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第三章 圆锥曲线的方程
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．（1，+∞） C．（1，2） D．
2．（5分）AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（　　）
A．2 B． C． D．
3．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6＝0和直线l2：x＝﹣2，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　）
A．2 B．3 C． D．
4．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若∠F1PF2为直角，则椭圆E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）已知椭圆C的方程为1（m＞0），如果直线yx与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为（　　）
A．2 B．2 C．8 D．2
7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（　　）
A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
8．（5分）过双曲线1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若，则双曲线的离心率是（　　）
A． B． C． D．
9．（5分）已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
10．（5分）设点P为椭圆C：上的动点（除左、右顶点外），椭圆C的焦点为F1，F2，离心率为e，I为△PF1F2的内心，则直线IF1和直线IF2的斜率之积为（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P（x1，y1），Q（x2，y2），点P在l上的射影为P1，则（　　）
A．若x1+x2＝6．则|PQ|＝8
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设M（0，1），则|PM|+|PP1|
D．过点M（0，1）与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条
12．（5分）已知A、B两点的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），直线AP、BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（　　）
A．当m＝﹣1时，点P的轨迹圆（除去与x轴的交点）
B．当﹣1＜m＜0时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点）
C．当0＜m＜1时，点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线
D．当m＞1时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知：椭圆的离心率，则实数k的值为　 　 ．
14．（5分）已知点，椭圆与直线交于点A、B，则△ABM的周长为　 　 ．
15．（5分）过点（3，﹣1）且与双曲线有公共渐近线的双曲线标准方程是　 　 ．
16．（5分）已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则 最小值为　 　 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知双曲线C的离心率为，点在双曲线上，且抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合．
（1）求双曲线和抛物线的标准方程；
（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段AB的长度．
18．（12分）已知椭圆经过点（0，1），过右焦点F且不与x轴重合的动直线L交椭圆于A，C两点，当动直线L的斜率为2时，坐标原点O到L的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F的另一直线交椭圆于B，D两点，且AC⊥BD，当四边形ABCD的面积S时，求直线L的方程．
19．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线yx2的焦点，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若λ1，λ2，求λ1+λ2的值．
20．（12分）已知中心在原点的椭圆C：1的一个焦点为F1（0，3），M（x，4）（x＞0）为椭圆C上一点，△MOF1的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
21．（12分）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，经过l上任意一点P作抛物线x2＝4y的两条切线，切点分别为A、B．
（I）求证：PA⊥PB；
（2）求2的值．
22．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当最小时，求点T的坐标．
第三章 圆锥曲线的方程
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．（1，+∞） C．（1，2） D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的标准方程，得焦点在y轴上的椭圆方程中，x2、y2的分母均为正数，且y2的分母较大，由此建立关于k的不等式组，解之即得实数k的取值范围．
【解答】解：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，
∴，解之得1＜k＜2
实数k的取值范围是（1，2）
故选：C．
【点评】本题给出标准方程表示焦点在y轴上的椭圆，求参数k的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程的概念，属于基础题．
2．（5分）AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】先设出A，B的坐标，进而根据抛物线的定义可知|AB|＝x1+x2+p求得x1+x2的值，进而求得AB的中点的横坐标．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义可知
|AB|＝x1+x2+p＝x1+x2+1＝4，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义．在涉及抛物线的焦点弦问题时，常需要借助抛物线的定义来解决．
3．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6＝0和直线l2：x＝﹣2，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】设抛物线上一点P的坐标，求出P到直线l1的距离d1和P到直线l2的距离d2，利用函数的性质求出d1+d2的最小值．
【解答】解：设抛物线y2＝4x上一动点P（，a），a∈R；
则P到直线l1的距离为d1（a2﹣3a+6），
P到直线l2的距离为d22；
∴d1+d2a2a，
则a时，d1+d2取得最小值是3．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式应用问题，是中档题．
4．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由抛物线的定义可求出xA＝2，yA＝2，进而得到直线AB的方程，再与抛物线方程联立，求出点B的坐标，再利用面积公式S△AOB|OF| |yA﹣yB|即可求出结果．
【解答】解：如图所示，抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
∵|AF|＝3，
∴xA＝2，代入抛物线方程可得yA＝2，
∴kAB2，
∴直线AB的方程为y＝2（x﹣1），
联立方程，解得或，
∴，
∴S△AOB|OF| |yA﹣yB|，
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义和性质，考查了直线与抛物线的位置关系，同时考查了学生的运算求解能力，是中档题．
5．（5分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若∠F1PF2为直角，则椭圆E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过椭圆的定义可得|PF1|、|PF2|，利用勾股定理及离心率公式计算即得结论．
【解答】解：∠F1PF2＝90°时，
由题可知：2，即|PF2|＝2|PF1|，
又|PF2|+|PF1|＝2a，∴|PF1|，|PF2|，
由勾股定理可知：（2c）2＝（a）2+（a）2，
即：c2a2，
∴e，
故选：A．
【点评】本题考查求椭圆的离心率，涉及到三角函数的定义、勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
6．（5分）已知椭圆C的方程为1（m＞0），如果直线yx与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为（　　）
A．2 B．2 C．8 D．2
【答案】B
【分析】椭圆方程右焦点坐标（，0），M（，），把M点代入椭圆方程能求出m．
【解答】解：由椭圆方程得到右焦点的坐标为（，0），
∵直线与椭圆的一个交点M在x轴的射影恰为椭圆的右焦点F得到MF⊥x轴，
∴M的横坐标为，
代入到直线方程得到M的纵坐标为，
则M（，）
把M的坐标代入椭圆方程得：1，
化简得：（m2）2+8m2﹣128＝0，
即（m2﹣8）（m2+16）＝0
解得m2＝8，m2＝﹣16（舍去），
∵m＞0，∴m＝2．
故选：B．
【点评】本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的灵活运用．
7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（　　）
A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【分析】由线C1D1垂直平面BB1C1C，分析出|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，则动点P满足抛物线定义，问题解决．
【解答】解：由题意知，直线C1D1⊥平面BB1C1C，则C1D1⊥PC1，即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，
那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离，所以点P的轨迹是抛物线．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线定义及线面垂直的性质．
8．（5分）过双曲线1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若，则双曲线的离心率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别表示出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据求得a和b的关系，进而根据c2﹣a2＝b2，求得a和c的关系，则离心率可得．
【解答】解：直线l：y＝﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay＝0交于B（，），
l与渐近线l2：bx+ay＝0交于C（，），A（a，0），
∴（，），（，），∵，
∴，b＝2a，
∴c2﹣a2＝4a2，
∴e25，∴e，
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．
9．（5分）已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设出A，B和P的坐标，把A，B点坐标代入双曲线方程可求得直线PA和直线PB的斜率之积，进而求得a和b的关系，进而根据a，b和c的关系求得a和c的关系即双曲线的离心率．
【解答】解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，
设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x，y），
则，，．
故选：D．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．涉及了双曲线的对称性质，考查了学生对双曲线基础知识的全面掌握．
10．（5分）设点P为椭圆C：上的动点（除左、右顶点外），椭圆C的焦点为F1，F2，离心率为e，I为△PF1F2的内心，则直线IF1和直线IF2的斜率之积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质，求得e，由，则xG，xIx0，根据斜率公式，即可求得答案．
【解答】解：如图，连接PI并延长交x轴于G，
由角平分线定理可得：，，
∴e，
设P（x0，y0），I（xI，yI），G（xG，0），由题意可知：1，则b2，
∴，则yI，
∵，即，
则xG，，得xIx0，
∴，，则 ，
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的简单性质及椭圆定义的应用，考查了内角平分线定理的应用，属于中档题．
11．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P（x1，y1），Q（x2，y2），点P在l上的射影为P1，则（　　）
A．若x1+x2＝6．则|PQ|＝8
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设M（0，1），则|PM|+|PP1|
D．过点M（0，1）与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条
【答案】ABC
【分析】利用抛物线的性质，结合抛物线的方程，得出结论．
【解答】解：若直线的斜率存在，设y＝k（x﹣1），
由，联立解方程组k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
，x1x2＝1，
A，若x1+x2＝6，则k2＝1，故k＝1或﹣1，|PQ|，故A正确；
取PQ点中点M，M在l上的投影为N，Q在l上的投影为Q'，根据抛物线的定义，|PP1|＝|PF|，|QQ'|＝|QF|，
M，N为梯形的中点，故|MN|（|PP1|+|QQ'|）|PQ|，故B成立；
对于C，M（0，1），|PM|+|PP1|＝|MP|+|PF|≥|MF|，
过M（0，1）相切的直线有2条，与x轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一条，所以最多有三条．
故选：ABC．
【点评】考查抛物线的性质，抛物线与直线的关系，中档题．
12．（5分）已知A、B两点的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），直线AP、BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（　　）
A．当m＝﹣1时，点P的轨迹圆（除去与x轴的交点）
B．当﹣1＜m＜0时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点）
C．当0＜m＜1时，点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线
D．当m＞1时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点）
【答案】ABD
【分析】设出P的坐标，利用斜率乘积转化求解轨迹方程，通过m的范围，判断选项的正误即可．
【解答】解：点P的坐标为（x，y），直线AP的斜率为，
由已知得，
化简得点P的轨迹方程为，
当m＝﹣1时，点P的轨迹圆（除去与x轴的交点）所以A正确；
当﹣1＜m＜0时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点）．所以B正确；
当0＜m＜1时，点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线，不正确，应该是双曲线，所以C不正确；
当m＞1时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点），所以D正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，以及轨迹的判断，命题的真假，是中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知：椭圆的离心率，则实数k的值为　或3　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】当K＞5时，由 e求得K值，当0＜K＜5时，由 e，求得K值．
【解答】解：当K＞5时，e，K．
当0＜K＜5时，e，K＝3．
综上，K或3．
故答案为：或3．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，易漏讨论焦点在y轴上的情形．
14．（5分）已知点，椭圆与直线交于点A、B，则△ABM的周长为　8　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】确定椭圆的几何量，再利用椭圆的定义，即可求△ABM的周长
【解答】解：椭圆中，a＝2，b＝1，c，
∴为椭圆的右焦点，直线过椭圆的左焦点，
∴△ABM的周长为4a＝8
故答案为：8
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，属于基础题．
15．（5分）过点（3，﹣1）且与双曲线有公共渐近线的双曲线标准方程是　1　 ．
【答案】1．
【分析】据共渐近线的双曲线的方程的一般形式设出双曲线的方程，将（3，﹣1）的坐标代入求出待定系数λ，即得到要求的双曲线方程．
【解答】解：设所求双曲线的方程为双曲线λ（λ≠0），
将点（3，﹣1）代入得λ＝2，
所求双曲线的标准方程为：1．
故答案为：1．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，双曲线方程的求法，求共渐近线的双曲线方程的一般方法是待定系数法：与1有共同渐近线的双曲线方程为λ（λ≠0）．
16．（5分）已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则 最小值为　﹣2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，设P（x，y）（x≥1），根据双曲线的方程，易得A1、F2的坐标，将其代入 中，可得关于x、y的关系式，结合双曲线的方程，可得 4x2﹣x﹣5＝45，由x的范围，可得答案．
【解答】解：根据题意，设P（x，y）（x≥1），
易得A1（﹣1，0），F2（2，0），
（﹣1﹣x，y） （2﹣x，y）＝x2﹣x﹣2+y2，
又x21，故y2＝3（x2﹣1），
于是 4x2﹣x﹣5＝45，
当x＝1时，取到最小值﹣2；
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查双曲线方程的应用，涉及最值问题；解题的思路是先设出变量，表示出要求的表达式，结合圆锥曲线的方程，将其转化为只含一个变量的关系式，进而由不等式的性质或函数的最值进行计算．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知双曲线C的离心率为，点在双曲线上，且抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合．
（1）求双曲线和抛物线的标准方程；
（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段AB的长度．
【答案】（1）双曲线标准方程为，抛物线的标准方程为；
（2）．
【分析】（1）设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），通过离心率结合点在双曲线上，解得a2＝9，b2＝3，得到双曲线方程．求出抛物线焦点为，得到p，然后求出抛物线方程．
（2）设直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），联立得，利用韦达定理，结合抛物线的定义，推出结果即可．
【解答】解：（1）设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），由题设
所以①，又点在双曲线上，所以②
由①②解得a2＝9，b2＝3，
故双曲线标准方程为；
设双曲线的焦距为2c，因为c2＝a2+b2＝12，得，所以抛物线焦点为，
即，所以抛物线的标准方程为．
（2）设直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），
联立得即，
故，
由抛物线定义知，，
所以．
【点评】本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．
18．（12分）已知椭圆经过点（0，1），过右焦点F且不与x轴重合的动直线L交椭圆于A，C两点，当动直线L的斜率为2时，坐标原点O到L的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F的另一直线交椭圆于B，D两点，且AC⊥BD，当四边形ABCD的面积S时，求直线L的方程．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）x﹣y﹣1＝0或x+y﹣1＝0．
【分析】（1）先设F（c，0）表示出直线L的方程，再由点到直线的距离求出c的值，将点（0，1）代入椭圆可求出b的值，最后根据a2＝b2+c2得a的值，进而可得到椭圆方程．
（2）先设直线L的方程为y＝k（x﹣1）、点A（x1，y1）、C（x2，y2），然后联立直线与椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，进而得到x1+x2、x1x2的表达式，代入|AC|得到关于k的表达式，再由AC⊥BD表示出直线BD，同理可得到|BD|的表达式，最后根据可求出k的值，确定直线L的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），则直线L的方程为2x﹣y﹣2c＝0，
∵坐标原点O到L的距离为，
∴，c＝1．
∵椭圆经过点（0，1），
∴，b＝1，由a2＝b2+c2得a2＝2．
∴椭圆的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线L过点F（1，0），设其方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），点A（x1，y1），C（x2，y2），
解得，（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0．
∴，
（*）
∵过F的另一直线交椭圆于B，D两点，且AC⊥BD，k≠0，
∴直线BD的方程为y（x﹣1）．
把（*）式中k换成，类比可得，
∴四边形ABCD的面积，
解得k＝±1，∴直线L的方程为x﹣y﹣1＝0或x+y﹣1＝0．
【点评】本题主要考查椭圆的基本性质和直线与椭圆的综合题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点考查对象，要着重复习．
19．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线yx2的焦点，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若λ1，λ2，求λ1+λ2的值．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）﹣10．
【分析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由已知条件推导出b＝1，，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），设直线l的方程为y＝k（x﹣2），代入方程，得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5＝0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出λ1+λ2的值．
【解答】（Ⅰ）解：设椭圆C的方程为 （a＞b＞0），
抛物线方程化为x2＝4y，其焦点为（0，1），…（2分）
则椭圆C的一个顶点为（0，1），即b＝1，
由e，解得a2＝5，
∴椭圆C的标准方程为．…（5分）
（Ⅱ）证明：∵椭圆C的方程为，
∴椭圆C的右焦点F（2，0），…（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k（x﹣2），代入方程，
并整理，得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5＝0，…（7分）
∴，，…（8分）
又，，，，
而，，
即（x1﹣0，y1﹣y0）＝λ1（2﹣x1，﹣y1），（x2﹣0，y2﹣y0）＝λ2（2﹣x2，﹣y2），
∴，，…（10分）
∴λ1+λ210．…（12分）
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查两数和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．
20．（12分）已知中心在原点的椭圆C：1的一个焦点为F1（0，3），M（x，4）（x＞0）为椭圆C上一点，△MOF1的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（1）椭圆C的方程为；
（2）存在，直线方程为y＝4x．
【分析】（1）根据椭圆C的焦点为F1（0，3），可得椭圆C的方程为，利用M（x，4）（x＞0）椭圆C上一点，△MOF1的面积为，求出M的坐标代入椭圆C的方程，即可确定椭圆C的方程；
（2）假设存在符合题意的直线l存在，设直线方程代入椭圆方程，消去y，可得一元二次方程，利用韦达定理，结合以线段AB为直径的圆恰好经过原点，，即可求得结论．
【解答】解：（1）因为椭圆C的焦点为F1（0，3），∴b2＝a2+9，则椭圆C的方程为
∵M（x，4）（x＞0）椭圆C上一点，△MOF1的面积为
∴，∴x＝1，∴M（1，4）
代入椭圆C的方程，可得
∴a4﹣8a2﹣9＝0
∴a2＝9
∴椭圆C的方程为；
（2）假设存在符合题意的直线l存在，设直线方程为y＝4x+m，代入椭圆方程，消去y，可得18x2+8mx+m2﹣18＝0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，x1x2，
因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，所以
∴x1x2+y1y2＝0．
∴x1x2+16x1x2+4m（x1+x2）+m2＝0
∴174mm2＝0
∴
此时Δ＝64m2﹣72（m2﹣18）＞0
∴直线方程为y＝4x．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆方程，正确运用韦达定理是关键．
21．（12分）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，经过l上任意一点P作抛物线x2＝4y的两条切线，切点分别为A、B．
（I）求证：PA⊥PB；
（2）求2的值．
【答案】（1）证明：准线l的方程为：y＝﹣1，F（0，1），
设P（n，﹣1），A（a，），B（b，），
∵x2＝4y，∴yx2，∴．
∴kPA，即a2﹣2an﹣4＝0．kPB，即b2﹣2bn﹣4＝0．
∴a，b是方程x2﹣2nx﹣4＝0的两根．
则ab＝﹣4．即1．
∴PA⊥PB；
（2）0．
【分析】（1）由抛物线方程求出抛物线的准线方程和焦点坐标，设出A，B的坐标，求出原函数的导函数，利用导数相等列式得到a2﹣2an﹣4＝0，b2﹣2bn﹣4＝0．从而得到a，b是方程x2﹣2nx﹣4＝0的两根，则答案得证；
（2）求出，2，作差后得答案．
【解答】（1）证明：准线l的方程为：y＝﹣1，F（0，1），
设P（n，﹣1），A（a，），B（b，），
∵x2＝4y，∴yx2，∴．
∴kPA，即a2﹣2an﹣4＝0．kPB，即b2﹣2bn﹣4＝0．
∴a，b是方程x2﹣2nx﹣4＝0的两根．
则ab＝﹣4．即1．
∴PA⊥PB；
（2）解：（﹣a，1） （b，1）＝﹣abn2+4．
（﹣n，2），2＝n2+4
∴2＝0．
【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了平面向量在解题中的应用，综合考查了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，是压轴题．
22．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当最小时，求点T的坐标．
【答案】（1）1．
（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），
①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x＝my﹣2，则PQ的斜率．
由 （m2+3）y2﹣4my﹣2＝0，
所以，
于是，从而，
即，则直线ON的斜率，
又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t＝m．
从而，即kOT＝kON，
所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．
②（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．
【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2＝b2+c2及焦距2c＝4建立方程组求得a2，b2；
第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．
【解答】解：（1）依题意有解得
所以椭圆C的标准方程为1．
（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），
①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x＝my﹣2，则PQ的斜率．
由 （m2+3）y2﹣4my﹣2＝0，
所以，
于是，从而，
即，则直线ON的斜率，
又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t＝m．
从而，即kOT＝kON，
所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．
②由两点间距离公式得，
由弦长公式得，
所以，
令，则（当且仅当x2＝2时，取“＝”号），
所以当 最小时，由x2＝2＝m2+1，得m＝1或m＝﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．
【点评】本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：
1、设交点坐标，设直线方程；
2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；
3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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