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6．4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理
余弦定理
1．余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于________________减去这两边与它们______________的两倍，即a2＝　　　　　　　，b2＝______________，c2＝______________．　每一组三个公式只需重点记住第一个，按规律依次轮换得后两个．
2．余弦定理的推论
cos A＝________________ ，
cos B＝________________，
cos C＝________________．
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
【微点拨】
(1)余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量．
(3)余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．
【即时练习】　
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．(　　)
(2)余弦定理只适用于锐角三角形．(　　)
(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(　　)
(4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　)
2．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝，则c＝(　　)
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
6．4.3　第2课时　正弦定理
正弦定理
1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的　　　　的比相等，即＝________＝________＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．三边和所对角的正弦值对应成比例．　　　　　　　　
2．正弦定理的常见变形
a＝2R sin A，b＝　　 　　，c＝　　 　　，sin A＝，sin B＝　　 　　，sin C＝　　 　　，a∶b∶c＝______________，＝2R. 实现边角关系的相互转化．
【微点拨】
(1)正弦定理对任意三角形都适用．
(2)正弦定理中的比值是一个定值，它的几何意义为三角形外接圆的直径．
【即时练习】　
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在△ABC中必有a sin A＝b sin B．(　　)
(2)在△ABC中，若a＞b，则必有sin A>sin B．(　　)
(3)在△ABC中，若sin A＝sin B，则必有A＝B.(　　)
2．在△ABC中，A＝，则B＝(　　)
A．　　　　　　　　　　　　　B．
C．或 D．
3．在△ABC中，已知b＝6，A＝45°，C＝75°，则a＝________.
6．4.3　第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例
一、实际测量中的有关名称、术语
名称 定义 图示
仰角 在视线和水平线所成的角中，________________的角称为仰角
俯角 在视线和水平线所成的角中，________________的角称为俯角
方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60°
方位角 从正北的方向线按____时针到目标方向线所转过的水平角
二、解三角形在实际测量中的常见问题　一般要把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，利用正弦、余弦定理求解．
1．
2．高度问题
3．角度问题
测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要得出所求的角．
【即时练习】　
1．在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是(　　)千米．
A．　　　　　　B．　　　　　　C．6　　　　　　D．2
2．已知A船在灯塔C北偏东85°且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西65°且B到C的距离为 km，则A，B两船的距离为________．
6．4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理
1．其他两边平方的和　夹角的余弦的积　b2＋c2－2bc cos A　c2＋a2－2ca cos B　a2＋b2－2ab cos C
2．
[即时练习]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由余弦定理可得c2＝12＋22－2×1×2·cos ＝7，所以c＝.
答案：D
第2课时　正弦定理
1．正弦　
2．2R sin B　2R sin C　 　 sin A∶sin B∶sin C
[即时练习]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．解析：由正弦定理，得，sin B＝1，
由于0答案：D
3．解析：因为A＝45°，C＝75°，所以B＝180°－45°－75°＝60°，
因此由正弦定理可知 a＝2.
答案：2
第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例
一、
视线在水平线上方　视线在水平线下方　顺
[即时练习]
1．解析：∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝45°，
由正弦定理，即，
解得AC＝.故选B.
答案：B
2．解析：由题意得∠ACB＝65°＋85°＝150°，又AC＝2，BC＝，
由余弦定理得AB2＝AC　2＋BC　2－2AC·BC·cos 150°＝4＋3－2×2×＝13，所以AB＝ km.
答案： km

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