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第八章　立体几何初步 章末复习课
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考点聚焦
考点一　空间几何体的表面积与体积
1．几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用．
2．通过对空间几何体的表面积与体积的考查，提升学生的数学运算素养．
例1 (1)已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为(　　)
A．3 B．12＋20
C．12＋20 D．48
(2)已知各棱长均相等的正四棱锥P ABCD各顶点都在同一球面上，若该球表面积为8π，则正四棱锥P ABCD的体积为(　　)
A． B．
C．4 D．16
跟踪训练1　(1)已知S，A，B，C是球O表面上不同的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，BC＝，若球O的体积为，则SA＝(　　)
A． B．1
C． D．
(2)已知一个正四棱锥的底面边长为1，高为，则该正四棱锥的表面积为________．
考点二　空间中的平行关系
1．空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．
2．通过线线平行、线面平行、面面平行之间相互转化的考查，提升学生的直观想象和逻辑推理素养．
例2 如图所示的一块正四棱锥P ABCD木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点．
(1)若PM∶MA＝1∶1，要经过点M和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？(请写出必要作图说明)
(2)若PM∶MA＝5∶8，在线段BD上是否存在一点N，使直线MN∥平面PBC？如果不存在，请说明理由，如果存在，求出BN∶ND的值以及线段MN的长．
跟踪训练2　如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，D在线段AC上．
(1)若D是AC中点，求证：AB1∥平面BC1D；
(2)若M为BC的中点，直线AB1∥平面C1DM，求.
考点三　空间中的垂直关系
1．空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直，三种垂直关系是本章学习的核心，学习时要突出三者间的互化意识．如在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．
2．通过线线垂直、线面垂直、面面垂直之间相互转化的考查，提升学生直观想象和逻辑推理素养．
例3 在三棱锥A BCD中，AB＝AD，CB＝CD，O为BD的中点．
(1)证明：BD⊥平面OAC；
(2)若AB＝BC＝BD＝2，平面ABD⊥平面BCD，求点B到平面ACD的距离．
跟踪训练3　如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为CD的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM.点O是线段AM的中点．
(1)求证：平面BDO⊥平面ABCM.
(2)求证：AD⊥BM.
考点四　空间角的计算
1．空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角．
2．通过对空间角的考查，提升学生数学抽象和数学运算素养．
例4 如图，在三棱锥P ACD中，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3.
(1)求证：PA⊥平面PCD；
(2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
跟踪训练4　(多选)已知正方体ABCD A1B1C1D1，则(　　)
A．直线AB1与A1C1所成的角为60°
B．直线AC与B1D1所成的角为60°
C．二面角B AD B1的大小为45°
D．二面角A BD A1的大小为45°
章末复习课
考点聚焦·分类突破
例1　解析：(1)如图，作B1H⊥平面ABCD，B1Q⊥BC，垂足分别为H，Q，连接HQ.
由题可知，HQ＝1，B1H＝3，所以B1Q＝＝，
所以表面积S＝22＋42＋4×(2＋4)＝20＋12.故选B.
(2)
如图，设四棱锥的棱长为a，P在底面ABCD的射影为H，则PH⊥平面ABCD，
且H为AC，BD的交点，且AH＝a，PH＝ ＝a.
由正四棱锥的对称性可知O在直线PH上，
设外接球的半径为R，则其表面积为4πR2＝8π，所以R＝，
则OH＝，故R2＝(a－)2＋(a)2＝2，解得a＝2或a＝0(舍)，故正四棱锥P ABCD的体积为×PH×a2＝.故选A.
答案：(1)B　(2)A
跟踪训练1　解析：
(1)因为SA⊥平面ABC，AB⊥BC，
所以四面体S ABC的外接球半径等于以SA，AB，BC为长宽高的长方体的顶点的外接球，
又球O的体积为，即＝R3，所以R＝1，
所以2R＝＝2，
所以SA＝1.故选B.
(2)如图，四棱锥P ABCD为正四棱锥，高OP＝，底面边长AB＝1.
过点O作OG⊥BC于G，则G是BC的中点，连接PG，于是斜高PG＝ ＝，
所以正四棱锥的表面积S＝1×1＋4××1×＝4.
答案：(1)B　(2)4
例2　解析：(1)
因为PM∶MA＝1∶1，所以M为PA的中点．
作MG∥AD，交PD于G，则G为PD的中点，连接MB，GC，
则GM∥AD，由题意知四边形ABCD为平行四边形，则BC∥AD，
故GM∥BC，即B，M，G，C共面，
故要经过点M和棱BC将木料锯开，在木料表面沿线段BM，MG，GC画线即可．
(2)存在，BN∶ND＝5∶8，MN＝7.说明如下．
假设在线段BD上存在一点N，使直线MN∥平面PBC，
连接AN并延长交BC于E，连接PE.
因为MN∥平面PBC，MN 平面PAE，平面PAE∩平面ABC＝PE，
故MN∥PE，则＝＝.
由题意知四边形ABCD为正方形，故BC∥AD，
则＝＝，即假设成立，
故在线段BD上存在一点N，使直线MN∥平面PBC，此时＝.
由于BC∥AD，AD＝13，故＝＝，故BE＝，
△PBE中∠PBE＝60°，则PE2＝PB2＋BE2－2PB·BE cos 60°＝132＋2－2×13×＝，
即PE＝，而MN∥PE，PM∶MA＝5∶8，
故＝＝，则MN＝＝7.
跟踪训练2　解析：(1)证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD.
∵三棱柱ABC A1B1C1，∴四边形BCC1B1为平行四边形，∴O为B1C的中点，
又∵D为AC的中点，∴OD∥AB1，
∴AB1 平面BC1D，OD 平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.
(2)设B1C交C1M于点E，连接DE.
∵AB1∥平面C1DM，AB1 平面AB1C，平面AB1C∩平面C1DM＝DE，
∴AB1∥DE，∴＝.
又∵四边形BCC1B1为平行四边形，M为BC的中点，
∴＝＝2，∴＝2.
例3　解析：(1)证明：因为AB＝AD，CB＝CD，O为BD的中点，
所以OA⊥BD，OC⊥BD，
又因为OA，OC 平面OAC，OA＝O，
所以BD⊥平面OAC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，OA⊥BD，OA 平面ABD，
所以OA⊥平面BCD.
因为AB＝BC＝BD＝2，所以△ABD，△BCD均为等边三角形，
故AO＝OC＝，所以S△BCD＝BD·OC＝×2×＝，
所以VA BCD＝S△BCD·OA＝＝1.
因为OA⊥平面BCD，OC 平面BCD，
所以OA⊥OC，由勾股定理得AC＝＝＝.
取AC的中点H，连接DH.
在△ACD中，AD＝CD＝2，AC＝，故DH⊥AC，
故DH＝ ＝，
S△ACD＝AC·DH＝＝.
设点B到平面ACD的距离为d，所以d＝1，解得d＝.
跟踪训练3　证明：(1)在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为CD的中点，∴AD＝DM，O是AM的中点，∴DO⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，∴DO⊥平面ABCM.
∵DO 平面BDO，∴平面BDO⊥平面ABCM.
(2)在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为CD的中点，∴AM＝BM＝AD＝AB，则AM2＋BM2＝AB2，∴AM⊥BM.
由(1)知，DO⊥平面ABCM，∵BM 平面ABCM，∴DO⊥BM.
∵DO＝O，DO 平面ADM，AM 平面ADM，∴BM⊥平面ADM，
又∵AD 平面ADM，∴AD⊥BM.
例4　解析：(1)证明：取PC的中点E，连接DE，
∵△PCD为等边三角形，∴DE⊥PC.
又平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，DE 平面PCD，
∴DE⊥平面PAC.
∵PA 平面PAC，∴DE⊥PA.
∵PA⊥CD，DE＝D，DE 平面PCD，CD 平面PCD，
∴PA⊥平面PCD.
(2)
连接AE，由(1)知，DE⊥平面PAC，
AE即为斜线AD在平面PAC上的射影，
∴∠DAE为直线AD与平面PAC所成的角．
在Rt△DEA中，AD＝3，
由CD＝2，则DE＝CD＝，
∴sin ∠DAE＝＝，
∴直线AD与平面PAC所成角的正弦值为.
跟踪训练4　解析：对于A，连接AC，CB1，由正方体的性质知AB1＝B1C＝AC，所以△AB1C为等边三角形，故∠B1AC＝60°，由于A1A∥C1C，A1A＝C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，故∠B1AC＝60°即为直线AB1与A1C1所成的角，故A正确；
对于B，由于B1D1∥BD，而BD⊥AC，所以直线AC与B1D1所成的角为90°，故B错误；
对于C，因为DA⊥平面B1BAA1，AB1 平面B1BAA1，
所以AD⊥AB1，又因为AB⊥DA, 故∠BAB1即为二面角B AD B1的平面角，由于∠BAB1＝45°，故C正确；
对于D，连接A1D，A1B，
设正方体的棱长为2，所以A1D＝BD＝A1B＝2，AO＝，A1O＝，又A1O⊥BD，AO⊥BD，∴∠A1OA为二面角A BD A1的平面角，所以sin ∠A1OA＝＝＝，故D错误．故选AC.
答案：AC

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