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8.6.1　直线与直线垂直
【课标要求】　1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系.2.掌握两异面直线所成的角的求法．
【导学】
学习目标一　异面直线所成的角
　师问：同学们都知道两条相交直线所成角的大小可以度量，那么两条异面直线所成角的大小该如何定义呢？
生答：
例1 如图所示，在四面体ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角的大小．
【一题多变】　将本例条件“AB＝CD，AB⊥CD”改为“AB＝CD＝2，EF＝”，此时CD和AB所成的角如何？
总结：求两异面直线所成角的一般步骤
(1)找角：根据异面直线所成角的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线所成角的相关角，并加以证明．
(2)求角：解三角形得出．
(3)定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
跟踪训练1　如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，求异面直线EF与GH所成的角．
学习目标二　直线与直线垂直
　师问：根据异面直线所成角的定义，如何定义直线与直线垂直？
生答：
例2 如图，在正三棱柱ABC A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.
总结：要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角．若能证明这个角是直角，即得到两异面直线垂直．
跟踪训练2　空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD.
学习目标三　异面直线所成角的应用
例3 如图，已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1，B，A分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线O1B，O2A所成的角为，求AB的长．
总结：当已知条件中含有异面直线所成角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角，也可能是已知角的补角，应分情况讨论．
跟踪训练3　在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两互相垂直，且AB＝BC＝2，E是AC的中点，异面直线AD与BE所成的角的余弦值为，则四面体的体积为________．
【导练】
1．若空间中的三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　)
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是异面直线 D．一定相交
2．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是(　　)
A．BC1
B．A1D
C．AC
D．BC
3．设a，b，c是直线，则(　　)
A．若a⊥b，c⊥b，则a∥c
B．若a⊥b，c⊥b，则a⊥c
C．若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等
D．若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c是异面直线
4．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________．
【导思】
如图，在四面体A BCD中，AC＝2，BD＝，AC与BD所成的角为45°，M，N分别为AB，CD的中点，则线段MN的长为________．
8．6　空间直线、平面的垂直
8．6.1　直线与直线垂直
导　学
学习目标一　生答：利用等角定理，平移为两相交直线所成的角．
例1　解析：如图，
取BD的中点G，连接EG，FG，
∵E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，
∴EG∥CD，GF∥AB，
且EG＝CD，GF＝AB，
∴EG＝GF，
∴∠EFG或其补角是EF与AB所成的角．
∵AB⊥CD，∴EG⊥GF，
∴∠EGF＝90°，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴∠EFG＝45°，即EF和AB所成的角的大小为45°.
一题多变　解析：∵E，F，G分别是所在棱的中点，
∴GE∥CD，GF∥AB.
∴∠EGF或其补角即为AB与CD所成的角．
由已知可得GE＝GF＝1，又EF＝，
∴由余弦定理得∠EGF＝120°，
∴异面直线AB与CD所成的角为60°.
跟踪训练1　解析：
如图，连接A1B，BC1，A1C1，
由题意知EF∥A1B，GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角是∠A1BC1或其补角．
由正方体性质知△A1BC1是等边三角形，∠A1BC1＝60°，
所以异面直线EF与GH所成的角是60°.
学习目标二　生答：若两条异面直线所成的角为90°，则两条异面直线互相垂直．
例2　
证明：取CC′的中点F，连接EF，BF，
∵E为AC的中点，F为CC′的中点，
∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角∠BEF即为异面直线BE与AC′所成角，且EF＝AC′.
在正三棱柱ABC A′B′C′中，AC′＝2，∴EF＝.
在等边△ABC中，BE＝＝，
在Rt△BCF中，BF＝＝.
在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，
∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.
跟踪训练2　证明：∵点G，E分别是CD，BC的中点，
∴GE∥BD，同理GF∥AC，
∴∠EGF或∠EGF的补角是异面直线AC与BD所成的角．
在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，
满足FG2＋GE2＝EF2，
∴∠FGE＝90°，
即异面直线AC与BD所成的角是90°，
∴AC⊥BD.
学习目标三　
例3　解析：如图，过点A作AD垂直于上底面于点D，则AD是母线，连接DB，
∵O1O2垂直于上下底面，∴AD∥O1O2，AD＝O1O2，
则四边形ADO1O2是平行四边形，O1D∥O2A，
∴O2A与O1B所成的角就是∠BO1D或其补角.
当∠BO1D＝时，△BO1D是等边三角形，BD＝1，
在Rt△ABD中，AB＝＝；
当∠BO1D＝时，在△BO1D中，BD＝2×＝，
在Rt△ABD中，AB＝＝2.
综上，AB＝2或.
跟踪训练3　解析：取CD的中点F，连接BF，EF，如图，
因为E是AC的中点，则EF∥AD，于是∠BEF是异面直线AD与BE所成的角或其补角．
令BD＝a，而AB，BC，BD两两互相垂直，则BF＝CD＝，EF＝AD＝.
在等腰△BEF中，BE＝AC＝，cos ∠BEF＝＝＝，解得a＝4，
显然AB⊥平面BCD，所以四面体的体积为V＝×BC×BD×BA＝×2×2×4＝.
答案：
导　练
1．解析：∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.故选B.
答案：B
2．解析：∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故选C.
答案：C
3．解析：对于A，B，若a⊥b，c⊥b，则a与c可平行，可垂直，所以A，B不正确；对于C，若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等，所以C正确；对于D，若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c可平行、可异面、可相交，所以D不正确．故选C.
答案：C
4．解析：
依题意，得BC∥B1C1，故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角．连接A1B，在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝，故∠A1CB＝60°，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.
答案：60°
导　思
解析：取BC的中点E，连接EM，EN，
∵M，E分别为AB，BC的中点，∴ME∥AC且ME＝AC＝1，
同理可得EN∥BD且EN＝BD＝，
∴∠MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角，则∠MEN＝45°或135°.
在△MEN中，ME＝1，EN＝，
若∠MEN＝45°，由余弦定理可得
MN＝
＝ ＝；
若∠MEN＝135°，由余弦定理可得
MN＝
＝ ＝.
综上所述，MN＝或.
答案：或

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