资源简介

8.5.3　平面与平面平行
【课标要求】　1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理、平面与平面平行的性质定理，并加以证明.2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行，能利用性质定理解决一些简单的空间线面位置关系．
【导学】
学习目标一　平面与平面平行的判定定理
　师问：(1)三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
(2)三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
生答：
　
例1 如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别为边AA1，DD1的中点．
证明：平面CFA1∥平面BDE.
总结：利用面面平行的判定定理，关键是在一个平面内找(或作出)两条相交直线与另一个平面平行，在证明时一定要说明两条直线相交．
跟踪训练1　如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
学习目标二　平面与平面平行的性质定理
　师问：(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面吗？
(2)如果两个平面平行，那么分别在两个平面的直线是什么位置关系？
(3)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行吗？
生答：
例2 如图，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
利用平面与平面平行的性质定理
证明两条直线平行的一般步骤
跟踪训练2　如图，已知平面α∥β，P α且P β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
学习目标三　平行关系的综合应用
例3 如图所示，已知点P是 ABCD所在平面外一点，M，N，K分别是AB，PC，PA的中点，平面PBC∩平面APD＝l.
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)直线PB上是否存在点H，使得平面NKH∥平面ABCD？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由；
(3)求证：l∥BC.
常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示．
跟踪训练3　如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，E为侧棱PD的中点，且BC＝2，AD＝4，求证：CE∥平面PAB.
【导练】
1．平面α与平面β平行的条件可以是(　　)
A．α内有无数多条直线与β平行
B．直线a∥α，a∥β
C．直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何直线都与β平行
2．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是(　　)
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面或相交
3．已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝(　　)
A．2∶3 B．2∶5
C．4∶9 D．4∶25
4．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．
【导思】
如图所示，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，Q是侧面BCC1B1内一点，若A1Q∥平面AEF，则线段A1Q长度的最大值与最小值之和为(　　)
A． B．
C． D．
8．5.3　平面与平面平行
导　学
学习目标一　生答：(1)不一定．
(2)一定平行．
例1　证明：∵长方体ABCD A1B1C1D1，
∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，
∵点E，F分别为边AA1，DD1的中点，
∴A1E＝DF，A1E∥DF，
∴四边形A1EDF为平行四边形，
∴A1F∥ED，
又A1F 平面BDE，ED 平面BDE，
∴A1F∥平面BDE.
如图，连接AC交BD于点O，连接EO，
∴点O为AC的中点，
∴EO∥A1C，
又A1C 平面BDE，EO 平面BDE，
∴A1C∥平面BDE.
∵A1C＝A1，且A1C，A1F 平面CFA1，
∴平面CFA1∥平面BDE.
跟踪训练1　证明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP，
又∵BP 平面PBC，NQ 平面PBC，
∴NQ∥平面PBC.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，∴MQ∥BC，
又∵BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
∴MQ∥平面PBC.
又∵MQ＝Q，且MQ，NQ 平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PBC.
学习目标二　生答：(1)一定平行．
(2)平行或异面．
(3)平行．
例2　证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE＝D，DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
跟踪训练2　解析：∵α∥β，平面PCD＝AB，平面PCD＝CD，
∴AB∥CD，可得＝.
∵PA＝6，AC＝9，PD＝8，
∴＝，解得BD＝.
学习目标三　
例3　
证明：(1)取PD中点为F，连接AF，FN.
在△PCD中，FN∥DC，FN＝DC，
在 ABCD中，AM∥CD，AM＝CD，
所以AM∥FN，AM＝FN，即四边形AFNM为平行四边形，
所以AF∥MN，又AF 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
(2)
当H为PB中点时，平面KNH∥平面ABCD.
证明如下：
取PB的中点为H，连接KH，NH，
在△PBC中，HN∥BC，HN 平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以HN∥平面ABCD，同理可证KH∥平面ABCD，
又KH，HN 平面KNH，KH＝H，
所以平面KNH∥平面ABCD.
(3)∵BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，∴BC∥平面PAD，
又∵平面PAD∩平面PBC＝l，BC 平面PBC，∴BC∥l.
跟踪训练3　证明：取AD的中点O，连接OC，OE，如图．
因为E为侧棱PD的中点，所以OE∥PA，OE 平面PAB，PA 平面PAB，
所以OE∥平面PAB.
因为BC＝2，AD＝4，AO＝AD＝2，即AO＝BC，且BC∥AD，
所以四边形ABCO为平行四边形，所以OC∥AB.
又OC 平面PAB，AB 平面PAB，所以OC∥平面PAB.
因为OC＝O，OC 平面OCE，OE 平面OCE，
所以平面OCE∥平面PAB，
因为CE 平面OCE，
所以CE∥平面PAB.
导　练
1．解析：由面面平行的定义知，选D.
答案：D
2．解析：如图①②③所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．
故选D.
答案：D
3．解析：∵平面α∥平面ABC，∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，
∴S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2.
又PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝∶S△ABC＝4∶25.故选D.
答案：D
4．解析：因为平面ABFE∥平面CDHG，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，
所以EF∥HG.
同理EH∥FG.
所以四边形EFGH的形状是平行四边形．
答案：平行四边形
导　思
解析：
如图所示，分别取棱BB1，B1C1的中点M，N，连接MN，BC1，NE，
∵M，N，E，F为所在棱的中点，
∴MN∥BC1，EF∥BC1，
∴MN∥EF，又MN 平面AEF，EF 平面AEF，
∴MN∥平面AEF；
∵AA1∥NE，AA1＝NE，∴四边形AENA1为平行四边形，
∴A1N∥AE，又A1N 平面AEF，AE 平面AEF，
∴A1N∥平面AEF.
又A1N＝N，MN，A1N 平面A1MN，
∴平面A1MN∥平面AEF.
Q是侧面BCC1B1内一点，且A1Q∥平面AEF，
则Q必在线段MN上．
在Rt△A1B1M中，A1M＝＝＝，
同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N＝，
∴△A1MN为等腰三角形．
当Q在MN中点O时A1Q⊥MN，此时A1Q最短，Q位于M，N处时A1Q最长，
A1O＝＝ ＝，
A1M＝A1N＝，
∴线段A1Q长度的最大值与最小值之和为＝.故选C.
答案：C

展开更多......

收起↑