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2026届高三微专题10.7 直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与椭圆的位置关系
联立得.
设一元二次方程的判别式为，
当时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当没时，方程无解，直线与椭圆相离.
2.直线与双曲线的位置关系
联立得.
设一元二次方程的判别式为，
位置关系 图形特点(形) 交点个数 方程解(数)
相交 一个公共点 (直线与双曲线的渐近线平行) 方程有1个解
两个公共点 (在一支或两支上) 方程有2个解
相切 一个公共点 方程有1个解
相离 无公共点 方程无解
注意：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．
3.直线与抛物线的位置关系
联立得.
设一元二次方程的判别式为，
当时，当时，方程有两解，直线与抛物线相交；
当时，方程有一解，直线与抛物线相切；
当时，方程无解，直线与抛物线相离.
当时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个交点.
注意：
⑴直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
⑵研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．
4.直线与圆锥曲线的弦长公式
⑴弦长公式：直线与圆锥曲线交于两点，设.
弦长
⑵抛物线的焦点弦
抛物线的焦点弦公式为，为过焦点的直线的倾斜角.
【重要结论】
1.已知椭圆．
⑴通径的长度为.
⑵过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；
过右焦点弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率)
⑶A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则.
⑷AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M 为AB的中点，则kOM·kAB＝－.
⑸过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－.
⑹点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1.
2.已知双曲线.
⑴点处的切线平分在点处的内角.
⑵若在双曲线上,则过的双曲线的切线方程是.
⑶若在双曲线外,则过作双曲线的两条切线切于,则切点弦的直线方程是.
⑷是双曲线的不平行于对称轴且过原点的弦,为的中点,则.
⑸若在双曲线内,则被所平分的中点弦的方程是.
【人教A版选择性必修一 习题3.2 第13题 P128】已知双曲线．
求直线被双曲线截得的弦长；
过点能否作一条直线与双曲线交于，两点，且点是线段的中点？
【人教A版选择性必修一 复习参考题3 第12题 P146】设是抛物线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为 ，此时点的坐标为 ．
(
考点
一
直线与圆锥曲线的位置关系
)
【典例精讲】
例1.(2025·河北省·月考试卷)已知椭圆：与直线相切，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
例2.(2024·湖南省永州市月考) 已知直线与曲线恒有公共点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
例3.(2025·山东省·模拟题)已知抛物线的焦点为，在直线上任取一点作抛物线的切线，切点分别为，，则到直线距离的最大值为( )
A. B. C. D.
【方法储备】
判断直线与圆锥曲线的位置关系：
⑴判断直线与圆锥曲线的位置关系时，利用方程思想，联立方程组得到一元二次方程，借助方程根个数，判断直线与圆锥曲线的位置关系.在判断直线与双曲线、抛物线的位置关系时，注意直线与双曲线、抛物线仅有一个公共点时，可能为相交或相切.
⑵对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
⑶利用数形结合的方法可以迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系.尤其是在解决有关直线与双曲线的位置关系问题时,灵活利用直线与渐近线的关系可以快速解题.
【拓展提升】
练1-1.(2024·江西省赣州市月考)设椭圆的左焦点为，点在椭圆外，，在椭圆上，且是线段的中点，若椭圆的离心率为，则直线，的斜率之积为( )
A. B. C. D.
练1-2.(2025·贵州省贵阳市·模拟题)如果直线：和曲线：恰有一个交点，那么实数的取值范围是 ．
练1-3.(2025·浙江省·模拟题)已知斜率大于零的直线交椭圆于，两点，交，轴分别于，两点，且，是线段的三等分点，则直线的斜率为 ．
(
考点二 弦长、中点弦问题
)
【典例精讲】
例4.(2025·北京市·模拟题)设抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于、两点，记点到直线的距离为，且若点的横坐标为，则( )
A. B. C. D.
例5. (2025·河南省·月考试卷)已知双曲线上存在两点，关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
例6. (2024·江苏省南通市联考) 已知直线交椭圆于、两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是( )
A. B.
C. D.
【方法储备】
1.弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与圆锥曲线的方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点坐标；
(2)点差法：将弦的两端点的坐标带入圆锥曲线的方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.
2.求弦长
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时，斜率为的直线与椭圆或双曲线相交于两个不同的点，则弦长
【拓展提升】
练2-1.(2025·辽宁省·模拟题)过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，则( )
A. B. C. D.
练2-2.(2025·湖北省黄冈市·月考试卷)已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则( )
A. B. C. D.
练2-3.(2024·四川省成都市月考) 如图，设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线的两条切线、，且与抛物线分别相切于、两点．
求的重心的轨迹方程．证明．
1.(2025·湖北省荆门市·模拟题)已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与双曲线交于，两点，且，则的值为( )
A. B. C. D.
2.(2025·湖南省岳阳市·模拟题)设椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，，的平分线与轴交于点，则( )
A. B. C. D.
3.(2025·浙江省温州市·月考试卷)已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴，轴分别交于，两点，且满足，则的斜率为 ．
【答案解析】
教材改编1 【人教A版选择性必修一 习题3.2 第13题 P128】
解：联立，得．
解得，，
则直线被双曲线截得的弦的两个端点为，，
弦长为；
假设存在直线与双曲线交于，两点，且点是线段的中点．
设，，易知，
则，，
两式相减得，
又，，，
，
故直线的方程为，即．
由，消去得，
，方程无解，
故过点不能作一条直线与双曲线交于，两点，且点是线段的中点．
教材改编2 【人教A版选择性必修一 复习参考题3 第12题 P146】
解：方法一：设是上任意一点，
则点到直线的距离
，
当时，，此时点的坐标为．
方法二：设与抛物线相切且与直线平行的直线方程为，
由得，
因为，所以．
所以平行直线的方程为，
此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，
则，此时点的坐标为．
故答案为：；．
例1.解：联立方程消去后整理为，
有，
整理可得，
由，
有，
可得．
故选：．
例2.解：直线方程为，直线恒过定点．
曲线的方程为，
曲线表示椭圆．
直线与曲线恒有公共点，
点在椭圆内或椭圆上， ，即
例3.解：由题意可知
设， ， ， ， 2，
由题意知在点处切线的斜率存在且不为，
设在点处切线的斜率为，则切线方程为 ，
所以 ，整理得 ，
由，解得 ，
所以在点处的切线方程为 ，
同理可得在点处的切线方程为，
又都过点，所以，，
所以直线的方程为，即，直线恒过定点，
所以点到直线的距离的最大值为点到定点的距离，即为．
故选B．
练1-1. 解：取椭圆的右焦点为，连接，，如下图所示，

由题意可知，点为椭圆的左焦点，
因为点、，易知点为线段的中点，
又因为为的中点，所以，
取线段的中点，连接，则，
所以，则，所以，
设点、，则点，
所以，两个等式作差可得，可得，
所以，
因为椭圆的离心率为，得，
所以，即，故 B正确．
故选：．
练1-2. 解：根据题意，直线：，
即，可知直线过定点，
曲线：，
即或，
而曲线由如下三部分构成：
第部分当时，
曲线是双曲线在轴左侧的一支，且在轴上方含轴的部分，
第部分当时，
曲线是椭圆在轴下方不含轴的部分，
第部分当时，
曲线是双曲线在轴右侧的一支，在轴上方含轴的部分，
分以下三种情形讨论：
当时，
这时直线与有两个交点、，不符合要求；
当时，
这时直线与在第部分没有交点，
当直线：与第部分相切时，
整理得：，
结合判别式，
得，
直线与在第部分的交点数：
当时，有个交点，
当时，有个交点，
当时，有个交点，
直线与在第部分的交点数：
当时，有个交点，
当时，有个交点，
因此，在此情形下，
的取值范围是
当时，
这时直线与在第部分恰有一个交点，
直线与在第部分没有交点，
直线与在第部分的交点数：
当时，有个交点，
当时，有个交点，
因此，在此情形下，
的取值范围是，
综上所述，实数的取值范围是，
故答案为：，
练1-3. 解：由题意，设直线的方程为，，，
则 ，，由方程组，得，
由韦达定理，得，．
由是线段的两个三等分点，
得线段的中点与线段的中点重合．
所以，
解得，
因为斜率大于零，所以
故答案为：．
例4. 解:抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义可得，
设点、，若直线与轴重合，
则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，
联立，可得，
则，
由根与系数关系可得，
所以，
故，
所以，
整理得，
即，
因为，
解得．
故选：．
例5.解：关于对称垂直直线，的斜率，中点在上，且在上
设直线：，在上，，
由消元可得：
恒成立，
，，
中点
的中点在抛物线上，
或
故选：．
例6. 解：设，，
又椭圆即，
所以易知，，
所以由重心坐标得，，
所以弦的中点为，
因为点，在椭圆上，
所以，
作差得，
将①和②代入得直线的斜率，
所以直线的方程为：，即．
故选：．
练2-1. 解：由，得，左焦点为，
则过左焦点，倾斜角为直线的方程为，
代入，得，
设，则，
又，
根据弦长公式得：，
且，
，
故选：．
练2-2. 解：设，，，
则，，
，代入双曲线 ，
两式相减可得：，
，
直线的斜率为，
．
故选：．
练2-3. 解：设切点，的坐标分别为和，
切线的方程为， 切线的方程为
解：得点的坐标为，
设的重心的坐标为，则 ，
，
，
由点在直线上运动，从而得到重心的轨迹方程为，
即．
因为
由于点在抛物线外，则
同理有
．
1.解：如图所示，设直线与双曲线的另一个交点为，
设，，由，以及图形的对称性知，
由，两点在双曲线上知，，作差得到，
其中，故直线的斜率，
此时直线的方程为，与双曲线的方程联立得，化简得，
即或，那么或，
又直线的斜率为，所以或，
解得，
故选D．
2.解：椭圆方程为，可知，，焦距，焦点，，
设，，由椭圆定义得，
在中，由余弦定理：，
代入，，得：，
联立，
得，或，，
所以当，时，，，把代入，得或，
当，时，轴，把代入，得或，
根据角平分线定理，，
设，
当，时，，解得不合题意舍去或，即；
当，时，，解得或不合题意舍去，即，
点的坐标为或当时，或或当时，
以和为例，得，
由椭圆的对称性得．
故选：．
3. 解：设直线为：，
，，
联立，
得，
，
即，
所以，
，
所以，，
由相似比可得：
，
，
所以，
即，
故，，解得，
故答案为：．

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