中央，尺．
在中，，，解得，
水深为尺，芦苇长为尺．

【解析】略
23.【答案】解：由题意，得设，则因为，所以，即，解得答：钟摆的长度为．
【解析】略
24.【答案】
【解析】略
25.【答案】【小题】
解：设旗杆的高度为，则绳子的长度在中，由勾股定理，得，解得．
答：旗杆的高度为．
【小题】
由可知，在中，由勾股定理，得，所以．
答：此时绳结到地面的高度为．

【解析】 略
略
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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