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8.5.2　直线与平面平行
【课标要求】　1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理，并会证明性质定理.2.会应用直线与平面平行的判定定理与性质定理证明一些空间的简单线面关系．
【导学】
学习目标一　直线与平面平行的判定定理
　师问：门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面(墙面)存在不变的位置关系．
(1)这个问题中存在着不变的位置关系是指什么？
(2)若判断直线与平面平行，由这个问题你能得出一种证明方法吗？
生答：
例1 在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别是AA1，B1C1的中点，AA1＝2，AC＝BC＝1，AB＝.
求证：A1E∥平面C1BD.
应用判定定理证明线面平行的步骤
“找”是证题的关键，其常用方法有：
(1)空间直线平行关系的传递性法；(2)三角形中位线法；(3)平行四边形法；(4)成比例线段法．
跟踪训练1　如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E是PB的中点．
求证：PD∥平面EAC.
学习目标二　直线与平面平行的性质定理
师问：已知直线a与平面α平行，则直线a与平面α内的任一直线b有哪些位置关系？在什么条件下a与b平行？
生答：
例2 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形．
总结：运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．
跟踪训练2　如图，E，F分别是空间四边形ABCD中边BC和AD的中点，过EF平行于AB的平面与AC交于点G.求证：G是AC中点．
学习目标三　直线与平面平行的判定定理与性质
定理的综合应用
例3 如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
总结：判定和性质之间的推理关系是由线线平行 线面平行 线线平行，既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空间与平面之间的相互转化．
跟踪训练3　如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证：PA∥平面BDE；
(2)求证：F为PD的中点．
【导练】
1．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．在平面α内 D．平行或在平面α内
2．如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是(　　)
A．相交 B．b∥α
C．b α D．b∥α或b α
3．如图，在三棱锥S ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　　)
A．EF与BC相交
B．EF∥BC
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
4．如图所示，直线a∥平面α，点A 平面α，并且直线a和点A位于平面α两侧，点B，C，D∈a，AB，AC，AD分别交平面α于点E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________．
【导思】
如图，长方体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝4，点P在棱AA1上，且AP＝1，若EF∥平面PBD，则CF＝________．
8．5.2　直线与平面平行
导　学
学习目标一　生答：(1)平行．
(2)可以，只需在平面内找一条与平面外直线平行的直线即可．
例1　证明：
连接B1C交BC1于点F，连接DF，EF，
∵E，F分别是B1C1，BC1的中点，
∴EF∥BB1，EF＝1，
∵A1D∥BB1，A1D＝1，
∴EF∥A1D，EF＝A1D，
即四边形A1DFE是平行四边形，
∴A1E∥DF，
∵A1E 平面C1BD，DF 平面C1BD，
∴A1E∥平面C1BD.
跟踪训练1　证明：
连接BD交AC于点O，连接EO.
显然，O为BD的中点，又因为E为PB的中点，所以EO∥PD.又因为PD 平面EAC，EO 平面EAC，所以PD∥平面EAC.
学习目标二　生答：平行或异面．当a与b不异面，即在同一个平面内时平行．
例2　证明：因为AB∥平面MNPQ，
平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB 平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理，AB∥PQ，
所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ为平行四边形．
跟踪训练2　证明：由已知可得，AB∥平面EFG，
又AB 平面ABC，平面ABC∩平面EFG＝EG，
所以AB∥EG.
又因为点E是BC的中点，所以G是AC的中点．
学习目标三　
例3　
证明：如图，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
又M是PC的中点，
∴AP∥OM.
又AP 平面BDM，OM 平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，
∴AP∥GH.
跟踪训练3　证明：(1)如图所示：
连接AC交BD于点G，连接GE，
因为ABCD为平行四边形，
所以G为AC的中点，又E为PC的中点，
所以GE∥PA，又PA 平面BDE，GE 平面BDE，
所以PA∥平面BDE.
(2)因为底面ABCD为平行四边形，
所以AB∥CD，
又 AB 平面ABEF, CD 平面ABEF，
所以 CD∥平面ABEF，又CD 平面PDC，平面ABEF∩平面PDC＝EF，
所以CD∥EF，
又因为E 为PC的中点，
所以F为PD的中点．
导　练
1．解析：在旋转过程中，CD∥AB，易得CD∥α或CD α.故选D.
答案：D
2．解析：由a∥b，且a∥α，知b∥α或b α.故选D.
答案：D
3．解析：因为平面SBC∩平面ABC＝BC，又因为EF∥平面ABC，EF 平面SBC，所以EF∥BC.故选B.
答案：B
4．解析：因为直线a∥平面α，点B，C，D∈a，平面ABD平面α＝EG，所以BD∥EG，
所以＝＝，
所以EG＝·BD＝×4＝.
答案：
导　思
解析：由题意可知，长方体ABCD A1B1C1D1的高为4，底面ABCD是边长为1的正方形，连接AC交BD于O，连接PO.
因为EF∥平面PBD，EF 平面EACF，平面EACF∩平面PBD＝PO，所以EF∥PO.
在PA1上截取PQ，使得PQ＝PA＝1，连接QC，易知O为AC的中点，所以QC∥PO，
所以EF∥QC，又EQ∥FC，所以四边形EQCF是平行四边形，所以QE＝CF.
又AE＋CF＝4，AE＋A1E＝4，所以A1E＝CF＝EQ＝A1Q＝1，所以CF＝1.
答案：1

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