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3.1.1 第2节课 函数的概念
【题型1】抽象函数的定义域 2
【题型2】由定义域求解函数或参数 4
【题型3】简单函数的值域 6
【题型4】抽象函数的值域 8
【题型5】由值域求解函数或参数 10
已学函数的定义域和值域 (1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为R，值域为R. (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为R，值域是B，当a>0时，B=；当a<0时，B=. (3)反比例函数y=(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}.
常见误区： (1)不会用整体代换的思想求抽象函数的定义域. (2)求函数值域时忽略函数的定义域.
【题型1】抽象函数的定义域
（2024秋 张掖月考）（1）设函数的定义域为，，求下列函数的定义域：
①；②．
（2）函数的定义域是，，求函数的定义域．
【答案】（1）①，；②，；（2）．
【分析】（1）利用抽象函数定义域的性质求解即可．
（2）利用抽象函数定义域的性质求解即可．
【解答】解：（1）①由已知，得，解得，故的定义域为，．
②由已知，得，解得，故的定义域为，．
（2）先求的定义域：
因为的定义域是，，所以，
所以，即的定义域是，．
再求的定义域：
因为，解得，
所以的定义域是．
方法点拨 无具体解析式，仅已知、等的定义域，需求另一抽象函数（如）的定义域，核心是“括号内整体的取值范围一致”． 类型1：已知的定义域，求的定义域： 核心原则：的定义域是“的范围”，也是中“的范围”（括号内整体范围相同）； 解题步骤： 写出的定义域：设为； 令中括号内的，建立不等式； 解不等式，得到的的范围即为的定义域； 类型2：已知的定义域，求的定义域： 核心原则：的定义域是“的范围”，需先求“的范围”，该范围即为的定义域（括号内整体范围是的自变量范围）； 解题步骤： 写出的定义域：设为； 求在上的取值范围（即的值域），设为[c,d]； [c,d]即为的定义域； 类型3：已知的定义域，求的定义域： 解题步骤：先按“类型2”求的定义域，再按“类型1”求的定义域（分两步传递范围）； 关键提醒：抽象函数的定义域始终是“自变量的范围”，而非括号内表达式（如的定义域是的范围，不是的范围）．
【变式1】（2025 山西模拟）已知函数的定义域是，，则的定义域是　　
A．， B．， C．， D．，
【变式2】（2025春 廊坊期中）若函数的定义域是，，则函数的定义域是　　
A．， B．， C．， D．，
【变式3】（2025 汉川市模拟）已知函数的定义域为，，则的定义域为　　
A．， B．， C．， D．，
【题型2】由定义域求解函数或参数
（2024秋 资阳期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是　　
A．， B．
C．， D．，，
方法点拨 已知函数的定义域，反求函数解析式中的参数（如的定义域为，求、的范围），或根据定义域确定函数的具体形式． 求参数的解题步骤： 第一步：根据函数类型列出定义域的限制条件（如分式分母不为0、偶次根式被开方数非负等），得到关于的不等式（如对任意恒成立）； 第二步：分析不等式的类型（一次不等式、二次不等式），结合定义域的已知条件（如“定义域为全体实数”“定义域为”）建立关于参数的方程或不等式； 若为二次不等式（如）： 定义域为且：需（二次函数开口向上且与轴无交点或相切）； 定义域为特定区间（如）：则二次方程的根为和，结合韦达定理求参数； 第三步：解关于参数的方程或不等式，得到参数的取值范围（注意验证参数是否使函数有意义，如二次项系数时需单独讨论是否为一次函数）； 确定函数形式的解题步骤： 根据定义域的限制，排除不符合的函数类型（如定义域不含，排除（定义域为），可能为分式函数）； 结合已知条件（如函数为一次函数、二次函数）设出解析式，代入定义域的限制条件，确定解析式中的系数（如一次函数，定义域为，则需，且无其他限制时，、满足即可，若有其他条件再进一步确定）．
【变式1】（2025春 沈阳期末）若函数的定义域为，则的取值范围是 　　 ．
【变式2】（2024秋 驻马店期末）若函数的定义域为，，值域为，则实数的取值范围是 　　 ．
【变式3】（2024春 保定期中）已知函数的定义域为，则的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
【题型3】简单函数的值域
（2024秋 浦东新区期末）函数的值域为 　，　．
【答案】，．
【分析】先判断函数的单调性，结合单调性即可求解．
【解答】解：由题意可得，函数定义域为，，在，上单调递减，
故（1）．
故答案为：，．
方法点拨 给定具体解析式的函数（如一次、二次、分式、根式、三角函数等），需求解其值域（的取值集合），核心是“根据函数类型选择对应求法”． 分类求法（按函数类型）： 一次函数（，）： 若定义域为：值域为； 若定义域为[m,n]：值域为（，单调递增）或（，单调递减）； 二次函数（，）： 先配方：； 结合定义域和开口方向： （开口向上）：最小值为顶点纵坐标，值域根据定义域是否包含顶点确定（若定义域含顶点，值域为；若不含，按单调性求端点值）； （开口向下）：最大值为顶点纵坐标，值域同理； 分式函数（如，）： 分离常数法：； 因（分子，否则为常数函数），故值域为； 偶次根式函数（如）： 先求定义域（），再求的范围（），最后加得值域（）； 综合型函数：先求定义域，再通过换元法转化为简单函数（如，令，先求的值域，再求的值域）．
【变式1】（2025春 黄浦区月考）函数的值域是　　 ．
【变式2】（2024秋 上饶月考）函数，，的值域是　　
A． B． C．， D．，
【变式3】（2024秋 正定县期中）函数的值域是　　
A． B．，，
C．，， D．，，
【题型4】抽象函数的值域
（2025 柳南区模拟）已知函数的定义域和值域分别为，和，，则函数的定义域和值域分别为　　
A．，和， B．，和， C．，和， D．，和，
【答案】
【分析】根据抽象函数的值域和定义域即可求解．
【解答】解：函数的定义域为，，对于，，即可得，
函数的定义域为，，
函数是由向左平移一个单位，故值域变大，其值域仍为，，
所以函数的定义域和值域分别为，和．
故选：．
方法点拨 无具体解析式，需根据抽象函数的性质（如单调性、奇偶性）、定义域或已知条件（如与的关系）推导值域，核心是“利用函数性质关联定义域与值域”． 解题方法总结： 已知的性质与定义域，求的值域： 若在定义域[a,b]上单调递增：值域为； 若在定义域[a,b]上单调递减：值域为； 若为奇函数（）：若定义域关于原点对称，且已知时的值域为[m,n]，则时的值域为，整体值域为（或，需结合具体范围）； 若有最值限制（如已知对任意，且）：直接得值域为[2,5]； 已知的值域，求的值域： 核心原则：的值域取决于的“定义域”（即的值域）和的性质； 解题步骤： 求的值域（设为[c,d]），此范围即为的自变量范围； 结合的性质（如单调性），求在[c,d]上的值域，即为的值域； 关键提醒：若抽象函数无明确性质，需根据已知条件推导（如“对任意，都有”，可判断单调递增），再结合定义域求值域．
【变式1】（2024秋 黑龙江期末）已知函数的定义域为，值域为，，则下列函数的值域也为，的是　　
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋 浙江期中）已知函数的定义域是，值域为，，则下列函数的值域也为，的是　　
A． B． C． D．
【变式3】（2023秋 浙江期中）已知函数的定义域为，值域为，，则下列函数中值域同为，的是　　
A． B． C． D．
【题型5】由值域求解函数或参数
（2024春 安徽期中）已知函数在，上的值域为，，则　　
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】
【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可．
【解答】解：的对称轴为，
则，解得，
则在，上单调递增，
所以，即，
所以，为方程的两个根，
即，为方程的两个根，所以．
故选：．
方法点拨 已知函数的值域，反求解析式中的参数，或根据值域确定函数的具体形式． 求参数的解题步骤： 第一步：根据函数类型确定值域的表达式（含参数）； 如二次函数： 若，值域为； 若，值域为； 如分式函数（），值域为； 第二步：结合已知值域建立关于参数的方程或不等式； 例：若二次函数值域为，则且； 例：若分式函数值域不含，则； 第三步：解参数的方程或不等式，验证参数是否满足函数的定义域和对应关系（如二次函数需确保）； 确定函数形式的解题步骤： 根据值域排除不符合的函数类型（如值域为，可能为一次函数，排除二次函数（开口向上值域为））； 设出符合值域特征的函数解析式（如值域为，设为二次函数，）； 代入值域条件确定解析式中的系数（如顶点纵坐标为2），得到函数形式．
【变式1】（2024秋 津南区期中）二次函数的值域为，，则的最小值为　　
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式2】（2024秋 防城港期中）函数在区间，上的值域为，，则的取值范围是 　，　．
【变式3】（2023秋 浦东新区期末）若函数，的定义域是，，值域是，，则　1或　．3.1.1 第2节课 函数的概念
【题型1】抽象函数的定义域 2
【题型2】由定义域求解函数或参数 5
【题型3】简单函数的值域 9
【题型4】抽象函数的值域 11
【题型5】由值域求解函数或参数 15
已学函数的定义域和值域 (1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为R，值域为R. (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为R，值域是B，当a>0时，B=；当a<0时，B=. (3)反比例函数y=(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}.
常见误区： (1)不会用整体代换的思想求抽象函数的定义域. (2)求函数值域时忽略函数的定义域.
【题型1】抽象函数的定义域
（2024秋 张掖月考）（1）设函数的定义域为，，求下列函数的定义域：
①；②．
（2）函数的定义域是，，求函数的定义域．
【答案】（1）①，；②，；（2）．
【分析】（1）利用抽象函数定义域的性质求解即可．
（2）利用抽象函数定义域的性质求解即可．
【解答】解：（1）①由已知，得，解得，故的定义域为，．
②由已知，得，解得，故的定义域为，．
（2）先求的定义域：
因为的定义域是，，所以，
所以，即的定义域是，．
再求的定义域：
因为，解得，
所以的定义域是．
方法点拨 无具体解析式，仅已知、等的定义域，需求另一抽象函数（如）的定义域，核心是“括号内整体的取值范围一致”． 类型1：已知的定义域，求的定义域： 核心原则：的定义域是“的范围”，也是中“的范围”（括号内整体范围相同）； 解题步骤： 写出的定义域：设为； 令中括号内的，建立不等式； 解不等式，得到的的范围即为的定义域； 类型2：已知的定义域，求的定义域： 核心原则：的定义域是“的范围”，需先求“的范围”，该范围即为的定义域（括号内整体范围是的自变量范围）； 解题步骤： 写出的定义域：设为； 求在上的取值范围（即的值域），设为[c,d]； [c,d]即为的定义域； 类型3：已知的定义域，求的定义域： 解题步骤：先按“类型2”求的定义域，再按“类型1”求的定义域（分两步传递范围）； 关键提醒：抽象函数的定义域始终是“自变量的范围”，而非括号内表达式（如的定义域是的范围，不是的范围）．
【变式1】（2025 山西模拟）已知函数的定义域是，，则的定义域是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】根据给定条件，利用抽样函数定义域列式求解即得．
【解答】解：由函数的定义域是，，得，
因此在函数中，，解得．
所以函数的定义域为，．
故选：．
【变式2】（2025春 廊坊期中）若函数的定义域是，，则函数的定义域是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】由，即可求解．
【解答】解：函数的定义域是，，
令，解得，
故所求定义域是，．
故选：．
【变式3】（2025 汉川市模拟）已知函数的定义域为，，则的定义域为　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】求出函数的定义域，对于，可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域．
【解答】解：函数的定义域为，，
则，
故，
故函数的定义域为，，
令，解得，
故函数的定义域为，．
故选：．
【题型2】由定义域求解函数或参数
（2024秋 资阳期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是　　
A．， B．
C．， D．，，
【答案】
【分析】问题转化为对任意恒成立，再对分类求解得答案．
【解答】解：若函数的定义域为，则对任意恒成立，
当时，显然成立；
当时，有，解得．
综上所述，实数的取值范围是，．
故选：．
方法点拨 已知函数的定义域，反求函数解析式中的参数（如的定义域为，求、的范围），或根据定义域确定函数的具体形式． 求参数的解题步骤： 第一步：根据函数类型列出定义域的限制条件（如分式分母不为0、偶次根式被开方数非负等），得到关于的不等式（如对任意恒成立）； 第二步：分析不等式的类型（一次不等式、二次不等式），结合定义域的已知条件（如“定义域为全体实数”“定义域为”）建立关于参数的方程或不等式； 若为二次不等式（如）： 定义域为且：需（二次函数开口向上且与轴无交点或相切）； 定义域为特定区间（如）：则二次方程的根为和，结合韦达定理求参数； 第三步：解关于参数的方程或不等式，得到参数的取值范围（注意验证参数是否使函数有意义，如二次项系数时需单独讨论是否为一次函数）； 确定函数形式的解题步骤： 根据定义域的限制，排除不符合的函数类型（如定义域不含，排除（定义域为），可能为分式函数）； 结合已知条件（如函数为一次函数、二次函数）设出解析式，代入定义域的限制条件，确定解析式中的系数（如一次函数，定义域为，则需，且无其他限制时，、满足即可，若有其他条件再进一步确定）．
【变式1】（2025春 沈阳期末）若函数的定义域为，则的取值范围是 　　 ．
【答案】．
【分析】通过恒不为零，将问题转化为方程没有实根，再通过判别式即可确定的取值范围．
【解答】解：由题意，，
即方程没有实根，
△，
解得，
故答案为：．
【变式2】（2024秋 驻马店期末）若函数的定义域为，，值域为，则实数的取值范围是 　　 ．
【答案】．
【分析】根据函数在定义域，上递减，且值域为，可得，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：因为函数在定义域，上递减，且值域为，
所以，即，
，即，
所以，
所以，设，则，
由可得，
根据二次函数的性质可知，在，上递减，所以，（1），
因为（1），，
所以．
故答案为：．
【变式3】（2024春 保定期中）已知函数的定义域为，则的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
【答案】
【分析】问题转化为对于任意恒成立，然后对分类求解得答案．
【解答】解：函数的定义域为，
对于任意恒成立，
当时，符合题意；
当时，则，解得．
的取值范围是，．
故选：．
【题型3】简单函数的值域
（2024秋 浦东新区期末）函数的值域为 　，　．
【答案】，．
【分析】先判断函数的单调性，结合单调性即可求解．
【解答】解：由题意可得，函数定义域为，，在，上单调递减，
故（1）．
故答案为：，．
方法点拨 给定具体解析式的函数（如一次、二次、分式、根式、三角函数等），需求解其值域（的取值集合），核心是“根据函数类型选择对应求法”． 分类求法（按函数类型）： 一次函数（，）： 若定义域为：值域为； 若定义域为[m,n]：值域为（，单调递增）或（，单调递减）； 二次函数（，）： 先配方：； 结合定义域和开口方向： （开口向上）：最小值为顶点纵坐标，值域根据定义域是否包含顶点确定（若定义域含顶点，值域为；若不含，按单调性求端点值）； （开口向下）：最大值为顶点纵坐标，值域同理； 分式函数（如，）： 分离常数法：； 因（分子，否则为常数函数），故值域为； 偶次根式函数（如）： 先求定义域（），再求的范围（），最后加得值域（）； 综合型函数：先求定义域，再通过换元法转化为简单函数（如，令，先求的值域，再求的值域）．
【变式1】（2025春 黄浦区月考）函数的值域是　　 ．
【答案】，．
【分析】可配方求出二次函数的值域，然后得解．
【解答】解：，
的值域为．
故答案为：．
【变式2】（2024秋 上饶月考）函数，，的值域是　　
A． B． C．， D．，
【答案】
【分析】用换元法转化为求二次函数在某个区间的值域．
【解答】解：设，由，，得，，
则，则原函数化为，，，
在，上单调递增，则当时，，
当时，（1）．
故函数，，的值域是，．
故选：．
【变式3】（2024秋 正定县期中）函数的值域是　　
A． B．，，
C．，， D．，，
【答案】
【分析】先进行分离变形，然后结合反比例函数的性质即可求解．
【解答】解：因为．
故选：．
【题型4】抽象函数的值域
（2025 柳南区模拟）已知函数的定义域和值域分别为，和，，则函数的定义域和值域分别为　　
A．，和， B．，和， C．，和， D．，和，
【答案】
【分析】根据抽象函数的值域和定义域即可求解．
【解答】解：函数的定义域为，，对于，，即可得，
函数的定义域为，，
函数是由向左平移一个单位，故值域变大，其值域仍为，，
所以函数的定义域和值域分别为，和．
故选：．
方法点拨 无具体解析式，需根据抽象函数的性质（如单调性、奇偶性）、定义域或已知条件（如与的关系）推导值域，核心是“利用函数性质关联定义域与值域”． 解题方法总结： 已知的性质与定义域，求的值域： 若在定义域[a,b]上单调递增：值域为； 若在定义域[a,b]上单调递减：值域为； 若为奇函数（）：若定义域关于原点对称，且已知时的值域为[m,n]，则时的值域为，整体值域为（或，需结合具体范围）； 若有最值限制（如已知对任意，且）：直接得值域为[2,5]； 已知的值域，求的值域： 核心原则：的值域取决于的“定义域”（即的值域）和的性质； 解题步骤： 求的值域（设为[c,d]），此范围即为的自变量范围； 结合的性质（如单调性），求在[c,d]上的值域，即为的值域； 关键提醒：若抽象函数无明确性质，需根据已知条件推导（如“对任意，都有”，可判断单调递增），再结合定义域求值域．
【变式1】（2024秋 黑龙江期末）已知函数的定义域为，值域为，，则下列函数的值域也为，的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由已知结合函数的图象变换检验各选项中函数的值域即可求解．
【解答】解：因为函数的定义域为，值域为，，
由的图象向左平移1个单位，函数值域与的值域相同，即为，，符合题意；
是由的图象向上平移1个单位，即函数值域为，，不符合题意；
与的图象关于轴对称，函数值域与的值域相同，为，，符合题意；
与的图象关于轴对称，即函数值域为，，不符合题意．
故选：．
【变式2】（2023秋 浙江期中）已知函数的定义域是，值域为，，则下列函数的值域也为，的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合题意逐个选项验证可得答案．
【解答】解：对于，由，可得，，，故错误；
对于，，的图象可看作由的图象经过平移和横向伸缩变换得到，故值域变小，故正确；
对于，，，故错误；
对于，，，故错误．
故选：．
【变式3】（2023秋 浙江期中）已知函数的定义域为，值域为，，则下列函数中值域同为，的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据函数的值域对各个选项逐一判断即可．
【解答】解：对于的定义域为，值域为，，即，
，，故错误；
对于，相当于对进行了平移，横向伸缩变换，值域始终没变，故正确；
对于，，故正确；
对于，，故错误．
故选：．
【题型5】由值域求解函数或参数
（2024春 安徽期中）已知函数在，上的值域为，，则　　
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】
【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可．
【解答】解：的对称轴为，
则，解得，
则在，上单调递增，
所以，即，
所以，为方程的两个根，
即，为方程的两个根，所以．
故选：．
方法点拨 已知函数的值域，反求解析式中的参数，或根据值域确定函数的具体形式． 求参数的解题步骤： 第一步：根据函数类型确定值域的表达式（含参数）； 如二次函数： 若，值域为； 若，值域为； 如分式函数（），值域为； 第二步：结合已知值域建立关于参数的方程或不等式； 例：若二次函数值域为，则且； 例：若分式函数值域不含，则； 第三步：解参数的方程或不等式，验证参数是否满足函数的定义域和对应关系（如二次函数需确保）； 确定函数形式的解题步骤： 根据值域排除不符合的函数类型（如值域为，可能为一次函数，排除二次函数（开口向上值域为））； 设出符合值域特征的函数解析式（如值域为，设为二次函数，）； 代入值域条件确定解析式中的系数（如顶点纵坐标为2），得到函数形式．
【变式1】（2024秋 津南区期中）二次函数的值域为，，则的最小值为　　
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】
【分析】结合二次函数的性质可求得，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：若二次函数的值域为，，则△，即，
，
当且仅当时取等号．
故选：．
【变式2】（2024秋 防城港期中）函数在区间，上的值域为，，则的取值范围是 　，　．
【答案】，．
【分析】首先求解方程和的解，再由函数的值域，结合函数的单调性，确定的取值范围．
【解答】解：解方程，
解得或，
解方程，
解得，
由于函数在区间，上的值域为，．
若函数在区间，上单调，
则，，或，，，
此时取得最小值2；
若函数在区间，上不单调，且当取最大值时，，，，
所以的最大值为4．
所以的取值范围是，．
故答案为：，．
【变式3】（2023秋 浦东新区期末）若函数，的定义域是，，值域是，，则　1或　．
【答案】1或．
【分析】由已知结合一次函数的单调性即可求解，，进而可求．
【解答】解：由题意得，
当，在，上单调递增，
由题意得（1），（2），
解得，，
则
当时，在，上单调递减，
由题意得（1），（2），
解得，，
则．
故答案为：1或．

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