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第四章 指数函数与对数函数
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（5分）已知集合A＝{x|log2x＜1}，集合B，则A∪B＝（　　）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（0，2） D．[0，+∞）
2．（5分）已知函数f（x）＝4+ax+1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（　　）
A．（﹣1，5） B．（﹣1，4） C．（0，4） D．（4，0）
3．（5分）函数y的单调递增区间为（　　）
A．（﹣∞，0] B．[0，+∞） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
4．（5分）设f（x），则f[f（11）]的值是（　　）
A．1 B．e C．e2 D．e﹣1
5．（5分）若a，b，c满足2a＝3，b＝log25，3c＝2．则（　　）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a
6．（5分）下列函数中，在（﹣∞，0）上单调递减的是（　　）
A．y＝2sinx B．y
C．y＝log3（） D．y＝x2﹣4x
7．（5分）函数f（x）＝loga（4﹣3ax）在[1，3]是增函数，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数f（x），若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）下列各式中一定成立的有（　　）
A． B．
C． D．
10．（5分）已知正实数a，b满足ba＝4，且a+log2b＝3，则a+b的值可以为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
11．（5分）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．f（4）＝﹣3
B．函数y＝f（x）的图象与x轴有两个交点
C．函数y＝f（x）的最小值为﹣4
D．函数y＝f（x）的最大值为4
E．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称
12．（5分）已知函数f（x），下面说法正确的有（　　）
A．f（x）图象关于原点对称
B．f（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的值域为（﹣1，1）
D． x1，x2∈R，且x1≠x2，0恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）计算：lg8﹣e0+（）lg25＝　 　 ．
14．（5分）已知函数f（x），则f（0）﹣f（﹣3）＝　 　 ．
15．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）在（0，+∞）上单调递增，则m值为　 　 ．
16．（5分）不等式|log2x﹣a|＜5对任意x∈[4，16]恒成立，则实数a的取值范围为　 　 ．
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）计算：．
（1）；
（2）（lg5）2﹣（lg2）2+lg4．
18．（12分）已知f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点P（2，4）．
（1）求a的值；
（2）已知f（2x）﹣3f（x）﹣4＝0，求x．
19．（12分）设f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）＝2．
（1）求a的值；
（2）求f（x）在区间上的最大值．
20．（12分）设函数f（x）＝a 2x﹣2﹣x（a∈R）．
（1）若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，求函数的零点x0；
（2）若函数h（x）＝f（x）+4x+2﹣x在x∈[0，1]的最大值为﹣2，求实数a的值．
21．（12分）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x（x∈[0，10]）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率（k∈[0.5，1]）．A公司生产t万件防护服还需投入成本（20+8x+50t）（万元）．
（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；
（2）对任意的x∈[0，10]（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）．
22．（12分）已知函数f（x）＝lg（x+2）﹣lg（2﹣x）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）求不等式f（x）＞1的解集．
第四章 指数函数与对数函数
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（5分）已知集合A＝{x|log2x＜1}，集合B，则A∪B＝（　　）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（0，2） D．[0，+∞）
【答案】D
【分析】可求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．
【解答】解：A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}；
∴A∪B＝[0，+∞）．
故选：D．
【点评】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．
2．（5分）已知函数f（x）＝4+ax+1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（　　）
A．（﹣1，5） B．（﹣1，4） C．（0，4） D．（4，0）
【答案】A
【分析】依题意，当x+1＝0时，函数f（x）＝4+ax+1的图象恒过定点，从而可得答案．
【解答】解：依题意知，当x+1＝0，即x＝﹣1时，函数f（x）＝4+ax+1的图象恒过定点（﹣1，4+a0），即（﹣1，5）．
故定点P的坐标是（﹣1，5）．
故选：A．
【点评】本题考查指数函数的性质，考查函数过定点问题，属于中档题．
3．（5分）函数y的单调递增区间为（　　）
A．（﹣∞，0] B．[0，+∞） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【答案】A
【分析】根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论．
【解答】解：∵y，
∴设t＝x2﹣1，则yt，
则函数t＝x2﹣1在（﹣∞，0]，yt在其定义域上都是减函数，
∴y在（﹣∞，0]上是单调递增，
故选：A．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性的判定，利用指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．
4．（5分）设f（x），则f[f（11）]的值是（　　）
A．1 B．e C．e2 D．e﹣1
【答案】B
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（11）的值，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x），
则f（11）＝log39＝2，则f[f（9）]＝f（2）＝e；
故选：B．
【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
5．（5分）若a，b，c满足2a＝3，b＝log25，3c＝2．则（　　）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a
【答案】A
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：2a＝3，可得a∈（1，2），
b＝log25＞2，
由3c＝2．可得c∈（0，1）．
∴c＜a＜b．
故选：A．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（5分）下列函数中，在（﹣∞，0）上单调递减的是（　　）
A．y＝2sinx B．y
C．y＝log3（） D．y＝x2﹣4x
【答案】D
【分析】由已知结合基本初等函数及复合函数的单调性分别检验各选项即可判断．
【解答】解：由于y＝sinx在（﹣∞，0）不单调，y＝2sinx在（﹣∞，0）上不单调，A错误；
y2在（﹣∞，0）上不单调，B错误；
根据复合函数的单调性可知，y＝log3（）在（﹣∞，0）上单调递增，C错误；
y＝x2﹣4x的开口向上，对称轴x＝2，
根据二次函数的性质可知y＝x2﹣4x在（﹣∞，0）上单调递减，D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本初等函数及复合函数的单调性的判断，属于基础题．
7．（5分）函数f（x）＝loga（4﹣3ax）在[1，3]是增函数，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复合函数单调性列式求解．
【解答】解：f（x）＝loga（4﹣3ax）为f（x）＝logat，t＝4﹣3ax＞0复合而成，
因为a＞0，所以t＝4﹣3ax在[1，3]是减函数，
因此要满足条件，需，∴．
故选C．
【点评】本题考查复合函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题．
8．（5分）已知函数f（x），若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]
【答案】D
【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y＝|f（x）|的图象，和函数y＝ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．
【解答】解：由题意可作出函数y＝|f（x）|的图象，和函数y＝ax的图象，
由图象可知：函数y＝ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f（x）|在第二象限的部分解析式为y＝x2﹣2x，
求其导数可得y′＝2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，
故只需直线y＝ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]
故选：D．
【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）下列各式中一定成立的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据指数幂的原式性质对各个选项分别判断即可．
【解答】解：对于A：原式＝n7 m﹣7，故A错误；
对于B：原式，故B正确；
对于C：原式，故C错误；
对于D：原式，故D正确；
故选：BD．
【点评】本题考查了指数幂的原式性质，是一道基础题．
10．（5分）已知正实数a，b满足ba＝4，且a+log2b＝3，则a+b的值可以为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】BC
【分析】将ba＝4等号两边取以b为底的对数，结合已知条件，转化为关于a和logb2的方程，求出a和log2b，即可得到所求．
【解答】解：正实数a，b满足ba＝4，
∴a＝logb4＝2logb2，
∵a+log2b＝3，
∴2logb2+log2b＝3，
解得logb2，或logb2＝1，
∴b＝4，或b＝2
∴a＝1，或a＝2，
∴a+b＝5，a+b＝4，
故选：BC．
【点评】本题考查了指数式、对数式的互化，考查了对数运算，主要考查计算能力，属于基础题．
11．（5分）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．f（4）＝﹣3
B．函数y＝f（x）的图象与x轴有两个交点
C．函数y＝f（x）的最小值为﹣4
D．函数y＝f（x）的最大值为4
E．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称
【答案】ABC
【分析】对于A，直接计算即可；对于B，令f（x）＝0，求出x的值即可判断；对于CD，；对于E，利用特殊点验证不成立即可．
【解答】解：对于A，，故选项A正确；
对于B，令，则log2x＝3或log2x+1＝0，解得x＝8或，故选项B正确；
对于CD，，则函数f（x）有最小值﹣4，无最大值，故选项C正确，选项D错误；
对于E，若函数f（x）关于直线x＝2对称，则f（0）＝f（4）＝﹣3，但f（x）在x＝0处无意义，故选项E错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查对数函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于基础题．
12．（5分）已知函数f（x），下面说法正确的有（　　）
A．f（x）图象关于原点对称
B．f（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的值域为（﹣1，1）
D． x1，x2∈R，且x1≠x2，0恒成立
【答案】AC
【分析】根据指数幂的运算法则和指数函数的性质，分别判断函数的奇偶性，单调性和值域即可．
【解答】解：A．函数的定义域为R，f（﹣x）f（x），即f（x）是奇函数，图象关于原点对称，故A正确，B错误．
C．f（x）1，
∵2x＞0，∴1+2x＞1，01，02，﹣20，﹣1＜11，
即﹣1＜f（x）＜1，即函数f（x）的值域为（﹣1，1），故C正确，
D．f（x）1，
∵y＝1+2x为增函数，y为减函数，y为增函数，∴y＝1为增函数，
则 x1，x2∈R，且x1≠x2，0恒成立，故D错误，
故正确的是AC，
故选：AC．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合函数奇偶性和单调性的定义，利用定义法是解决本题的关键．难度中等．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）计算：lg8﹣e0+（）lg25＝　4　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算法则即可得出．
【解答】解：lg8﹣e0+（）lg25
原式lg251
＝lg4+lg25+3﹣1
＝lg100+2
＝2+2
＝4
故答案为：4
【点评】本题考查了指数幂的运算性质，对数的运算法则，属于基础题．
14．（5分）已知函数f（x），则f（0）﹣f（﹣3）＝　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【分析】利用分段函数求解函数值即可．
【解答】解：函数f（x），
则f（0）﹣f（﹣3）＝20﹣log24＝1﹣2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，是基础题．
15．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）在（0，+∞）上单调递增，则m值为　2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，可得 m2﹣3m+3＝1，m2﹣m﹣1＞0，由此求得m的值．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）在 （0，+∞）上单调递增，
∴m2﹣3m+3＝1，且m2﹣m﹣1＞0，
解得m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
16．（5分）不等式|log2x﹣a|＜5对任意x∈[4，16]恒成立，则实数a的取值范围为　（﹣1，7）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由|log2x﹣a|＜5，得﹣5＜log2x﹣a＜5，即log2x﹣5＜a＜log2x+5．把问题转化为（log2x﹣5）max＜a＜（log2x+5）min，分别求出log2x﹣5的最大值与log2x+5的最小值得答案．
【解答】解：由|log2x﹣a|＜5，得﹣5＜log2x﹣a＜5，
即log2x﹣5＜a＜log2x+5．
∵x∈[4，16]，∴log2x∈[2，4]，
要使不等式|log2x﹣a|＜5对任意x∈[4，16]恒成立，
则（log2x﹣5）max＜a＜（log2x+5）min，
即﹣1＜a＜7．
∴实数a的取值范围为（﹣1，7）．
故答案为：（﹣1，7）．
【点评】本题考查恒成立问题的求解方法，考查绝对值不等式的解法，考查数学转化思想方法，是中档题．
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）计算：．
（1）；
（2）（lg5）2﹣（lg2）2+lg4．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可；
（2）进行对数的运算即可．
【解答】解：（1）原式＝2+4﹣5＝1；
（2）原式＝（lg5+lg2）（lg5﹣lg2）+lg4＝lg5﹣lg2+2lg2＝lg5+lg2＝1．
【点评】考查分数指数幂和对数的运算．
18．（12分）已知f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点P（2，4）．
（1）求a的值；
（2）已知f（2x）﹣3f（x）﹣4＝0，求x．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据待定系数法求出a的值即可；（2）先求出f（x）的表达式，解关于2x的方程，结合指数函数的性质，从而求出x的值即可．
【解答】解：（1）由f（x）经过点P（2，4）得：
a2＝4，又a＞0解得：a＝2…（6分）
（2）由（1）得f（x）＝2x，
由f（2x）﹣3f（x）﹣4＝0，
得：22x﹣3 2x﹣4＝0，解得：2x＝4（2x＝﹣1＜0舍去），
由2x＝4，解得x＝2…（12分）
【点评】本题考查了指数函数的性质，考察复合函数，是一道基础题．
19．（12分）设f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）＝2．
（1）求a的值；
（2）求f（x）在区间上的最大值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由f（1）＝2可解得a＝2；
（2）函数y＝log2x在（0，+∞）上单调递增，函数y＝（3﹣x）（1+x）在0，1）上单调递增，在上单调递减，根据复合函数单调性的“同增异减”原理，可得f（x）的单调性，从而可求其最大值．
【解答】（1）f（1）＝loga2+loga2＝loga4＝2，解得a＝2．
（2）函数f（x）＝log2（1+x）+log2（3﹣x）＝log2（3﹣x）（1+x），定义域为，
由函数y＝log2x在（0，+∞）上单调递增，
函数y＝（3﹣x）（1+x）在0，1）上单调递增，在上单调递减，
可得函数f（x）在0，1）上单调递增，在上单调递减．
故f（x）在区间上的最大值为f（1）＝log24＝2．
综上所述：f（x）在区间上的最大值为2．
【点评】本题考查函数的最值，考查学生的运算能力，属于中档题．
20．（12分）设函数f（x）＝a 2x﹣2﹣x（a∈R）．
（1）若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，求函数的零点x0；
（2）若函数h（x）＝f（x）+4x+2﹣x在x∈[0，1]的最大值为﹣2，求实数a的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）通过f（﹣x）+f（x）＝0，求出a＝1．得到函数的解析式，利用解析式为0，求解函数的零点即可．
（2）利用换元法通过2x＝t∈[1，2]，h（x）＝t2+at，t∈[1，2]，结合二次函数的性质求解函数的最值，推出结果即可．
【解答】解：（1）∵f（x）的图象关于原点对称，
∴f（x）为奇函数，
∴f（﹣x）+f（x）＝0，
∴a 2﹣x﹣2﹣x+a 2x﹣2x＝0，
即∴（a﹣1） （2﹣x+2x）＝0，∴a＝1．
令，
则2 （2x）2+3 （2x）﹣2＝0，
∴（2x+2） （2 2x﹣1）＝0，又2x＞0，
∴2 2x﹣1＝0，即x＝﹣1，
所以函数g（x）的零点为x0＝﹣1．
（2）h（x）＝a 2x﹣2﹣x+4x+2﹣x，x∈[0，1]，
令2x＝t∈[1，2]，h（x）＝t2+at，t∈[1，2]，
对称轴，
当，即a≥﹣3时，hmax（t）＝h（2）＝4+2a＝﹣2，∴a＝﹣3；
②当，即a＜﹣3时，hmax（t）＝h（1）＝1+a＝﹣2，∴a＝﹣3（舍）；
综上：实数a的值为﹣3．
【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的最值的求法，换元法以及二次函数的性质的应用，是中档题．
21．（12分）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x（x∈[0，10]）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率（k∈[0.5，1]）．A公司生产t万件防护服还需投入成本（20+8x+50t）（万元）．
（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；
（2）对任意的x∈[0，10]（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）．
【答案】（1）y＝30t﹣20﹣7x，x∈[0，10]．
（2）当工厂工人的复工率达到0.65时，对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损．
【分析】（1）利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可．
（2）若对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损，得到在x∈[0，10]恒成立，利用换元法，结合函数的单调性求解函数的最值即可得到结果．
【解答】解：（1）y＝x+80t﹣（20+8x+50t）＝30t﹣20﹣7x，
，x∈[0，10]．
（2）若对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损，
则在x∈[0，10]恒成立，
∴k，
∴k，
设f（t）＝2t在[2，12]上递增，
∴f（x）max＝f（12）＝2929.167，
∴k0.648，
即当工厂工人的复工率达到0.65时，对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损．
【点评】本题考查实际问题的处理方法，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝lg（x+2）﹣lg（2﹣x）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）求不等式f（x）＞1的解集．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可．
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明．
（3）根据对数函数的单调性进行判断．
【解答】解：（1）要使函数f（x）有意义．则，
解得﹣2＜x＜2．故所求函数f（x）的定义域为（﹣2，2）．
（2）由（Ⅰ）知f（x）的定义域为（﹣2，2），
设 x∈（﹣2，2），则﹣x∈（﹣2，2）．
且f（﹣x）＝lg（﹣x+2）﹣lg（2+x）＝﹣f（x），
故f（x）为奇函数．
（3）因为f（x）在定义域（﹣2，2）内是增函数，
因为f（x）＞1，所以，解得x．
所以不等式f（x）＞1的解集是（，2）．
【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，结合函数奇偶性单调性的性质是解决本题的关键．
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