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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
【题型1】一元二次不等式的概念 3
【题型2】不含参的一元二次不等式的解法 4
【题型3】含参的一元二次不等式的解法 5
【题型4】分式不等式的解法 7
【题型5】二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 8
一、一元二次不等式的概念 定义一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0
二、一元二次不等式的解法 1.一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目Δ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a>0)的解集{x|xx2}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1三、解简单的分式不等式 分式不等式的解法(主导思想：化分式不等式为整式不等式)类型同解不等式>0(<0)(其中a，b，c，d为常数)(ax+b)(cx+d)>0(<0)≥0(≤0)(ax+b)(cx+d)≥0(≤0)，且cx+d≠0>k(≥k)(其中k为非零实数)先移项通分转化为上述两种形式
1.(1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标. (2)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集. (3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集.
【题型1】一元二次不等式的概念
下列不等式中是一元二次不等式的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的定义对各个选项逐个判断即可求解．
【解答】解：根据一元二次不等式的定义可知选项为一元二次不等式，
选项含有，两个元，选项中可能为0，选项中在分母上，
故选：．
方法点拨 一元二次不等式是只含一个未知数且未知数的最高次数是2的不等式，有时我们把含多个字母的不等式中指明未知数，其余字母看成相关的参数.
【变式1】下列关于的不等式中，一元二次不等式的个数为　　
①；
②；
③；
④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】下列不等式中，一定是一元二次不等式的为 　①⑤　（填序号）
①；②；③；④；⑤；⑥．
【变式3】（2024秋 和林格尔县期中）下列不等式是一元二次不等式的是　　
A． B． C． D．
【题型2】不含参的一元二次不等式的解法
（2024秋 和田县期末）不等式的解集为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次函数的因式分解和不等式的性质求解一元二次不等式的解即可．
【解答】解：由可得．
所以或．
所以不等式的解集为．
故选：．
方法点拨 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.结合图象写出不等式的解集.
【变式1】（2025春 集宁区期末）不等式的解集为　　
A． B． C．或 D．
【变式2】（2025 湖南模拟）不等式的解集是　　
A． B．
C． D．，，
【变式3】（2024秋 鹤山市期末）一元二次不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【题型3】含参的一元二次不等式的解法
（2025 安徽开学）解关于的不等式：．
【答案】当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或．
【分析】分的不同取值范围求解不等式．
【解答】解：当时，不等式等价于，此时不成立，即不等式的解集为；
当时，不等式转化为，
①若时，因为，此时不等式的解集为；
②当时，可得，
即不等式的解集为；
当时，不等式转化为，解得或，
即不等式的解集为或；
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或．
方法点拨 在解含参数的不等式时常从以下三个方面进行考虑 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两个不相等的实数根(Δ>0)，两个相等的实数根(Δ＝0)，无实数根(Δ<0). (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1【变式1】（2024秋 南江县期中）解关于的不等式．
（1）；
（2）；
（3）．
【变式2】（2024春 红桥区月考）（1）解不等式；
（2）解关于的不等式．
【变式3】（2024秋 新泰市期中）已知函数．
（1）若不等式的解集为，求，的值；
（2）若，求不等式的解集．
【题型4】分式不等式的解法
（2024秋 城关区月考）关于的分式不等式的解集是 　　．
【答案】或．
【分析】不等式等价于，求出解集即可．
【解答】解：不等式等价于，
解得或，
所以不等式的解集是或．
故答案为：或．
方法点拨 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解.
【变式1】（2025春 科左中旗期末）不等式的解集是 　　 ．
【变式3】（2025春 黄山期末）不等式的解集是　　 ．
【题型5】二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
（2024秋 镜湖区期末）已知不等式的解集为，则的解集为　　
A． B．
C．或 D．或
【答案】
【分析】由题意可得方程的两个根分别为3和4，结合韦达定理可求得，，进而求解即可．
【解答】解：因为不等式的解集为，
所以方程的两个根分别为3和4，
则，解得，
所以，即，
即，即或，
所以的解集为或．
故选：．
方法点拨 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号. (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式. (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
【变式1】（2024秋 禅城区月考）若不等式的解集是，则的解集是　　
A． B．
C． D．
【变式2】（2025春 丽水月考）已知不等式的解集为，则的解集为　　
A． B．
C． D．
【变式3】（2025春 芗城区期末）已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为　　
A． B． C．或 D．2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
【题型1】一元二次不等式的概念 3
【题型2】不含参的一元二次不等式的解法 5
【题型3】含参的一元二次不等式的解法 7
【题型4】分式不等式的解法 11
【题型5】二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 13
一、一元二次不等式的概念 定义一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0
二、一元二次不等式的解法 1.一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目Δ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a>0)的解集{x|xx2}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1三、解简单的分式不等式 分式不等式的解法(主导思想：化分式不等式为整式不等式)类型同解不等式>0(<0)(其中a，b，c，d为常数)(ax+b)(cx+d)>0(<0)≥0(≤0)(ax+b)(cx+d)≥0(≤0)，且cx+d≠0>k(≥k)(其中k为非零实数)先移项通分转化为上述两种形式
1.(1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标. (2)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集. (3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集.
【题型1】一元二次不等式的概念
下列不等式中是一元二次不等式的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的定义对各个选项逐个判断即可求解．
【解答】解：根据一元二次不等式的定义可知选项为一元二次不等式，
选项含有，两个元，选项中可能为0，选项中在分母上，
故选：．
方法点拨 一元二次不等式是只含一个未知数且未知数的最高次数是2的不等式，有时我们把含多个字母的不等式中指明未知数，其余字母看成相关的参数.
【变式1】下列关于的不等式中，一元二次不等式的个数为　　
①；
②；
③；
④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的定义：含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式，由此判断即可．
【解答】解：由二元一次不等式的定义：含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式，
所以满足定义的是②③④．
故选：．
【变式2】下列不等式中，一定是一元二次不等式的为 　①⑤　（填序号）
①；②；③；④；⑤；⑥．
【答案】①⑤．
【分析】根据一元二次不等式的定义是“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式”，判断即可．
【解答】解：对于①，是一元二次不等式；
对于②，时，不是一元二次不等式；
对于③，不是一元二次不等式，是二次不等式；
对于④，，不是一元二次不等式；
对于⑤，，是一元二次不等式；
对于⑥，时，不是一元二次不等式．
所以，一定是一元二次不等式的序号是①⑤．
故答案为：①⑤．
【变式3】（2024秋 和林格尔县期中）下列不等式是一元二次不等式的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可．
【解答】解：对于，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故正确；
对于，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故正确；
对于，含有两个未知数，，故不是一元二次不等式，故错误；
对于，当时，不等式为，不是一元二次不等式，故错误．
故选：．
【题型2】不含参的一元二次不等式的解法
（2024秋 和田县期末）不等式的解集为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次函数的因式分解和不等式的性质求解一元二次不等式的解即可．
【解答】解：由可得．
所以或．
所以不等式的解集为．
故选：．
方法点拨 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.结合图象写出不等式的解集.
【变式1】（2025春 集宁区期末）不等式的解集为　　
A． B． C．或 D．
【答案】
【分析】直接解一元二次不等式可得答案．
【解答】解：不等式即为，
解得，
故原不等式的解集为．
故选：．
【变式2】（2025 湖南模拟）不等式的解集是　　
A． B．
C． D．，，
【答案】
【分析】直接解一元二次不等式即可求出结果．
【解答】解：由，可得，
解得，
所以不等式的解集是．
故选：．
【变式3】（2024秋 鹤山市期末）一元二次不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法求解．
【解答】解：一元二次不等式可化为：，
即，
解得，
即不等式的解集为．
故选：．
【题型3】含参的一元二次不等式的解法
（2025 安徽开学）解关于的不等式：．
【答案】当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或．
【分析】分的不同取值范围求解不等式．
【解答】解：当时，不等式等价于，此时不成立，即不等式的解集为；
当时，不等式转化为，
①若时，因为，此时不等式的解集为；
②当时，可得，
即不等式的解集为；
当时，不等式转化为，解得或，
即不等式的解集为或；
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或．
方法点拨 在解含参数的不等式时常从以下三个方面进行考虑 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两个不相等的实数根(Δ>0)，两个相等的实数根(Δ＝0)，无实数根(Δ<0). (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1【变式1】（2024秋 南江县期中）解关于的不等式．
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1），；
（2），；
（3）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．
【分析】（1）应用不含参的一元二次不等式解法求解集；
（2）由分式不等式有，进而求解集；
（3）由题设有，讨论大小求对应解集．
【解答】解：（1），故解集为，；
（2），故解集为，；
（3），即，
当，解集为；
当，解集为；
当，解集为；
综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．
【变式2】（2024春 红桥区月考）（1）解不等式；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）或；
（2）①当时，原不等式的解集为空集；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
②当时，原不等式的解集为；
③当时，原不等式的解集为．
【分析】（1）根据题意，利用分式不等式的解法，即可求解；
（2）根据题意，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）不等式，可化为，
即，即，解得或，
所以不等式组的解集为或．
（2）①当时，原不等式化为；
当时，，原不等式的解集为空集；
当时，，原不等式的解集为；
当时，，原不等式的解集为．
②当时，原不等式化为，解集为；
③当时，原不等式化为，解集为．
【变式3】（2024秋 新泰市期中）已知函数．
（1）若不等式的解集为，求，的值；
（2）若，求不等式的解集．
【答案】（1），；
（2）当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
【分析】（1）由题意可得和3是方程的两个根，且，根据韦达定理即可求解；
（2）不等式即，对分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）因为不等式的解集为，
所以和3是方程的两个根，且，
可得，
解得，；
（2）当时，不等式即，即，
①当时，，解得；
②当时，不等式可化为，解得或；
③当时，不等式化为，
若，则；
若，则；
若，则，
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
【题型4】分式不等式的解法
（2024秋 城关区月考）关于的分式不等式的解集是 　　．
【答案】或．
【分析】不等式等价于，求出解集即可．
【解答】解：不等式等价于，
解得或，
所以不等式的解集是或．
故答案为：或．
方法点拨 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解.
【变式1】（2025春 科左中旗期末）不等式的解集是 　　 ．
【答案】，．
【分析】结合分式不等式的解法，即可求解．
【解答】解：不等式，即，即，解得，
故所求解集为，．
故答案为：，．
【变式2】（2025 河南模拟）不等式的解集为 　　 ．
【答案】，．
【分析】移项通分，利用分式不等式的解法求解即可．
【解答】解：由得，整理得，
所以，解得或，
所以解集为，．
故答案为：，．
【变式3】（2025春 黄山期末）不等式的解集是　　 ．
【答案】．
【分析】移项得，然后转化为且，利用一元二次不等式求解即可．
【解答】解：由，即，则且，
故不等式的解集为．
故答案为：．
【题型5】二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
（2024秋 镜湖区期末）已知不等式的解集为，则的解集为　　
A． B．
C．或 D．或
【答案】
【分析】由题意可得方程的两个根分别为3和4，结合韦达定理可求得，，进而求解即可．
【解答】解：因为不等式的解集为，
所以方程的两个根分别为3和4，
则，解得，
所以，即，
即，即或，
所以的解集为或．
故选：．
方法点拨 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号. (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式. (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
【变式1】（2024秋 禅城区月考）若不等式的解集是，则的解集是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】通过韦达定理关联原不等式与目标不等式的系数，代入化简后转化为标准二次不等式，利用开口方向和根的位置直接求解．
【解答】解：由的解集为，可知（二次函数开口向下），且方程的根为，．
根据韦达定理，根与系数满足：
，即，化简得，故；
，即，化简得，故．
将，代入不等式，得：，
因，两边除以（负数，不等号方向改变），化简为：，
两边同乘（负数，不等号方向再次改变），得：，
解二次方程，判别式△，
根为：，
即，，
因二次函数开口向上（二次项系数，故的解集为两根之间，即．
故不等式的解集是．
故选：．
【变式2】（2025春 丽水月考）已知不等式的解集为，则的解集为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】由题意得3，4是方程的两个根，求得，，代入计算即可求解．
【解答】解：由题意可知，3，4是方程的两个根，
即，，
代入可得，，解得或，
所以的解集为．
故选：．
【变式3】（2025春 芗城区期末）已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为　　
A． B． C．或 D．
【答案】
【分析】依题意可得1，2是方程的两根，利用韦达定理可得，与的关系，再代入目标不等式，解出即可．
【解答】不等式的解集为，
则，即，
由得，
即，解得或，
故关于不等式的解集为或．
故选：．

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