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第三章 函数的概念与性质
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（5分）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（5分）函数f（x）的定义域为（　　）
A．[0，2） B．（2，+∞）
C．[，2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）
3．（5分）已知函数，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣3 D．
4．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]
5．（5分）若，则f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）＝x2﹣x B．f（x）＝x2﹣x（x≥0）
C．f（x）＝x2﹣x（x≥1） D．f（x）＝x2+x
6．（5分）若定义在实数集R上的f（x）满足：x∈（﹣3，﹣1）时，f（x+1）＝ex，对任意x∈R，都有成立．f（2019）等于（　　）
A．e2 B．e﹣2 C．e D．1
7．（5分）若函数f（x）且满足对任意的实数x1≠x2都有0成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）
8．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2，对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，那么实数t的取值范围是（　　）
A．[，+∞） B．[2，+∞） C．（0，] D．[0，]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A． B．y＝x C．y＝x2 D．
10．（5分）下列各组函数表示的是同一个函数的是（　　）
A．与
B．f（x）＝|x|与
C．f（x）＝x+1与g（x）＝x+x0
D．与g（x）＝x0
E．与
11．（5分）给出下列命题，其中是错误命题的是（　　）
A．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]
B．函数的单调递减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
C．若定义在R上的函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是单调增函数，在区间（0，+∞）上也是单调增函数，则f（x）在R上是单调增函数
D．x1，x2是f（x）定义域内的任意的两个值，且x1＜x2，若f（x1）＞f（x2），则f（x）是减函数
12．（5分）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）﹣f（x）＝2f（2），若y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，且对任意的x1，x2∈（0，2），且x1≠x2，都有0，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）的周期T＝4
C．f（2022）＝0
D．f（x）在（﹣4，﹣2）单调递减
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）若幂函数图象过点（8，4），则此函数的解析式是y＝　 　 ．
14．（5分）设函数，若f（f（x））＝x恒成立，则实数a的值为　 　 ．
15．（5分）设f（x），若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为 　 　 ．
16．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且对 x∈R都有f（x）+f（﹣x）＝0当x≥0时，f（x）＝x2+2x，则函数f（x）的零点为 　 　 ；不等式f（f（x））+f（x+1）＜0的解集为 　 　 ．
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知定义在[﹣1，2]的一次函数f（x）为单调增函数，且值域为[﹣3，3]．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f[f（x）]的解析式并确定其定义域．
18．（12分）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）在上的最大值；
（3）若函数f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围．
19．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益（单位：元）满足R（x）其中x（单位：台）是仪器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；
（2）当月产量为何值时，公司利润最大？最大为多少元？（总收益＝总成本+利润）
20．（12分）已知函数f（x）（a≠1）．
（1）若a＞0，求f（x）的定义域；
（2）若f（x）在区间[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝﹣x2+mx﹣m．
（1）若函数f（x）的最大值为0，求实数m的值；
（2）若函数f（x）在[﹣1，0]上单调递减，求实数m的取值范围；
（3）是否存在实数m，使得f（x）在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的奇函数，且f（﹣2）＝2，若对于任意的m，n∈[﹣2，2]有0．
（1）判断函数的单调性（不要求证明）；
（2）解不等式f（2x+3）＜f（1﹣x）；
（3）若f（x）≤﹣2at+2，存在x∈[﹣2，2]，对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式恒成立，求实数t的取值范围．
第三章 函数的概念与性质
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（5分）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知结合函数的定义检验各选项即可判断．
【解答】解：根据函数的定义可知，对于定义域内任意x，都有唯一的y与之对应，结合选项可知，C不符合题意．故选：C．
【点评】本题主要考查了函数定义的应用，属于基础题．
2．（5分）函数f（x）的定义域为（　　）
A．[0，2） B．（2，+∞）
C．[，2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质以及分母不是0，求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：
，解得：x且x≠2，
故函数的定义域是[，2）∪（2，+∞），
故选：C．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
3．（5分）已知函数，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣3 D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合函数的解析式，将 从里到外的每一个函数值代入分段函数里算出即可．
【解答】解：根据题意，，
则，，，
所以 ，
故选：A．
【点评】本题考查分段函数函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
4．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]
【答案】D
【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．
【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．
若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，
又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，
∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），
∴﹣1≤x﹣2≤1，
解得：x∈[1，3]，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．
5．（5分）若，则f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）＝x2﹣x B．f（x）＝x2﹣x（x≥0）
C．f（x）＝x2﹣x（x≥1） D．f（x）＝x2+x
【答案】C
【分析】根据题意设1＝t，则t≥1，求出f（t），即可得出f（x）的解析式．
【解答】解：函数，
设1＝t，则t≥1，
∴t﹣1，
∴f（t）＝（t﹣1）2+（t﹣1）＝t2﹣t，
∴f（x）＝x2﹣x，（x≥1）．
故选：C．
【点评】本题考查了利用换元法求函数解析式的应用问题，是基础题．
6．（5分）若定义在实数集R上的f（x）满足：x∈（﹣3，﹣1）时，f（x+1）＝ex，对任意x∈R，都有成立．f（2019）等于（　　）
A．e2 B．e﹣2 C．e D．1
【答案】B
【分析】根据题意，分析可得f（x+4）f（x），据此可得f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1），结合函数的解析式求出f（﹣1）的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，对任意x∈R，都有成立，则有f（x+4）f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
则f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1），
x∈（﹣3，﹣1）时，f（x+1）＝ex，当x＝﹣2时，有f（﹣1）＝e﹣2，
则f（2019）＝e﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查函数的周期性，注意正确求出函数的周期，属于基础题．
7．（5分）若函数f（x）且满足对任意的实数x1≠x2都有0成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）
【答案】D
【分析】若对任意的实数x1≠x2都有0成立，则函数f（x）在R上单调递增，进而可得答案．
【解答】解：∵对任意的实数x1≠x2都有0成立，
∴函数f（x）在R上单调递增，
∴，
解得：a∈[4，8），
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．
8．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2，对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，那么实数t的取值范围是（　　）
A．[，+∞） B．[2，+∞） C．（0，] D．[0，]
【答案】A
【分析】由当x≥0时，f（x）＝x2，函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）＝﹣x2，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）＝f（x），再根据不等式f（x+t）≥2f（x）＝f（x）在[t，t+2]恒成立，可得x+tx在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0 时，f（x）＝x2
∴当x＜0，有﹣x＞0，f（﹣x）＝（﹣x）2，
∴﹣f（x）＝x2，即f（x）＝﹣x2，
∴，
∴f（x）在R上是单调递增函数，
且满足2f（x）＝f（x），
∵不等式f（x+t）≥2f（x）＝f（x）在[t，t+2]恒成立，
∴x+tx在[t，t+2]恒成立，
解得x≤（1）t在[t，t+2]恒成立，
∴t+2≤（1）t
解得：t，则实数t的取值范围是：[，+∞），
故选：A．
【点评】本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A． B．y＝x C．y＝x2 D．
【答案】ABC
【分析】根据常见函数的性质分别判断即可．
【解答】解：对于A：函数在（0，+∞）递增，符合题意；
对于B：函数在R递增，符合题意；
对于C：函数在（0，+∞）递增，符合题意；
对于D：函数在R递减，不合题意；
故选：ABC．
【点评】本题考查了常见函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．
10．（5分）下列各组函数表示的是同一个函数的是（　　）
A．与
B．f（x）＝|x|与
C．f（x）＝x+1与g（x）＝x+x0
D．与g（x）＝x0
E．与
【答案】BD
【分析】分别把五个选项中的两函数求定义域且化简，再由函数的特性得答案．
【解答】解：对于A，的定义域为（﹣∞，0），的定义域为（﹣∞，0），
但，与不是同一函数；
对于B，f（x）＝|x|与的定义域相同，且|x|，两函数是同一函数；
对于C，f（x）＝x+1的定义域为R，g（x）＝x+x0的定义域为{x∈R|x≠0}，定义域不同，
两函数不是同一函数；
对于D，1（x≠0），g（x）＝x0＝1（x≠0），两函数是同一函数；
对于E，的定义域为[0，+∞），的定义域为（﹣∞﹣1]∪[0，+∞），
定义域不同，两函数不是同一函数．
故选：BD．
【点评】本题考查函数的特性，分析问题与解决问题的能力，是基础题．
11．（5分）给出下列命题，其中是错误命题的是（　　）
A．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]
B．函数的单调递减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
C．若定义在R上的函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是单调增函数，在区间（0，+∞）上也是单调增函数，则f（x）在R上是单调增函数
D．x1，x2是f（x）定义域内的任意的两个值，且x1＜x2，若f（x1）＞f（x2），则f（x）是减函数
【答案】ABC
【分析】直接利用函数的性质的应用，函数的定义域，函数的单调性的应用求出结果．
【解答】解：①若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为：
令0≤2x≤2，解得0≤x≤1．故函数f（2x）的定义域为[0，1]．故选项A错误．
②函数的单调递减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞），故选项B错误．
③如下图，
函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是单调增函数，在区间（0，+∞）上也是单调增函数，但是函数在R上不是单调函数．故错误．
④x1，x2是f（x）定义域内的任意的两个值，且x1＜x2，若f（x1）＞f（x2），即f（x1）﹣f（x2）＞0，所以函数f（x）是减函数．故正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．属于基础题型．
12．（5分）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）﹣f（x）＝2f（2），若y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，且对任意的x1，x2∈（0，2），且x1≠x2，都有0，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）的周期T＝4
C．f（2022）＝0
D．f（x）在（﹣4，﹣2）单调递减
【答案】ABC
【分析】根据图象的平移变换规律，奇偶函数的性质、周期的定义、单调性的定义，结合已知条件对每个选项进行判断．
【解答】解：因为y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，所以将y＝f（x﹣1）的图象向左平移一个单位，得y＝f（x）的图象，关于y轴对称，故y＝f（x）是偶函数，故A正确；
则再令“任意x∈R都有f（x+4）﹣f（x）＝2f（2），”中的x＝﹣2，可得f（﹣2）＝﹣f（2）＝f（2），故f（2）＝0，所以f（x+4）﹣f（x）＝2f（2）＝0，故f（x+4）＝f（x）对任意的x恒成立，故y＝f（x）的周期为T＝4，故B正确；
所以f（2022）＝f（4×505+2）＝f（2）＝0，故C正确；
因为任意的x1，x2∈（0，2），且x1≠x2，都有0，故f（x）在（0，2）上是单调增函数，根据周期为4，故该函数在（﹣4，﹣2）上也是增函数，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查抽象函数条件下的函数的周期性、单调性、对称性等性质以及图象的平移变换，要注意转化思想在解题中的应用．属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）若幂函数图象过点（8，4），则此函数的解析式是y＝　　 ．
【答案】
【分析】设幂函数y＝xα，代入点的坐标求出α的值．
【解答】解：设幂函数y＝xα，α∈R，
其图象过点（8，4），即8α＝4，解得α，
所以此函数的解析式是y．
故答案为：．
【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
14．（5分）设函数，若f（f（x））＝x恒成立，则实数a的值为　﹣3　 ．
【答案】﹣3．
【分析】由f（x）的解析式，求得f（f（x））的解析式，结合恒等式的性质，可得a的方程，解方程可得a的值．
【解答】解：函数，
若f（f（x））＝x，
即为x，
由恒等式的性质可得2a+6＝0，且1，
解得a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查函数恒成立问题解法，注意运用恒等式的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
15．（5分）设f（x），若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为 　（﹣∞，2]　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别由f（0）＝a，x2，a≤x综合得出a的取值范围．
【解答】解：当x＝0时，f（0）＝a，
由题意得：a≤x，
又∵x22，
∴a≤2，
故答案为：（﹣∞，2]．
【点评】本题考查了分段函数的应用，基本不等式的性质，是一道基础题．
16．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且对 x∈R都有f（x）+f（﹣x）＝0当x≥0时，f（x）＝x2+2x，则函数f（x）的零点为 　0　 ；不等式f（f（x））+f（x+1）＜0的解集为 　（﹣∞，）　 ．
【答案】0；（﹣∞，）．
【分析】由题意判断函数f（x）是定义域R上的奇函数，求出函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数f（x）的零点和不等式的解集．
【解答】解：因为函数f（x）的定义域为R，且对 x∈R都有f（x）+f（﹣x）＝0，
所以f（x）是定义域R上的奇函数；
当x≥0时，f（x）＝x2+2x，
当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝（﹣x）2+2 （﹣x）＝x2﹣2x，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+2x；
所以f（x），
画出函数f（x）的图象，如图所示：
函数f（x）与x轴仅有一个交点是坐标原点，所以函数f（x）的零点为0；
由题意知，f（x）是定义域R上的奇函数，且为单调增函数；
所以不等式f（f（x））+f（x+1）＜0可化为f（f（x））＜﹣f（x+1）＝f（﹣x﹣1），
f（x）＜﹣x﹣1，画出函数y＝﹣x﹣1和y＝f（x）的图象，
由图象知，不等式化为﹣x2+2x＜﹣x﹣1，其中x＜0，
解得x，所以不等式的解集为（﹣∞，）．
故答案为：0；（﹣∞，）．
【点评】本题考查了抽象函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知定义在[﹣1，2]的一次函数f（x）为单调增函数，且值域为[﹣3，3]．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f[f（x）]的解析式并确定其定义域．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）根据题意，设f（x）＝ax+b，结合函数的定义域、值域以及单调性可得，解可得a、b的值，代入函数的解析式，即可得答案；
（Ⅱ）由（1）的结论，f（x）＝2x﹣1，可得f[f（x）]＝2（2x﹣1）﹣1＝4x﹣3，结合函数的定义域可得﹣1≤2x﹣1≤2，解可得x的取值范围，即可得函数f[f（x）]的定义域．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，f（x）为一次函数且在[﹣1，2]单调增函数，
设f（x）＝ax+b，
又由其值域为[﹣3，3]，则有，解可得，
则f（x）＝2x﹣1，（﹣1≤x≤2）；
（Ⅱ）由（1）的结论，f（x）＝2x﹣1，
则f[f（x）]＝2（2x﹣1）﹣1＝4x﹣3；
又由f（x）的定义域为[﹣1，2]，
则有﹣1≤2x﹣1≤2，解可得0≤x；
则函数f[f（x）]的定义域为[0，]．
【点评】本题考查函数解析式以及定义域的计算，关键是求出函数的定义域．
18．（12分）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）在上的最大值；
（3）若函数f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围．
【答案】（1）f（x）＝2（x﹣1）2+1；（2）；（3）实数a的取值范围为（0，）．
【分析】（1）由题意知二次函数f（x）的对称轴为x＝1，从而设函数f（x）＝a（x﹣1）2+1（a＞0），代入求解即可；
（2）根据二次函数的性质求最大值即可；
（3）由题意知对称轴在区间（2a，a+1）上，从而求得．
【解答】解：（1）∵f（0）＝f（2）＝3，
∴二次函数f（x）的对称轴为x＝1，
设函数f（x）＝a（x﹣1）2+1（a＞0），
则f（0）＝a+1＝3，
解得a＝2；
故f（x）＝2（x﹣1）2+1；
（2）∵|1|＞|1|，
∴f（x）max＝f（）＝2×（1）2+1，
即f（x）在上的最大值为；
（3）∵函数f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，
∴2a＜1＜a+1，
解得，0＜a；
故实数a的取值范围为（0，）．
【点评】本题考查了二次函数的性质的应用，属于基础题．
19．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益（单位：元）满足R（x）其中x（单位：台）是仪器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；
（2）当月产量为何值时，公司利润最大？最大为多少元？（总收益＝总成本+利润）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利润＝收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；
（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．
【解答】解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，
从而利润f（x）；
（2）当0≤x≤400时，f（x）（x﹣300）2+25000，
所以当x＝300时，有最大值25000；
当x＞400时，f（x）＝60000﹣100x是减函数，
所以f（x）＝60000﹣100×400＜25000．
所以当x＝300时，有最大值25000，
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．
【点评】本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．
20．（12分）已知函数f（x）（a≠1）．
（1）若a＞0，求f（x）的定义域；
（2）若f（x）在区间[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）函数定义域的常规求法，被开方数为非负数即可；
（2）利用一次函数的单调性，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）由0得，
当0＜a＜1时，解得x，此时f（x）的定义域为[，+∞）；
当a＞1时，解得x，此时f（x）的定义域为（﹣∞，]．
（2）∵f（x）（a≠1）∴f（x）；
∵f（x）在区间[0，1]上是减函数，
∴即 解得1＜a≤3．
【点评】考查函数定义域的求法及对函数的单调性性质的运用．
21．（12分）已知函数f（x）＝﹣x2+mx﹣m．
（1）若函数f（x）的最大值为0，求实数m的值；
（2）若函数f（x）在[﹣1，0]上单调递减，求实数m的取值范围；
（3）是否存在实数m，使得f（x）在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由f（x）的最大值为0，即二次函数f（x）有且只有一个值0，可得Δ＝0，从而求出m的取值．
（2）由f（x）图象的性质得[﹣1，0]在对称轴x右侧时f（x）单调递减，从而得出m的取值范围．
（3）讨论f（x）的对称轴x在[2，3]的左侧、右侧以及在[2，3]上时三种情况，从而求出满足条件的m的值．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝﹣x2+mx﹣m，最大值为0，
且二次函数f（x）的图象是开口向下的抛物线，
∴f（x）有且只有一个值0，
即Δ＝m2﹣4m＝0，
∴m的值为0或4．
（2）函数f（x）＝﹣x2+mx﹣m图象是开口向下的抛物线，对称轴是x；
要使f（x）在[﹣1，0]上是单调递减的，应满足1，∴m≤﹣2；
∴m的取值范围是{m|m≤﹣2}．
（3）对f（x）的对称轴x在[2，3]的左侧、右侧以及在[2，3]上时的三种情况进行讨论：
①当2，即m≤4时，f（x）在[2，3]上是减函数，
若存在实数m，使f（x）在[2，3]上的值域是[2，3]，
则有，即，
解得m不存在；
②当3，即m≥6时，f（x）在[2，3]上是增函数，
则有，即，
解得m＝6；
③当23，即4＜m＜6时，f（x）在[2，3]上先增后减，
所以f（x）在x处取最大值；
∴f（）3，
解得m＝﹣2或6（均不满足条件，舍去）；
综上，存在实数m＝6，使f（x）在[2，3]上的值域恰好是[2，3]．
【点评】本题考查了二次函数在闭区间上的单调性与值域问题，讨论对称轴与区间的位置是解决本题的关键．
22．（12分）已知函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的奇函数，且f（﹣2）＝2，若对于任意的m，n∈[﹣2，2]有0．
（1）判断函数的单调性（不要求证明）；
（2）解不等式f（2x+3）＜f（1﹣x）；
（3）若f（x）≤﹣2at+2，存在x∈[﹣2，2]，对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由对于任意的m，n∈[﹣2，2]有0即可判断；
（2）结合（1）的单调性及奇函数的条件即可求解不等式．
（3）结合已知不等式可转化为求解最值，进行变换主元构造一次函数，结合一次函数的单调性可求．
【解答】解（1）函数f（x）在区间[﹣2，2]上是减函数．
（2）由（1）知函数f（x）在区间[﹣2，2]上是减函数，
由f（2x+3）＜f（1﹣x），
解得．
所以不等式f（2x+3）＜f（1﹣x）的解集为．
（3）因为函数f（x）在区间[﹣2，2]上是减函数，且f（﹣2）＝2，
若f（x）≤﹣2at+2，存在x∈[﹣2，2]，对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式恒成立，
只需对任意的a∈[﹣2，2]，﹣2at+2≥﹣2恒成立．
令y＝﹣2at+2，此时y可以看作a的一次函数，且在a∈[﹣2，2]时，y≥﹣2恒成立．
因此只需，
解得﹣1≤t≤1，
所以实数t的取值范围为[﹣1，1]．
【点评】本题主要考查了函数单调性的判断及利用单调性求解不等式，还考查了不等式的恒成立问题，此类问题常转化为函数的最值问题的求解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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