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2025高中数学必修一北师大版（1.1.3元素与集合关系的判断）同步练习
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(共15题，共45.0分)
1．(3分)下列对象不能组成集合的是（　　）
A. 不超过20的质数
B. π的近似值
C. 方程x2=1的实数根
D. 函数y=x2，x∈R的最小值
2．(3分)已知集合M={x∈Z|-2＜x≤1}，则M的元素个数为（　　）
A. 4 B. 3 C. 7 D. 8
3．(3分)设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，M={x|x=ab，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4．(3分)已知集合A={x|x2-x＜0}，B={x|2x＜1}，则（　　）
A. A∩B={x|x＜0} B. A∪B=R
C. A∪B={x|x＞1} D. A∩B=
5．(3分)若[a+1，3a-2]为一确定的区间，则实数a的取值范围是（　　）
A. （-∞，） B. （，+∞）
C. （-∞，] D. [，+∞）
6．(3分)已知集合A={x|ax2-2x+a=0}中至多含有一个元素，则实数a的取值范围（　　）
A. [-1，1]
B. [1，+∞）∪（-∞，-1]
C. [-1，1]∪{0}
D. [1，+∞）∪（-∞，-1]∪{0}
7．(3分)若集合P={0，1}，则集合M={A|A P}可用列举法表示为（　　）
A. {0，1} B. { ，0，1}
C. { ，{0}，{1}} D. { ，{0}，{1}，{0，1}}
8．(3分)集合“正偶数的全体”，用描述法表示，正确的为（　　）
A. {x|x=2n,n∈N*} B. {x|x=2n-1，n∈N*}
C. {x|x=2n,n∈Z} D. {x|x=2n+1，n∈Z}
9．(3分)以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合为（　　）
A. {2，3，1} B. {2，3，-1}
C. {2，3，-2，1} D. {-2，-3，1}
10．(3分)设点A（-2，3），B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
11．(3分)下列式子中，正确的是（　　）
A. φ∈{φ}
B. 若a∈N，b∈N，则a+b的最小值为2
C. N*∈N
D. 空集是任何集合的真子集
12．(3分)已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“Ω集合”．给出下列4个集合：
①M={（x，y）|y=lgx} 　　 　　　
②M={（x，y）|y=cosx+sinx}
③M={（x，y）|y=-} 　　　　 　　
④M={（x，y）|y=ex-3}
其中是“Ω集合”的所有序号是（　　）
A. ②③ B. ②④ C. ①②④ D. ①③④
13．(3分)对于函数f（x），如果有限集合S满足：①S N*；②当x∈S时，f（x）∈S，则称集合S是函数f（x）的生成集．例如f（x）=4-x，那么集合S1={2}，S2={1，3}，S3={1，2，3}都是f（x）的生成集，对于f（x）=（x＞2，a，b∈R，若f（x）是减函数，S是f（x）的生成集，则S不可能是（　　）
A. {3，4，5，6，8，14} B. {3，4，6，10，18}
C. {3，5，6，7，10，16} D. {3，4，6，7，12，22}
14．(3分)已知集合M={（x,y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“理想集合”．给出下列4个集合：
①M={（x,y）|y=}；②M={（x,y）|y=sinx}；③M={（x,y）|y=ex-2}；
④M={（x,y）|y=lgx}．
其中所有“理想集合”的序号是（　　）
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④
15．(3分)已知集合M={（x,y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“理想集合”．给出下列集合：①M={（x,y）|y=}；②M={（x,y）|y=cosx}；③M={（x,y）|y=ex-2}；④M={（x,y）|y=lgx}．其中所有“理想集合”的序号是（　　）
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④
二、多选题(共5题，共15.0分)
16．(3分)下列选项正确的有（　　）
A. 集合{x|1＜x＜4}用区间表示为（1，4）
B. 集合{x|x≥0}用区间表示为[0，+∞）
C. 集合{x|-1＜x≤3}用区间表示为（-1，3]
D. 实数集R用区间表示为[-∞，+∞]
17．(3分)下列对象能构成集合的是（　　）
A. 所有的正数 B. 等于2的数
C. 接近0的数 D. 不等于0的偶数
18．(3分)集合{1，3，5，7，9}用描述法可表示为（　　）
A. {x|x是不大于9的非负奇数}
B. {x|x=2k+1，k∈N，且k≤4}
C. {x|x≤9，x∈N*}
D. {x|0≤x≤9，x∈Z}
19．(3分)下列集合中，可以表示为{2，3}的是（　　）
A. {x∈Z|2≤x≤3} B. {x|x2-5x+6=0}
C. D. 不等式组的解集
20．(3分)已知集合M={（x,y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“完美对点集”．给出下列四个集合：
①M=；
②M={（x,y）|y=sinx+1}；
③M={（x,y）|y=log2x}；
④M={（x,y）|y=ex-2}．
其中是“完美对点集”的序号为（　　）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
三、填空题(共5题，共15.0分)
21．(3分)已知全集U=R，集合P={x||x-2|≥1}，则P=_____．
22．(3分)用描述法表示所有偶数组成的集合 _____．
23．(3分)不等式组的解集用区间表示为 _____．
24．(3分)设集合A={（x1，x2，x3，…，x10）|xi∈{-1，0，1}，i=1，2，3，…，10}，则集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为_____．
25．(3分)设x,y∈R，集合A={（x,y）|ax+by+1=0}，B={（x,y）|x2+y2=1}，且A∩B是一个单元素集合，若对所有的（a,b）∈{（a,b）|a＜0，b＜0}，则集合C={（x,y）|（x-a）2+（y-b）2≤1}所表示的图形的面积等于_____．
四、解答题(共5题，共75.0分)
26．(15分)用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集．
（1）由方程x2+x-2=0的根组成的集合；
（2）由直线y=-x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合；
（3）不等式3x+4≥x的解集．
27．(15分)用适当的方法表示下列集合．
（1）方程组，的解集；
（2）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合；
（3）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合；
（4）所有三角形构成的集合．
28．(15分)若A={-2，2，3，4}，B={x|x=t2，t∈A}，
（1）用列举法表示集合B．
（2）写出集合B的所有子集．
29．(15分)对正整数n,记In={1，2，3， ，n}，．
（1）用列举法表示集合P3；
（2）求集合P7中元素的个数；
（3）若集合A中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．已知集合Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集，求n的最大值．
30．(15分)已知有限集A={a1，a2， ，an}（n≥2，n∈N），若a1+a2+ +an=a1×a2× ×an，则称A为“完全集”．
（1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
（2）若A为“完全集”，且A N*，用列举法表示集合A（不需要说明理由）；
（3）若集合{a,b}为“完全集”，且a,b均大于0，证明：a,b中至少有一个大于2．
试卷答案
1．【答案】B
【解析】分析四个答案中所列的对象是否满足集合元素的确定性和互异性，即可得到答案．
解：A、一不超过20的质数，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合；
B、π的近似值，无法确定元素，不满足集合元素的确定性和互异性，故不可以构造集合；
C、方程x2=1的实数根为-1，1，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合；
D、函数y=x2，x∈R的最小值为0，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合；
故选：B．
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】D
【解析】将问题转化为方程ax2-2x+a=0至多只有一个根，分a=0和a≠0两种情况，分别求解即可．
解：对于方程ax2-2x+a=0至多只有一个根，
当a=0时，方程为-2x=0，解得x=0，此时方程只有一个实数根，符合题意；
当a≠0时，Δ=4-4a2≤0，解得a≤-1或a≥1．
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，-1]∪[1，+∞）∪{0}．
故选：D．
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】B
【解析】解方程x2-5x+6=0，得x=2，或x=3，解方程x2-x-2=0，得x=-1或x=2，由此能求出以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合．
解：解方程x2-5x+6=0，得x=2，或x=3，
解方程x2-x-2=0，得x=-1或x=2，
∴以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合为{2，3，-1}．
故选：B．
10．【答案】C
【解析】直线ax+y+2=0过定点（0，-2），直线ax+y+2=0与线段AB没有交点转化为过定点（0，-2）的直线与线段AB无公共点，作出图象，由图求解即可．直线ax+y+2=0过定点（0，-2），直线ax+y+2=0与线段AB没有交点转化为过定点（0，-2）的直线与线段AB无公共点，作出图象，由图求解即可．
解：直线ax+y+2=0恒过点M（0，-2），
且斜率为-a,
∵kMA==-，
kMB==，
由图可知：-a＞-且-a＜，
∴a∈（-，），
故选：C．
11．【答案】A
12．【答案】B
13．【答案】C
14．【答案】B
【解析】对于①，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．
对于②，画出图象，说明满足理想集合的定义，即可判断正误；
对于③，画出函数图象，说明满足理想集合的定义，即可判断正误；
对于④，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足理想集合定义．
解：对于①y=是以x,y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，
在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；
对任意（x1，y1）∈M，在另一支上也不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，
所以不满足理想集合的定义，不是理想集合．
对于②M={（x,y）|y=sinx}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，都能在图象上找到满足题意的点，
所以集合M是理想集合；
对于③M={（x,y）|y=ex-2}，如图在曲线上两点构成的直角始存在，例如取M（0，-1），N（ln2，0），满足理想集合的定义，所以正确．
对于④M={（x,y）|y=lgx}，如图取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是理想集合．
故选：B．
15．【答案】B
【解析】对于①，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．
对于②，说明满足理想集合的定义，即可判断正误；
对于③，画出函数图象，说明满足理想集合的定义，即可判断正误；
对于④，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足理想集合定义．
解：①y=是以x,y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，
在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；
对任意（x1，y1）∈M，在另一支上也不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，
所以不满足理想集合的定义，不是理想集合．
②通过余弦函数的图象分析发现，对于任意的点A都能找到对应的点B，
使得，故②成立，
③M={（x,y）|y=ex-2}，如图在曲线上两点构成的直角始终存在，
例如取M（0，-1），N（ln2，0），
满足理想集合的定义，所以正确．
④M={（x,y）|y=lgx}，如图取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是理想集合．
故选：B．
16．【答案】ABC
【解析】根据区间的表示分别判断即可．
解：集合{x|1＜x＜4}用区间表示为（1，4），故A正确，
集合{x|x≥0}用区间表示为[0，+∞），故B正确，
集合{x|-1＜x≤3}用区间表示为（-1，3]，故C正确，
实数集R用区间表示为（-∞，+∞），故D错误，
故选：ABC．
17．【答案】ABD
【解析】利用集合的概念直接求解．
解：对于A，所有的正数，能构成集合，故A正确；
对于B，等于2的数，能构成集合，故B正确；
对于C，接近0的数，没有确定性，不能构成集合，故C错误；
对于D，不等于0的偶数，能构成集合，故D正确．
故选：ABD．
18．【答案】AB
【解析】根据题中集合元素的特征可直接判断．
解：根据题意，集合{1，3，5，7，9}中的元素为不大于9的非负奇数，
题中选项A、B均可表示，
故选：AB．
19．【答案】AB
【解析】根据题意，对选项中的命题进行分析、写出对应的集合即可．
解：对于A，{x∈Z|2≤x≤3}={2，3}，满足题意；
对于B，解方程x2-5x+6=0，得x=2或x=3，所以该方程的解集为{2，3}，满足题意；
对于C，解方程组，得x=2，y=3，可表示为{（2，3）}；
对于D，解不等式组，得2＜x＜3，用集合表示为{x|2≤x≤3}，不满足题意．
故选：AB．
20．【答案】BD
【解析】利用数形结合的方法解决，根据题意，若集合M={（x,y）|y=f（x）}是“完美对点集”，就是在函数图象上任取一点A，得直线OA，过原点与OA垂直的直线OB，若OB总与函数图象相交即可．
解：对于①，y=是以x,y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足“完美对点集”的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“完美对点集”的定义，不是“完美对点集”．
对于②，M={（x,y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（，0），满足“完美对点集”的定义，所以M是“完美对点集”；
对于③，M={（x,y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以集合M不是“完美对点集”．
对于④，M={（x,y）|y=ex-2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，-1），则N（ln2，0），满足“完美对点集”的定义，所以是“完美对点集”；正确．
故答案为：②④．
故选：BD．
21．【答案】{x|x≥3，或x≤1}
【解析】解绝对值不等式|x-2|≥1即得集合P．
解：解|x-2|≥1得，x≥3，或x≤1；
∴P={x|x≥3，或x≤1}．
故答案为：{x|x≥3，或x≤1}．
22．【答案】{x|x=2n,n∈Z}
【解析】根据描述法的定义即可求出．
解：描述法为：{x|x=2n,n∈Z}．
故答案为：{x|x=2n,n∈Z}．
23．【答案】（2，6）
【解析】求出不等式组的解集，再根据区间的定义求解即可．
解：由不等式组，可得2＜x＜6，
所以不等式组的解集用区间表示为（2，6）．
故答案为：（2，6）．
24．【答案】310-210-1
【解析】由排列组合的知识知，集合A中共有310个元素，其中|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0的只有一个元素，|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10的有210个元素；从而求得．
解：集合A中共有310个元素；
其中|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0的只有一个元素，
|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10的有210个元素；
故满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为310-210-1．
故答案为：310-210-1．
25．【答案】2π
【解析】先根据A∩B是一个单元素集合，得到直线和圆相切，即a2+b2=1，结合图象得到集合C的面积=半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的，问题得以解决．
解：集合A={（x,y）|ax+by+1=0}，B={（x,y）|x2+y2=1}，且A∩B是一个单元素集合，
∴直线和圆相切，
∴=1，即a2+b2=1，
∵（a,b）∈{（a,b）|a＜0，b＜0}，C={（x,y）|（x-a）2+（y-b）2≤1}，
∴圆心在以原点为圆心，以1为半径的圆上的一部分（第三象限）
∴如图所示，集合C中圆的边界的移动是半径的为1的圆的边界的移动就是沿着那个半径为2的那个圆弧上，
∴集合C的面积=半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的，
∴集合C的面积=π+π=2π，
故答案为：2π．
26．【解析】（1）求出方程的根，求出集合，判断即可；
（2）根据x,y的范围以及直线方程求出集合，判断即；
（3）解不等式求出集合，判断即可．
解：（1）方程x2+x-2=0的根为-2，1，
故方程x2+x-2=0的根组成的集合为{-2，1}，是有限集；
（2）用描述法表示该集合为M={（x,y）|y=-x+4，x∈N，y∈N}，
或用列举法表示该集合为{（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0）}，是有限集；
（3）由3x+4≥x得2x≥-4，故x≥-2，
故不等式3x+4≥x的解集是[-2，+∞），是无限集．
27．【解析】根据题意以及集合的表示法，选择恰当的方法表示各集合即可．
解：（1）．解方程组，得，故解集为{（4，-2）}；
（2）．集合的代表元素是数x,用描述法表示为{x|x=3k+2，k∈N且x＜1000}．
（3）．集合的代表元素是点（x,y），用描述法表示为{（x,y）|x＜0且y＞0}
（4）．集合用描述法表示为{x|x是三角形}，简写为{三角形}．
28．【解析】（1）根据条件即可得出集合B的所有元素，从而可用列举法表示出集合B；
（2）根据子集的概念便可写出集合B的所有子集．
解：（1）据题意，B的所有元素为，4，9，16；
∴B={4，9，16}；
（2）集合B的所有子集为：
，{4}，{9}，{16}，{4，9}，{4，16}，{9，16}，{4，9，16}．
29．【解析】（1）结合集合的性质，利用列举法求出集合P3；
（2）结合集合的性质，利用分类讨论思想和列举法，求出集合P7中元素的个数；
（3）根据定义，首先证明n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证明P14能分成两个不相交的稀疏集的并集，由此求出n的最大值．
解：（1）I3={1，2，3}，
．
（2）k取1-7中每一个值时，P7中都有7个元素．
当k=1时，P7中的元素为1，2，3，4，5，6，7，共7个；
当k=2，3，5，6，7时，P7中的元素为无理数，且互不相同；
当k=4时，P7中的元素为1，2，3，，其中1，2，3为重复出现元素，
综上，P7中共有7×7-3=46个元素．
（3）假设当n≥15时，Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集，
设A，B为不相交的稀疏集，使A∪B=Pn In，
设1∈A，由题意得1+3=22，则3 A，即3∈B，
同理，6∈A，10∈B，
又推得15∈A，但1+15=42，与A为 稀疏集矛盾，
∴n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集，∴n≤14，
若n=14，则k=1时，Pn不能分成两个稀疏集的并集，
事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，
则A1，B1为稀疏集，且A1∪B1=I14，
当k=4时，集合{|m∈I14}中除正整数外剩下的数组成集合{}，
可分成下面两个稀疏集：A2={}，B2={}，
当k=9时，集合{|m∈I14}中除正整数外剩下的数组成集合{}，
可分成下面两个稀疏集：，B3={}，
∴集合{|m∈I14，且k {1，4，9}}中的数均为无理数，
它与P14中的任何其它数之和都不是整数，
则把集合{|m∈I14，且k {1，4，9}}中的元素任意分成两个不相交的集合的并集均可，
令稀疏集为A4与B4，
∴令A=A1∪A2∪A3∪A4，B=B1∪B2∪B3∪B4，
∴A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14，
综上，所求n的最大值为14．
30．【解析】（1）由“完全集”的定义判断即可；
（2）设a1＜a2＜ ＜an，得到a1a2 an-1＜n,分类讨论求解即可．
（3）由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可．
解：（1）集合，由完全集的定义：
，，
所以集合为“完全集”．
（2）不妨设a1＜a2＜ ＜an，由于a1a2 an=a1+a2+ +an＜nan，
所以a1a2 an-1＜n,当n=2时，即有a1＜2，又ai为正整数，所以a1=1，
于是1+a2=1×a2，则a2无解，即不存在满足条件的“完全集”；
当n=3时，a1a2＜3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，
于是“完全集”A只有一个，为{1，2，3}；
当n≥4时，由a1a2 an-1≥1×2× ×（n-1），
即有n＞1×2× ×（n-1），而n-（n-1）（n-2）=-n2+4n-2=-（n-2）2+2＜0，
又（n-1）（n-2）≤1×2× ×（n-1），
因此n＜1×2× ×（n-1），故矛盾，
所以当n≥4时不存在“完全集”A，
综上：“完全集”A为{1，2，3}．
（3）证明：若a,b是两个不同的正数，且{a,b}是完全集，
设a+b=a b=t＞0，根据根和系数的关系知，a,b相当于x2-tx+t=0的两个根，
由Δ=t2-4t＞0，解得t＞4或t＜0（舍），
所以a b＞4，又因为a,b都是正数，若a,b都不大于2，a,b≤4，矛盾，
所以a,b中至少有一个大于2．

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