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2026届高三微专题10.8 圆锥曲线的综合应用一
1.轨迹问题
通常有以下两类：一类是以定义法、相关点法、待定系数法等为主,难度较低；另一类是综合考查各种方法，难度较高.解题过程注意：
⑴区别“轨迹”、“轨迹方程”：求轨迹方程, 求出方程即可；求轨迹, 求出方程后，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）.
⑵求出方程后，要确定轨迹范围：①准确理解题意,挖掘隐含条件；②列式不改变题意, 并且要全面考虑各种情形；③推理要严密,方程化简要等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合, 查“漏”补“缺”.
2.圆锥曲线中的定点、定值问题
⑴圆锥曲线中的定点问题
求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量当作常数看待，把方程一端化为零，因方程对任意参数都成立，则参数的系数全部等于零，这样就得到一个关于的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明．
⑵圆锥曲线中的定值问题
定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的方 法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
1.【人教A版选择性必修一 习题3.1 第7题 P115】年月日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点月日时，天问一号探测器成功实施捕获轨道远火点椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点平面机动，同时将近火点高度调整至约若此时远火点距离约为，火星半径约为，则调整后天问一号的运行轨迹环火轨道曲线的焦距约为( )
A. B. C. D.
2.【人教A版选择性必修一 复习参考题3 第11题 P146】（多选）已知的两个顶点、的坐标分别是、，且、所在直线的斜率之积等于，则正确的是( )
A. 当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆除去与轴的交点
B. 当时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线除去两个顶点
C. 当时，点在的轨迹为圆除去与轴的交点
D. 当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大
(
考点
一
圆锥曲线中的轨迹方程问题
)【方法储备】
求轨迹方程常用方法：
⑴直接法：如果题且中的条件直明显的等量关系, 或者可以利用平面几何的基本知识推出
等量关系, 求方程时便可利用直接法。
⑵定义法：如果所给几何条件能够确定符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义,则可直接利用曲线定义写出方程.
⑶相关点法：如果动点依赖于另一动点,而又在某一已知曲线上运动,则可先列出关于的方程组,利用表示出,把代入已知曲线方程便可得出动点的轨迹方程,又称为代入法.
⑷参数法：如果采用直接法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立点坐标与该参数的函数关系，进而通过消参化为轨迹的普通方程.
⑸交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用.
⑹几何法: 利用平面几何或解析几何的有关基础知识去分析图形性质, 发现动点运动规律和动点满足的条件, 然后求出动点的轨迹方程.
注意：在处理轨迹问题时, 要特别注意运用平面几何知识, 其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时, 可帮助列式；②简化条件式；③转化化归.
【典例精讲】
例1.(2025·辽宁省沈阳市·模拟题)若圆上恰有三个点到直线的距离为，则动点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
例2.(2025·浙江省·月考试卷)已知点，，设点满足，且为函数图象上的点，则等于 ( )
A. B. C. D.
例3.(2025·广西壮族自治区河池市·模拟题)已知，动点满足，动点满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【拓展提升】
练1-1.(2025·福建省·联考)已知圆，点，点在圆上运动，线段的中垂线与交于点 ，则点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
练1-2.(2024·广东省佛山市期末) 已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点，当点运动时，点的轨迹方程是 ．
练1-3.(2024·湖南省衡阳市模拟题) 点是正方体的侧面内的一个动点，若与的面积之比等于，则点的轨迹是( )
A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分
练1-4. (2025·浙江省绍兴市·模拟题)已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点．
求动点的轨迹的方程；
直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围．
(
考点二 圆锥曲线中的定点、定值问题
)【方法储备】
1.定点问题
⑴参数法：根据题意引入参数，一般为点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等；结合条件，表示出对应的直线方程,或曲线的方程；列出方程组或求出定点坐标.
(2)特殊到一般法：从特殊位置入手，找到定点,再证明该定点与变量无关. 同理，对于定值问题，可以根据特殊情况先找到这个定值，明确了解决问题的目标，然后进行一般情况下的推理证明.
①研究特殊情形从问题的特殊情形出发，如直线的斜率不存在，或直线过原点等，得到目标关系所要探求的定点（定值）；②探究一般情况；③下结论综合上面两种情况定结论.
2.定值问题
⑴参数法：根据问题特征,合理设定参数，①参数可能为点,若所设点为两个参数时,则其横坐标必须满足圆锥曲线的方程，②参数可能为角,题目常常将圆锥曲线上的点设为角的形式；③参数可能为直线斜率,此时需要考虑直线斜率是否存在.用参数表示求定值的式子，联立方程,整体代入,消去参数.
⑵特殊到一般法：通过考查特殊位置，探索出“定值”是多少，然后再证明这个值与变量无关.
【典例精讲】
例4.(2025·广东省汕头市·模拟题)已知椭圆的左、右顶点分别为、，离心率，为椭圆上异于、的动点．
求直线、的斜率的积；
过作直线，过作直线，设，证明：存在两定点与，使得为常数．
例5. (2025·安徽省阜阳市·月考试卷)已知双曲线的左右焦点分别为，点在上，且的面积为．
求双曲线的方程；
记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于两点．探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【拓展提升】
练2-1.(2025·北京市·模拟题)在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点．
求点的轨迹的方程；
已知点，过点的一条直线，斜率不为，交曲线于、两点，直线，分别与直线交于，两点，求证：直线与直线的斜率之积为常数．
练2-2.(2024·湖北省黄冈市模拟) 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，，分别是椭圆的右顶点和上顶点，三角形的面积为为坐标原点．
求椭圆的标准方程；
若直线交椭圆于，两点，且三角形的面积是，设直线的斜率为，直线的斜率为，问：与的乘积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
1.(2025·广东省揭阳市·模拟题)已知，，设点是圆上的点，若动点满足：，，则的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
2.(2025·全国·模拟题)已知为椭圆：上一点非顶点，，为椭圆的左，右顶点，令，，其中，，均不为的面积为，则下列表达式不可能为定值的是( )
A. B. C. D.
3. (2025·湖南省长沙市·模拟题)已知双曲线的焦距为，一条渐近线的倾斜角为．
求双曲线的方程；
过点作直线，与的左支相交于两点，点与点关于轴对称，问：直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案解析】
1.【人教A版选择性必修一 习题3.1 第7题 P115】
解：设椭圆的方程为，
由椭圆的性质可知椭圆上的点到焦点距离的最小值为，最大值为，
根据题意可得近火点满足①，
远火点满足②，
由①-②得．
故选A．
2.【人教A版选择性必修一 复习参考题3 第11题 P146】（多选）
解：设点的坐标为，由题意知点、的坐标分别为、，
则直线的斜率，直线的斜率，
因为，所以，即，
对于，当时，，
所以点的轨迹为焦点在轴上的椭圆除去与轴的交点，故A错误；
对于，当时，，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线除去两个顶点，
故B正确；
对于，当时，，所以点的轨迹为圆除去与轴的交点，
故C正确；
对于，当时，，所以点的轨迹为焦点在轴的椭圆，
因为点所在的椭圆的离心率，
所以离心率随着的增大而减小，故D错误．
故选：．
例1.解：由圆，可得标准方程为，
所以圆心，半径为，
若圆上恰有三个点到直线的距离为，
则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即，
设，则，
代入，可得，
整理得，即点的轨迹方程为．
故选：．
例2.解:点，，．
点满足，
所以点的轨迹为双曲线的右半支，
设双曲线方程为，
其中，
即点是双曲线的右支上的点，
又为函数图象上的点，
即，
则，
联立两个方程，解得，
所以．
故选：．
例3.解：已知，为动点，
根据双曲线的定义可得，由于，
所以点的轨迹是双曲线的右支，且，
即，则，
则点的轨迹方程为，，
设，由可得，
整理得点轨迹方程为，
所以．
故选：．
练1-1.解：如图，易知，
所以，
由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点，且长轴长为，焦距为的椭圆，
而焦点在上，长轴长为，焦距为的椭圆的标准方程为，
又点的轨迹的中心为，所以点的轨迹方程为，故选：．
练1-2.解：联立直线与双曲线方程得，，
因为与双曲线相切于点，，
所以，化简得．
解方程得，，
所以过点且与垂直的直线为，
所以，，
所以，
，
，
所以点的轨迹是．
练1-3.解：由正方体的结构特点可知，与是直角三角形，且，
与的面积之比等于，即，
如图在平面中建立平面直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，
则，，设，
则，化简得，
点的轨迹是圆的一部分．
故选A．
练1-4.解：由题意，设点、，则，
因为点为线段的中点，则，即
因为点在圆上，所以，即，
因此，点的轨迹的方程为；
由已知可得，设点、，
联立，得，
由已知可得，得，
由韦达定理可得，，
因为，即，则，即，
所以，所以，即，
当时，不成立，
所以，代入得，
解得，因此，的取值范围是．
例4.解：设，则，即，
因为双曲线的离心率，所以，
所以，
设直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，
所以直线、的斜率的积为；
证明：设，则
直线的方程为，
直线的方程为，
得，即，
所以动点在椭圆上，
故存在两定点与，使得．
解：设双曲线的焦距为，
由题意得，
解得，故双曲线的方程为．

由题意得，，
当直线的斜率为零时，则．
当直线的斜率不为零时，设直线的方程为，点，
联立，整理得，
则，解得且，
所以，
所以
．
综上，，为定值．
练2-1.解：由题可得，点在线段的垂直平分线上，则，
所以
，
根据椭圆定义知，
点的轨迹是以为焦点的椭圆，
设方程为：，
则，，，
所以点的轨迹的方程为：；
证明：如图，设直线：，
，，
，，
由知，，
联立，
化简得，
则，，
由，
可得，
同理可得，
所以直线与直线的斜率之积为：
，
所以直线与直线的斜率之积为定值．

练2-2.解：由已知得
，，，
椭圆
当直线的斜率不存在时，设直线且，
代入，得，所以，
则，解得，
，
当直线的斜率存在时，设点，，直线，
代入，得，
，
，，
，
又原点到直线的距离，
，
所以，
即，
即，
所以，即
所以得到
，
综上所述，与的乘积为定值．
解：延长、交于点，连接，
由得，
由得为的角平分线，
由三角形角平分线与高线重合得，且为线段中点，
又为线段中点，由中位线性质得，
当点位于轴左侧时，，
当点位于轴右侧时有类似结论，
由双曲线定义，点轨迹是以，为焦点的双曲线，
其中，，，
故可得，
即点的轨迹方程为．
2.解:设，则．为定值，A正确；
由对称性，不妨设，则，
所以为定值，B正确；
为定值，C正确；
，如果为定值，则也是定值，则，均为定值，不可能，故D错误．
故选：．
3.解：由已知，，则，
因为，则，所以，从而，
所以双曲线的方程是
直线过定点，
设直线，代入，得，
即，
设点，则，
因为要有两个交点，所以，
即，
且要满足，
如果直线过定点，因为点与及的左支关于轴对称，
猜想：定点在轴上，
设点，点，则，
因为向量与共线，则，
即，
即，
所以，即，
因为为可变量，则，所以直线过定点．

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