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2026届高三微专题11.2 二项式定理
1．二项式定理
(1) 二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can-kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(2) 通项公式：Tk＋1＝Can-kbk，它表示第k＋1项．
(3) 二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C．
2．二项式系数有关的性质
① 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即
② 若，则f(x)展开式中的各项系数和为f(1)，
奇数项系数和为，
偶数项系数之和为．
【重要提醒】
解决与二项式定理有关问题的五个关注点:
(1)Tr＋1表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定．
(2)Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项．
(3)公式中a，b的指数和为n，a，b不能颠倒位置．
(4)二项展开式中某一项的系数与某一项的二项式系数易混．
(5)二项式系数最大项与展开式系数最大项不同．
1.【人教A版选择性必修三P34 习题6.3 T2】的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
2.【人教A版选择性必修三P35 习题6.3 T8】的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则的展开式中常数项为 用数字作答
(
考点
一
通项公式的应用
)
【方法储备】
【典例精讲】
例1. (2025·安徽省·月考试卷)的展开式中，的系数为 用数字作答
例2.(2025·安徽省·模拟题)的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
1. 求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤：
①利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can-rbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
②根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；
③把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量．
2. 求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
①根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；
②根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；
③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量．
形如的展开式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解，或看成几个因式的乘积，再利用组合数公式求解.
【拓展提升】
练1-1 (2025·河南省南阳市·模拟题)的展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
练1-2(2025·河北省·单元测试)设，则等于( )
A. B. C. D.
练1-3 (2025·内蒙古自治区鄂尔多斯市·期末考试)二项式的展开式中的常数项为 ．
(
考点二 二项式系数的性质及
系数和
问题
)
【典例精讲】
例3. (2025·辽宁省沈阳市月考) 的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则的展开式中所有项系数的绝对值之和为
例4. (2025·安徽省马鞍山市期末)若其中为非零实数展开式中的各项系数之和为，则展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
例5. (2025·山东省济南市期末)(多选) 已知，则( )
A. B.
C. D.
【方法储备】
1.“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如,的式子，求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；
对形如的式子，求其展开式各项系数的和，只需令即可.
2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法
若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则展开式中：
(1)各项系数之和为f(1)；
(2)a0＋a2＋a4＋…＝；
(3)a1＋a3＋a5＋…＝．
【拓展提升】
练2-1.(2025·江西省新余市月考) (多选)已知展开式中偶数项的二项式系数之和为，则( )
A. B. 展开式中各项系数之和为
C. 二项式系数之和为 D. 展开式的中间项为
练2-2.(2025·湖南省长沙市模拟) 若二项式的展开式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为
练2-3 .(2025·安徽省芜湖市模拟)(多选) 若，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
(
考点三 与
二项展开式中的系数有关的最值问题
)
【典例精讲】
例6.(2025·江苏省盐城市·期中考试)设，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则( )
A. B. C. D.
例7. (2025·吉林省松原市·模拟题)已知的二项展开式中，常数项为，且只有第项的二项式系数最大，则( )
A. B. C. D.
【方法储备】
1.二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大．
2.二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得．
【拓展提升】
练3-1.(2025·安徽省·模拟题)已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是( )
A. B. C. D.
练3-2.(2025·湖北省黄冈市·月考试卷)二项式的展开式中，末尾两项的系数之和为，且二项式系数最大的一项的值为，则在内的值为 ．
练3-3.(2025·甘肃省·期末考试)在的展开式中．
求二项式系数最大的项；
系数的绝对值最大的项是第几项？
求系数最大的项．
(
考点四 二项式定理
的应用
)
【典例精讲】
例8. (2025·湖北省黄冈市·期末考试)设，且，若能被整除，则( )
A. B. C. D.
例9. (2025·湖北省·联考题)我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号已知年是蛇年，那么年后是( )
A. 羊年 B. 马年 C. 龙年 D. 兔年
【方法储备】
1．用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．
2．利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．
【拓展提升】
练4-1.(2025·江苏省无锡市·期中考试)被整除的余数为__________．
练4-2 .(2025·云南省保山市·期末考试)已知，当且时，的最大值为( )
A. B. C. D.
练4-3.(2025·江苏省扬州市·模拟题)第届国际数学教育大会在我国上海华东师范大学举行如图是本次大会的会标，会标中“”的下方展示的是八卦中的四卦、、、，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是( )
A. B. C. D.
1. (2025·江苏省宿迁市·期末考试)在的展开式中，的奇次项的系数和为 ．
2. (2025·河北省保定市·联考题)若，则的值被除的余数为 ．
3. (2025·河北省廊坊市·期末考试)因受到中国八卦图和周易阴阳理论的启发，德国数学家莱布尼茨提出二进制记数法用二进制记数只需数字和，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数在二进制中就表示为 表示为 表示为 表示为 发现若可表示为二进制表达式，则，其中 或 ．
记，求证：．
记为整数的二进制表达式中的的个数，如，
求 的值；
求 的值．
【答案解析】
1.【人教A版选择性必修三P34 习题6.3 T2】
解：的展开式的通项为．
当为常数时，，解得，
则；
当为常数时，，解得，
则，
所以的展开式中常数项为．
故选B.
2.【人教A版选择性必修三P35 习题6.3 T8】
解：由，可得，
故展开式的通项为，
故的展开式中常数项为．
故答案为．
例1.解：由题意可知的通项为，，
令，则的系数为．
故答案为：．
例2.解：的二项展开式的通项公式为，
当，时，可得的展开式中，
常数项为．
故选：．
练1-1.解：展开式的通项，
显然，则当，即时，，
所以的展开式中常数项为．
故选：．
练1-2.解：
故选A.
练1-3.解：展开式的通项公式为，
令，得，
展开式中的常数项为．
故答案为：．
例3.解：由题意可得，解得，
所以的展开式中所有项系数的绝对值之和，即的展开式中所有项系数之和，
令，可得的展开式中所有项系数之和为．
故答案为：．
例4.解：由于展开式中的各项系数之和为，为非零实数，
所以，解得，
又展开式的通项公式为．，
令，解得，所以，
令，解得，所以，
故展开式中常数项为：．
故选：．
例5.解：因为，
令，则，所以A正确；
令，则，
又由，
所以，，所以B错误，C正确；
对题干等式两边取导，
由，
令，则，所以D正确．
故选ACD．
练2-1.解：由题意可知，解得，故A正确
因为，令，可得，即展开式中所有项的系数之和为，故B正确
因为，所以二项式系数之和为，故C正确
因为通项为，
所以展开式的中间项为，故D不正确．
故本题选：．
练2-2.解：令，可求得；令，可求得，所以．
设，则，．
又函数在上单调递增，所以，即．
练2-3.解：因为，
令，则，故A正确；
令代入，
得，所以，故B错；
令代入，
得，故C正确；
因为二项式的展开式的第项为，
所以当为奇数时，为负数；即其中为奇数，
所以；故D正确．
故选：．
例6.解：由 展开式的二项式系数的最大值为 ，则有 ，
由 展开式的二项式系数的最大值为 ，则有 ，
由 ，故有 ，即 ，
即 ，即 ，解得
故选：．
例7.解：的二项展开式中只有第项的二项式系数最大，
为偶数，且解得，
的二项展开式的通项为
令，解得，
常数项为，解得，
故选：．
练3-1.解：展开式中的第项为，
所以前三项系数依次为，，，
依题意，有，即，
整理，得，解得舍去或．
由二项式系数的性质可知，展开式中第项的二项式系数最大，
即．
故选C．
练3-2.解：因为 的展开式的通项公式为 ，
令 ，可得 ；
令 ，可得 ；
由题意可得： ，解得 ，
所以二项式系数最大的为第项，则 ，
且 ，则 ，可得 ，
所以 或 ．
故答案为 ： 或 ．
练3-3.解：二项式系数最大的项为中间项，
即第项， ；
的展开式的通项为
，，，
设第项系数的绝对值最大，显然，则
整理得，即
解得，而，则或，
所以系数的绝对值最大的项是第项和第项；
由知，展开式中的第项和第项系数的绝对值最大，而第项的系数为负，
第项的系数为正，所以系数最大的项为第项．
例8.解：，，
能被整除，
其中，
记，
则能被整除，
故，
．
故选：．
例9.解：由
，
故，
则除以的余数为，
所以年后是马年．
故选：．
练4-1.解：由于
，
由于均能被整除，
除以的余数为，
故答案为：．
练4-2.解：由已知为展开式中的系数，且，
，
当时，必为奇数，且，，
，，所以的最大值为．
故选：．
练4-3.解：由进位制的换算方法可知，八进制换算成十进制得：
，
因为是的倍数，
所以，换算后这个数的末位数字即为的末尾数字，
由可得，末尾数字为．
故选：．
1.解：设，
令，
则
，
此时，
令，则，
此时，
将与相减，
即，
化简可得，
所以．
故答案为：．
2.解：令，得，
因为，
所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即，
当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即，
所以，
又，
故被除余．
故答案为：．
3.解：证明：
，
，
，
，
；
解：，
，
，，
故从到中，
有、、、共个，
有个，由，得共有个
有个，由，得共有个
，
有个，
．

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