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第二十二章二次函数典型例题与易错题精练-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．把抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位后，得到的抛物线是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知两点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点．若 ，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内只有一个实数根，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
5．抛物线如图所示，则点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．顶点坐标为 B．函数的最大值为
C．当时，随的增大而减小 D．若，则
7．已知点和点均在抛物线上，当时，等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．抛物线解析式为 ，则该抛物线的顶点坐标为 ．
10．如果函数是二次函数，则m的取值范围是
11．已知抛物线，当时，的值恒大于等于．则的取值范围为 ．
12．如图，点A在y轴正半轴上，点B、C在二次函数的图像上，四边形是菱形，， 则菱形的面积为 ．
13．如图，抛物线与x轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C，D点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点D的坐标为 ．
14．若二次函数的图象经过点，则代数式的值为 ．
15．有一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．棚顶的竖直高度（单位：m）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：m）近似满足函数关系，如图，这是其函数图象，点在图象上，点的横坐标为6．若一辆货车打算在停车棚下避雨，将货车截面看作一个长，高的矩形，则可判定货车 （填“能”或“不能”）完全停到车棚内．
16．某汽车在刹车后行驶的距离s（米）与时间t（秒）之间的部分数据如下表：
时间t/秒 0 1 ．．
行驶的距离s/米 0 10
假设这种变化规律一直延续到汽车停止，如果选择用二次函数表示s（米）与t（秒）之间的关系．
（1）其函数表达式为 ；
（2）刹车后汽车行驶了 米才停止．
三、解答题
17．已知二次函数；
(1)把该二次函数化成的形式．
(2)当取何值时，随的增大而增大？
18．如图，抛物线经过点，，．
(1)在y轴上取一点P，使得，写出点P的坐标；
(2)在（1）的条件下，求直线与抛物线L的交点D的坐标．
19．某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种商品每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
20．已知抛物线：的顶点横坐标与抛物线：的顶点横坐标互为相反数．
(1)求的值；
(2)点在抛物线上，点在抛物线上，
（ⅰ）若，且直线与抛物线、均只有一个交点，求直线的表达式；
（ⅱ）若，求的最小值．
21．如图，抛物线交x轴于O，两点，顶点为，点C为的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．连接，，求的最小值．
拓展设问 如图，过点C作轴，交抛物线于点E，在抛物线对称轴上找一点M，使的值最大，请求出点M的坐标及这个最大值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B A B D B D
1．B
【分析】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标；根据二次函数的顶点式，顶点坐标为，即可解答．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查二次函数图象的平移，首先抛物线平移时不改变a的值，其中点的坐标平移规律是上加下减，左加右减，利用这个规律即可得到所求抛物线的解析式．
【详解】解：把抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位后，得到的抛物线是，
故选：A．
3．B
【分析】】本题考查了二次函数性质，主要利用了二次函数的增减性以及对称轴，判断出抛物线开口向上是解题的关键．先判断出抛物线开口向上，再根据二次函数的增减性作出判断即可．
【详解】解：∵点是该抛物线的顶点，，
∴抛物线有最小值，开口向上，
∵，，，
∴点到对称轴的距离比点到对称轴的距离大，
∴，
平方得，
解得．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点及交点与一元二次方程的实数根的关系，明确二次函数的相关性质是解题的关键．
根据二次函数的对称轴求得b值，从而得出函数的解析式，将一元二次方程为实数)在的范围内有实数根可以看做与函数有交点，再由时的临界函数值及对称轴处的函数值得出的取值范围即可．
【详解】∵抛物线 的对称轴为直线 ，
解得：，
，
∴一元二次方程 有实数根可以看做与函数有交点，
∵方程 (t为实数) 在的范围内只有一个实数根，
当时，；
当时，；
当时，，只有唯一交点；
∴的取值范围是或，
故选: A．
5．B
【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键，根据二次函数的图象判断、、的符号，再判断点所在的象限．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴，
∴，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴，
∴
∴点在第二象限．
故选：．
6．D
【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．先利用配方法得到，可根据二次函数的性质进行判断．
【详解】解：，
抛物线顶点坐标为，
抛物线的开口向上，顶点坐标为，函数的最小值为，抛物线的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
若，则，
选项A，B，C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意，
故选：D
7．B
【分析】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质，理解点A与点B的位置关系是解题的关键．
根据点A与点B的纵坐标相同可得点A，B关于抛物线的对称轴对称，从而得到，进而即可解答．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为，
∵点和点在抛物线上，
∴点A，B关于抛物线的对称轴对称，
∴，
当时，．
故选：B
8．D
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案．
【详解】解：由题意得，点A的横坐标为，
在中，当时，，
∴，
∴点C的纵坐标为，
在中，当时，解得或，
∴，
∴，
故选：D．
9．
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式的顶点坐标为是解题关键．根据顶点式直接作答即可．
【详解】解：抛物线解析式为，
该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：
10．
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义：形如，，为常数且，可得且，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
且，
且，
，
故答案为：
11．
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，解一元一次不等式，根据题意，确定函数图象的开口和对称轴，分类讨论：；；根据函数最值的计算方法即可求解．
【详解】解：已知抛物线，则，对称轴为，
∴抛物线开口向下，
当时，在内，时，抛物线取到最小值，
∴最小值为：，
解得，；
∴；
当时，在内，时，抛物线取到最小值，
∴最小值为：，
解得，，
∴；
综上所述，的取值范围为，
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查了菱形的性质，菱形面积，二次函数图象上点的坐标特征．连接交于D，如图，根据菱形的性质得，，利用含30度的直角三角形三边的关系，设，则，，利用二次函数图象上点的坐标特征得，解得（舍去），，则，，然后根据菱形性质得，，再利用菱形面积公式计算即可．
【详解】解：连接交于D，如图，
∵四边形为菱形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
把代入得，
解得（舍去），
∴，，
∴，，
∴菱形的面积．
故答案为：．
13．
【分析】取点A关于y轴的对称点E，连接，则，由抛物线的解析式求得A、B、C的坐标，进而得到点E坐标，利用勾股定理的逆定理证得，即可得出，由，得出，D、C、E三点共线，利用待定系数法求得直线的解析式，与二次函数解析式联立，解方程组即可求得D的坐标．
【详解】取点A关于y轴的对称点E，连接，
则，
当时，或，
当时，，
∴，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴D、C、E三点共线，
设直线解析式为，
则，
解得，，
∴，
联立，
得，
解得，或（舍去），
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与三角形综合．熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，勾股定理的逆定理判断直角三角形，轴对称性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，是解决问题的关键．
14．
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，把点代入函数解析式中即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．不能
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当时，y的值，若此时y的值大于，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．
【详解】解：在中，当时，
，
∴，
∵，
∴，
在中，当时，
，
∵，
∴可判定货车不能完全停到车棚内，
故答案为：不能．
16．
【分析】本题考查了二次函数的应用，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质并能结合实际意义比较刹车时的平均速度的大小．
（1）设出二次函数解析式，把3个点的坐标代入可得二次函数解析式，进而再把其余的点代入验证是否在二次函数上；
（2）汽车在刹车时间最长时停止，利用公式法，结合（1）得到的函数解析式，求得相应的最值即可；
【详解】解：（1）设二次函数的解析式为：，
∵抛物线经过点，
，
又由点可得：，
解得：；
∴二次函数的解析式为：；
经检验，其余各点均在上．
（2）解：汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离，
当时，滑行距离最大，，
即刹车后汽车行驶了米才停止．
故答案为：；．
17．(1)
(2)当时，随的增大而增大
【分析】本题考查二次函数顶点式的转化方法，二次函数图像的性质，
（1）根据配方法，可以将函数解析式化为顶点式；
（2）根据（1）中的顶点式和二次函数的性质，即可得解；
解题的关键是掌握二次函数解析式的三种表示形式：（1）一般式：（，、、为常数）；（2）顶点式：，其中为抛物线的顶点坐标；（3）交点式：（抛物线与轴的交点的横坐标分别为、）．
【详解】（1）解：，
∴把该二次函数化成的形式为：；
（2）解：根据（1）可知，的图像开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大．
18．(1)或；
(2)或
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定和性质等知识．
（1）分两种情况，利用全等三角形的判定和性质即可求出答案；
（2）分别求出直线的解析式和直线的解析式，分别与二次函数解析式联立，求出交点坐标即可．
【详解】（1）解：①在y轴正半轴上取一点P，使得，如解图，
∵，．
∴，
∵，，
∴，
点P的坐标为；
②在y轴负半轴上取一点，使得，如解图，
同理可证，，
，
∴.点的坐标为.
综上所述，点P的坐标为或；
（2）如解图，设直线的解析式为，
由点B、P的坐标可得
则
解得
∴直线的解析式为，
同理可得，直线的解析式为，，
当时，
解得（舍去）或，
当时，，
点D的坐标为，
当时，
解得（舍去）或，
则
点的坐标为.
综上所述，点D的坐标为或.
19．(1)
(2)该商品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
(3)售价应定为每千克25元
【分析】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，根据条件得出函数解析式或方程是解题的关键．
（1）根据利润销量一件的利润列出关系式即可；
（2）把函数关系式化成顶点式求解即可；
（3）把代入关系式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∴w与x之间的函数解析式为；
（2）解：由（1）得：，
∵，
∴当时，w有最大值，且最大值为；
∴该商品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
（3）解：当时，可得，
解得：，
∵，
∴舍去，
∴该农户想要每天获得150元的销售利润，售价应定为每千克25元．
20．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据抛物线的解析式得到顶点坐标，从而得到抛物线的顶点横坐标，根据抛物线顶点的坐标公式即可求解；
（2）（i）设过点，的直线的解析式为，把点A、B的坐标代入，可得，根据直线与抛物线：只有一个交点，得到方程中，求出h的值，从而得到直线的解析式，证明直线与抛物线只有一个交点即可得到所得直线的表达式为所求；
（ii）把点A、B的坐标分别代入抛物线和中，得到，将代入后，根据二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点横坐标与抛物线的顶点横坐标互为相反数，
∴抛物线：的顶点横坐标为，
∴，
∴；
（2）解：（ⅰ）设过点，的直线的解析式为，
∴，
两式相减，得，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线与抛物线：只有一个交点，
∴在方程，即中，
解得，
∴直线的解析式为，
由直线：与抛物线：，
得，
整理，得，
∵，
∴直线：与抛物线：只有一个交点，满足题意．
∴直线的表达式为．
（ii）∵点在抛物线：上，
∴，
∵点在抛物线：上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，为．
21．（1）；（2）；拓展设问：，
【分析】（1）直接利用待定系数法求解，即可得到抛物线的表达式；
（2）根据线段中点的特点得到点C，设点，利用平行四边形特点得到点，过点B作直线轴，作点F关于直线l的对称点，连接，利用三角形三边关系可推出当D，B，三点共线时，的值最小为，利用勾股定理求解，即可解题；
拓展设问：根据题画出草图，并利用抛物线解析式推出点E的坐标，利用对称和三角形三边关系得到当O，E，M三点共线时，值最大，且的最大值为的长，利用勾股定理算出，再根据点E的坐标得到直线的表达式，进而求得点M的坐标，即可解题．
【详解】解：（1）抛物线的顶点为，
，
将点A的坐标代入解析式得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）点C为的中点，
中点坐标式得C，
设点，
四边形为平行四边形，
则点，
如图，过点B作直线轴，作点F关于直线l的对称点，连接，
则，
当D，B，三点共线时，的值最小，
则的最小值为．
拓展设问：
解：根据题意，作图如下：
由（2）知点C横坐标为，代入，得，
点E的坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
O点和A点关于直线对称，
，
，
当O，E，M三点共线时，即式子取等号，值最大，
的最大值为的长，
∴，
直线的表达式为，
∴当时，，此时点M的坐标为，
点M的坐标为时，的值最大，最大值为．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，坐标与图形，三角形三边关系，平行四边形性质，轴对称性质，勾股定理，线段中点坐标，解题的关键在于利用轴对称和三角形三边关系找出线段和差的最大最小值情况．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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