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6．3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
平面向量基本定理
1．定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝　　　　．其实就是向量分解，平行四边形法则的逆运算．
2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内________的一个基底．
【微点拨】
(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
(2)基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值．
(3){e1，e2}是表示同一平面内所有向量的一个基底，则当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0.
(4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
【即时练习】　
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)只有非零向量才能用平面内的一个基底{e1，e2}线性表示．(　　)
(2)同一向量用两组不同的基底表示时，表示方法是相同的．(　　)
(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这个基底唯一表示．(　　)
2．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．
6．3.2～6.3.3　平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示
一、平面向量的正交分解及坐标表示
1．向量的正交分解
把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量作正交分解．
2．向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个________分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对________叫做向量a的坐标，记作a＝________，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．向量a的坐标(x，y)可以看作是向量x的缩写．
3．向量与坐标的关系
设＝xi＋yj，则向量的坐标________就是终点A的坐标；反过来，终点A的________(x，y)就是向量的坐标．
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是________的．平面向量与有序实数对的一一对应关系．
【微点拨】
(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(3)向量的坐标只与向量的起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
(4)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
【即时练习】　
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　)
(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　)
(3)在平面直角坐标系中，两个相等向量的坐标相同．(　　)
(4)点的坐标与向量的坐标相同．(　　)
2．平面直角坐标系中，的坐标(　　)
A．与点B的坐标相同
B．与点B的坐标不相同
C．当A与原点O重合时，与点B的坐标相同
D．当B与原点O重合时，与点A的坐标相同
二、平面向量加、减运算的坐标表示
1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
符号表示
向量加法 a＋b＝________________
向量减法 a－b＝________________
2.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝________________．
【微点拨】
(1)在求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再用终点坐标减去起点坐标即可得到该向量的坐标．
(2)求一个点的坐标时，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
【即时练习】　
1．在平面直角坐标系中，若点A(0，1)，B(－1，2)，则的坐标为(　　)
A．(－1，1)　　　　B．(1，1)　　　　C．(－1，2)　　　　D．(－1，3)
2．已知向量a＝(0，3)，b＝(4，1)，则a＋b的坐标是________．
6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
一、平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝____________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的____________．
【即时练习】　已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－3b＝(　　)
A．(5，7) B．(5，9) C．(7，5) D．(9，5)
二、平面向量共线的坐标表示
向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)共线的充要条件是　　　　　　．异名坐标乘积的差为0.
【微点拨】
两个向量共线条件的三种表示方法：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当b≠0时，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，，即两向量的相应坐标成比例．
【即时练习】　下列向量与a＝(1，3)共线的是(　　)
A．(1，2) B．(－1，3) C．(1，－3) D．(2，6)
三、定比分点坐标表示
若线段P1P2的端点P1，P2坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上的一点，则当时，点P的坐标为(λ≠－1)．λ为点P分有向线段所成的比．
当λ＝1时，点P的坐标为，即P为线段P1P2的中点．
【即时练习】　已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为________．
6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
1.平面向量数量积的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积 a·b＝　　　　同名坐标之积的和．
向量垂直 a⊥b 　　　　将向量之间的垂直关系与坐标代数运算建立联系．
2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝________．
3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝________．
4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b 夹角为θ，则cos θ＝________________．
【微点拨】
(1)公式a·b＝|a||b|cos θ与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
(2)已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：a∥b x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；a⊥b x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．
(3)与向量a同向的单位向量的坐标表示：因为与向量a同向的单位向量a0＝，若a＝(x，y)则|a|＝，所以a0＝(x，y)＝，此式为与向量a＝(x，y)同向的单位向量的坐标表示．
【即时练习】　
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)向量的模等于向量坐标的平方和．(　　)
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2－y1y2＝0.(　　)
(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．(　　)
2．已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b＝(　　)
A．23　　　 　　　　　B．7
C．－23　　　 　　　　　D．－7
3．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x＝________.
6．3　平面向量基本定理及坐标表示
6．3.1　平面向量基本定理
1．不共线　　λ1e1＋λ2e2
2．所有向量
[即时练习]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由图可知{e1，e2 }为平面内的一个正交单位基底，A点在e1方向有4个单位，在方向有3个单位，所以＝4e1＋3e2.
答案：4e1＋3e2
6．3.2～6.3.3　平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量加、减运算的坐标表示
一、
1．互相垂直
2．单位向量　(x，y)　(x，y)
3．(x，y)　坐标　一一对应
[即时练习]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：A：仅当点A与原点重合时，向量与点B的坐标相同，错误；B：只有当点A不与原点重合时，向量与点B的坐标不相同，错误；C：如A中描述，正确；D：当B与原点O重合时，的坐标值与A的对应坐标值互为相反数，错误．故选C.
答案：C
二、
1．(x1＋x2，y1＋y2)　(x1－x2，y1－y2)
2．(x2－x1，y2－y1)
[即时练习]
1．解析：由题意，＝(－1－0，2－1)＝(－1，1)．故选A.
答案：A
2．解析：a＋b＝(0，3)＋(4，1)＝(4，4)．
答案：(4，4)
6．3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
一、
(λx，λy)　相应坐标
[即时练习]
解析：2a－3b＝2(2，4)－3(－1，1)＝(4，8)－(－3，3)＝(7，5)．故选C.
答案：C
二、
x1y2－x2y1＝0
[即时练习]
解析：A，1×2－3×1≠0，则不符合题意；B，1×3－3×(－1)≠0，则不符合题意；C，1×(－3)－3×1≠0，则不符合题意；D，1×6－3×2＝0，则向量(1，3)与向量(2，6)共线．
答案：D
三、
[即时练习]
解析：由中点坐标公式得x＝＝3，故PQ的中点坐标为(－1，3)．
答案：(－1，3)
6．3.5　平面向量数量积的坐标表示
1．x1x2＋y1y2　x1x2＋y1y2＝0
2．
3．
4．
[即时练习]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：由数量积的计算公式得a·b＝(－3，4)·(5，2)＝－3×5＋4×2＝－7.故选D.
答案：D
3．解析：由题意，a·b＝(－2，1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.
答案：－1

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