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专题课:自由落体运动的综合应用
竖直上抛运动
1.A　[解析] 根据h=gt2解得h=31.25 m,考虑到声音在空气中传播需要一定的时间,即小石块实际下落时间小于2.5 s,根据上述可知,井口到水面距离的估算值比实际值偏大.故选A.
2.A　[解析] 第一滴水落地时,第二滴水正好开始下落,设第一滴水下落的时间为T,测出从第一滴水开始下落到第2滴水落地所用的时间为t,则T=,又H=gT2,得g=.故选A.
3.C　[解析] 由自由落体位移公式h=gt2,两次自由下落的位移分别为11.25 cm和5 cm,代入可得反应时间分别为t1=0.15 s,t2=0.1 s,A、B正确;乙同学第一次抓住直尺之前的瞬间,直尺的速度约为v=gt1=1.5 m/s,C错误;下落的最大位移为80 cm,代入位移公式可得t3=0.4 s,若将尺子上原来的长度值改为对应的“反应时间”值,则测量量程为0.4 s,D正确.
4.B　[解析] 悬链上、下端到达该点用时分别为t上== s=2 s,t下== s=1.6 s,则t=t上-t下=0.4 s,故B正确.
5.B　[解析] 此同学身高1.8 m,其站立时重心离地面的高度约为0.9 m,当他横着越过1.8 m高的横杆时,重心升高了0.9 m,由=2gh,解得初速度v0== m/s=3 m/s,其结果与4 m/s最接近,选项B正确.
6.A　[解析] 根据竖直上抛运动的对称性,从下边线至最高点,有h1=g=g,从上边线至最高点,有h2=g=g,则窗户高度h=h1-h2=g(-),故选项A正确.
7.AD　[解析] 根据竖直上抛运动的对称性可知,小球回到出发点的时间t=,则A、B两小球的初速度之比是1∶2,选项A正确,B错误;根据h=∝可知,A、B两小球到达的最大高度之比是 1∶4,选项C错误,D正确.
8.BC　[解析] 做竖直上抛运动的物体到达最高点后将做自由落体运动,运动的加速度不变,当速度大小变为10 m/s时,速度方向可能向上,也可能向下,选项D错误;以向上为正方向,则物体的加速度为-g,根据速度与时间的关系式v=v0-gt,有±10 m/s=20 m/s-10 m/s2×t,解得t=1 s或t=3 s,选项A错误,B正确;根据速度与位移的关系式v2-=-2gs,解得s===15 m,选项C正确.
9.D　[解析] 自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动,当第一滴水落地时,第五滴水刚好开始下落,之间正好有四个相等时间,设每隔时间T滴一滴水,根据公式h=gt2,可得t== s= s,故T== s,此时第二滴水运动的时间为3T= s,所以第二滴水下落的高度为h'=g=4.5 m,第二滴水离地的高度为8 m-4.5 m=3.5 m,D正确.
10.AD　[解析] 由自由落体运动的位移—速度关系式得=2gh,解得v1== m/s=2 m/s,故A正确;由自由落体运动的位移—速度关系式得=2g×2h,解得v2=2 m/s,故B错误;设铁链下端到达钢管上端用时为t1,根据自由落体运动的位移公式得h=g,解得t1=0.2 s,设铁链上端到达钢管下端用时为t2,根据自由落体运动的位移公式得L+2h=g,解得t2=0.3 s,所以铁链通过钢管的时间为t=t2-t1=0.1 s,故C错误,D正确.
11.8.00　3.20
[解析] 由题图可看出,在曝光时间0.025 s内,照片上留下了连续5个球的拖影,则拖影长sAB=5×4 cm=0.20 m,小球在曝光的0.025 s内的平均速度为== m/s=8.00 m/s.由于AB间的时间间隔非常短,则小球在曝光的0.025 s内的平均速度也可近似看作A点的瞬时速度,则根据自由落体运动有v2=2gh,解得h=3.20 m.
12.0.8　5
[解析] 水滴做自由落体运动,则h12-h23=h23-h34,解得h34=0.8 m.根据h12-h23=gt2,解得t=0.2 s,则每隔0.2 s滴下一滴水,第3个水滴的瞬时速度v3==5 m/s.
13.(1)3 m/s　(2)1.75 s
[解析] (1)上升阶段,有02-=-2gh
解得v0==3 m/s.
(2)上升阶段,有0=v0-gt1
解得t1==0.3 s
自由落体运动过程,有H=g
其中H=10 m+0.45 m=10.45 m
解得t2==1.45 s
故t=t1+t2=0.3 s+1.45 s=1.75 s.
14.(1)2 s　(2)5 m　(3)1.25 s
[解析] (1)金属管做自由落体运动,所以位移与时间满足H=gt2
代入数据解得从下落到金属管的底端刚刚碰地的时间为t== s=2 s
(2)由自由落体位移公式可得h=g
整根金属管经过窗户时的位移满足
h2=g=l+h+h1
联立解得h=5 m
(3)由运动学公式得,金属管下落的距离为ha=g
小石头上升的距离为hb=v0t3-g
又根据题意可得H=ha+hb
联立方程,解得t3=1.25 s(共44张PPT)
专题课：自由落体运动的综合应用 竖直上抛运动
学习任务一 自由落体运动在生活中的应用
学习任务二 自由落体运动中的“水滴下落”类问题和“落杆”类问题
学习任务三 竖直上抛运动
备用习题
随堂巩固
◆导学案
学习任务一 自由落体运动在生活中的应用
［科学思维］ 自由落体运动在生活中的应用很多，如测井深、测反应时间、测曝光时间等.
1.测井深：将石头从井口自由落下，并开始计时，当听到水击声时停止计时，查看秒表时间，根据声速和物理原理可大致计算出井口到水面的距离______，由于忽略了_________________，测定的水井深度比实际深度要________.
声音传播的时间
深一些
2.测反应时间：甲用两个手指轻轻捏住木尺上端，让木尺自然下垂.乙把手放在尺下端刻度为的位置，但__________，准备用手指夹住下落的尺；甲在不通知乙的情况下，突然松手，尺子下落；乙看到尺子下落后快速用手指夹住尺子.若夹住尺子的位置刻度为，重力加速度大小为,则乙的反应时间为_ ____________；
未碰到尺
3.测曝光时间
(1)一个重要的“近似”：由于相机曝光时间很短，由可知这段时间内速度增加量很小，几乎可以忽略不计，因此这段时间内物体可以视为匀速下落
(2)求解的思维导图
若已知“下落高度” “曝光痕迹长”就能求出“曝光时间”.
例1 [2023·天津西青杨柳青一中月考] 某人估测一竖直枯井深度，从井口静止释放一石头并开始计时，经听到石头落地声，由此可知井深约为(不计声音传播时间，重力加速度取( )
D
A. B. C. D.
[解析] 可认为石头做自由落体运动，则有,故选D.
例2 [2023·龙岩一中月考] 图示方法可以估测人的反应时间：甲同学捏住直尺上端，使直尺保持竖直状态，零 刻 度 线位于乙同学的两指之间.当乙看见甲放开直尺时，立即抓捏直尺，读出抓捏位置的刻度为.若用该直尺测量反应时间的范围为，则直尺的长度至少为____取.若在直尺的另一面每隔标记测量反应时间的刻度线，则刻度线是________(选填“均匀”或“不均匀”)的.
0.8
不均匀
[解析] 根据自由落体运动的规律可知，直尺的长度至少为；根据可知，直尺下落的高度随时间逐渐增加，且与时间不是正比关系，可知若在直尺的另一面每隔标记测量反应时间的刻度线，则刻度线是不均匀的.
例3 有一种“傻瓜”相机的曝光时间(快门打开到关闭的时间)是固定不变的.为了估测该相机的曝光时间,有位同学提出了下述实验方案:他从墙面上点的正上方与相距处使一个小石子自由落下,在小石子下落通过点时,立即按动快门,对小石子照相,得到如图所示的照片,由于石子的运动,它在照片上留下一条模糊的径迹.已知每块砖的平均厚度是.请从上述信息和照片算出这个“傻瓜”相机的曝光时间最接近( )
A
A. B. C. D.
[解析] 石子做自由落体运动,它留下径迹的对应运动时间即为照相机的曝光时间.设开始下落点为,由照片可以看出,长对应两块砖的厚度,即的实际长度为,,则,由知,从到A的时间,从<到B的时间,所以曝光时间,故选项A正确.
学习任务二 自由落体运动中的“水滴下落”类问题和“落杆”类问题
［科学思维］
1.“水滴下落”类问题
像水滴下落这样从同一位置开始、间隔相等时间依次做自由落体运动的物体在空间形成不同间距的问题，可将若干个物体在某一时刻的排列情形等效成一个物体在不同时刻的位置.类似于研究匀变速直线运动时打点计时器打下的纸带上的点,由此可以用、初速度为零的匀变速直线运动的比例关系或者平均速度法进行求解.
2.“落杆”类问题
由于物体有一定的长度，故物体经过某一点不是一个瞬间,而是一段时间，解决这类问题的关键是选准研究过程.找准与这段研究过程的起点和终点相对应的位移.解答过程中应借助示意图,搞清楚物体运动的过程,从而达到解决问题的目的.
例4 (多选)[2023·福州期中] 雨后，屋檐还在不断滴着水滴.如图所示，小红同学认真观察后发现，这些水滴都是在质量积累到足够大时才由静止开始下落，每隔相等时间滴下一水滴，水滴在空中的运动情况都相同，某时刻起，第一颗水滴刚运动到窗台下边沿时，第5颗水滴恰欲滴下.她测得，屋檐到窗台下边沿的距离为，窗户的高度为
，不计空气阻力的影响，取.则下列结论正确的是( )
BD
A.水滴下落到达窗台下边沿时的速度大小为
B.每隔滴下一水滴
C.水滴经过窗户的时间为
D.水滴经过窗户的平均速度为
[解析] 水滴下落至窗台下边沿通过的距离为，由速度—位移公式得,故A错误；
水滴下落至窗台下边沿的时间为,第一颗水
滴刚运动到窗台下边沿时，第5颗水滴恰欲滴下，此时共4个时间间隔，
可知相邻的水滴滴下的时间间隔,故B正确；
水滴下落至窗户上边缘的时间为,水滴经过窗户的时间为,故C错误；
经过窗台的平均速度为,故D正确.
例5 [2023·厦门双十中学月考] 木杆长，上端固定在屋檐处竖直悬挂，由静止放开后让其自由下落(不计空气阻力)，木杆通过屋檐正下方处的窗子，窗子高为，取，求：
(1) 木杆通过窗子上端所用时间；
[答案]
[解析] 木杆由静止开始做自由落体运动，木杆下端到达窗子上端时有
得
木杆上端到达窗子上端用时
则木杆通过窗子上端所用时间为
(2) 木杆通过窗子所用时间.
[答案]
[解析] 木杆的上端到达窗子的下端用时为

则木杆通过窗子的时间为

学习任务三 竖直上抛运动
［模型建构］
1.竖直上抛运动
将一个物体以某一初速度竖直向上抛出，抛出的物体只在重力作用下运动，这种运动就是竖直上抛运动.
2.竖直上抛运动的实质
初速度、加速度的匀变速直线运动通常规定初速度的方向为正方向，为重力加速度的大小.
3.竖直上抛运动的图像
4.竖直上抛运动的规律
速度公式：.
位移公式：.
速度与位移关系式：.
5.竖直上抛运动的特点
(1)对称性
①时间对称性：对同一段距离，上升过程和下降过程所用时间相等，，.
②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反，，.(如图所示)
(2)多解性
通过某一点可能对应两个时刻，即物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段.
例6 研究人员为检验某一产品的抗撞击能力，乘坐热气球并携带该产品竖直升空，当热气球以的速度匀速上升到某一高度时，研究人员从热气球上将产品自由释放，测得经产品撞击地面.不计产品所受的空气阻力，求产品的释放位置距地面的高度.取
[答案]
[解析] 方法一：全程法
将产品的运动视为匀变速直线运动，规定向上为正方向，则，
故.
即产品刚释放时离地面的高度为.
方法二：分段法
画出运动草图如图所示.将产品的运动过程分为和两段来处理，为竖直上抛运动，为自由落体运动.
在段，根据竖直上抛运动规律可知


由题意可知
根据自由落体运动规律可得
故释放点离地面的高度.
变式1 [2023·福州三中月考] 在离地面的高处，以的初速度竖直上抛一物体，以竖直向上为正方向，重力加速度取，则物体从抛出到落地过程( )
B
A.位移为 B.路程为
C.所用的时间为 D.落地速度为
[解析] 位移是从初位置指向末位置的有向线段，物体从抛出到落地过程的位移为，负号表示方向竖直向下，故A错误；
物体上升的总时间为，上升的最大高度为，物体从抛出到落地过程，路程为，故B正确；
物体下落过程中通过的位移为，根据运动学公式得，解得，所以物体从抛出到落地过程所用的时间为，故C错误；
根据速度公式得，负号表示方向竖直向下，故D错误.
【要点总结】
竖直上抛运动的处理方法
(1)分段法：把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速直线运动和下落阶段的自由落体运动.上升阶段：，；下落阶段：，.
(2)整体法：将竖直上抛运动视作初速度为、加速度为的匀减速直线运动.取整个过程分析，选竖直向上为正方向，则有，时，处于上升阶段；时，处于下落阶段.时，在抛出点上方；时，在抛出点下方.
1.如图所示,某学习小组利用直尺估测反应时间.甲同学捏住直尺上端,使直尺保持竖直,直尺零刻度线位于乙同学的两指之间.当乙看见甲放开直尺时,立即用手指捏住直尺,根据乙手指所在位置计算反应时间.为简化计算,某同学将直尺刻度进行了改进,先把直尺零刻度线朝向下,以相等时间间隔在直尺的反面标记相对应的反应时间(单位为s)刻度线,制作成了“反应时间测量仪”,下列四幅图中反应时间刻度线标度正确的是 (　　)
C
A B C D
[解析] 由题可知,手的位置开始放在0刻度处,所以0刻度要在下边,直尺做自由落体运动的位移h=gt2,位移与时间的平方成正比,所以随着时间增大,在相同的时间间隔内,刻度尺上的间距增大,故C正确.
A B C D
2. 如图所示,一杂技演员用一只手抛球.他每隔0.40 s 抛出一球,接到球便立即把球抛出.已知除抛、接球的时刻外,空中总有4个小球,将球的运动近似看作竖直方向的运动,g取10 m/s2,从抛球点算起,球到达的最大高度是 (　　)
A.1.6 m B.2.4 m
C.3.2 m D.4.0 m
C
[解析] 被杂技演员抛出的小球在空中应做竖直上抛运动,考
虑到空中总有四个小球,其临界情况为:演员手中的球将要被
抛出时,空中第4个小球刚到演员的手中,如图所示,也就是说,抛出的小球在空中
运动的时间是1.6 s.竖直上抛运动的上升过程和下降过程具有对称性,故第二个
小球抛出后经过0.80 s到达最高点,小球到达的最大高度H=gt2=3.2 m.
3.在以速度v匀速上升的电梯内竖直向上抛出一个小球,电梯内观察者看见小球经时间t到达最高点,不计空气阻力,重力加速度为g,则 (　　)
A.地面上的人所见小球抛出时的速度为gt
B.电梯中的人看见小球抛出时的速度为gt
C.地面上的人看见小球上升的最大高度为gt2
D.地面上的人看见小球上升的时间也为t
B
[解析] 以电梯为参考系,根据运动学方程,电梯中的人看见小球抛出时的速度为gt,选项B正确;
以地面为参考系,地面上的人看见小球抛出时的速度为gt+v,选项A错误;
电梯中的人看到小球的速度为零,只是小球的速度与电梯的速度相同,实际上小球此时相对地面的速度为v,电梯中的人看到小球上升的最大高度为gt2,上升的时间为t,地面上的人看见小球上升的最大高度大于gt2,上升时间大于t,选项C、D错误.
4. 下列说法正确的是 (　　)
A.物体竖直向下的运动就是自由落体运动
B.只受重力作用且竖直向下的匀变速直线运动就是自由落体运动
C.不同物体所做的自由落体运动,其运动规律是不同的
D.质点做自由落体运动,在第1 s内、第2 s内,第3 s内的平均速度之比为1∶3∶5
D
[解析] 初速度为零,只受重力,即加速度是重力加速度的匀加速直线运动是自由落体运动,故A、B错误;
不同物体所做的自由落体运动,其运动规律是相同的,故C错误;
质点做自由落体运动,因为第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶5,根据平均速度的定义式知,第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为1∶3∶5,故D正确.
5. 从高度为125 m的塔顶,先后落下a、b球,自由释放这两个球的时间差为1 s,则以下判断正确的是(g取10 m/s2,不计空气阻力) (　　)
A.两球落地的时间差是1 s
B.a球接触地面瞬间,b球离地高度为35 m
C.在a球接触地面之前,两球的速度差越来越大
D.在a球接触地面之前,两球的高度差恒定
A
[解析] 两球均做自由落体运动,从塔顶到地面所用时间相等.自由释放这两个球的时间差为1 s,则两球落地的时间差是1 s,故A正确.
根据h=gt2可得t=,则a球从开始下落到地面所用时间t=5 s;当a球接触地面瞬间,b球在空中运动的时间t2=4 s,b球下落的距离h2=g=80 m,b球离地高度为h-h2=45 m,故B错误.
在a球接触地面之前,两球的速度差Δv=va-vb=gta-g(ta-Δt)=g·Δt=10 m/s,则在a球接触地面之前,两球的速度差恒定,故C错误.
在a球接触地面之前,两球的速度差恒为10 m/s,两球的高度差越来越大,故D错误.
6. (多选)小球A从距地面高为H处自由释放,同时小球B从地面以初速度v0竖直向上抛出,A、B两球在空中相遇.不计空气阻力,已知重力加速度为g.下列说法中正确的是 (　 　)
A.若A、B相遇时速率相等,则v0=
B.经t=时间,A、B相遇
C.若D.若BC
[解析] A和B相遇,有gt2+v0t-gt2=H,解得t=,故B正确;
若A、B相遇时速率相等,有gt=v0-gt,联立解得v0=,故A错误;
若两球相遇时B球处于下降过程中,则>t>,由gt2+v0t-gt2=H,解得7. (多选) 如图为一可视为质点的运动员进行3米板跳水训练的场景图.在某次跳水过程中运动员的v-t图像如图所示,t=0时是其向上起跳的瞬间,此时跳板恢复原状,t3=5.5t1,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2.则下列判断正确的是 (　 　)
A.运动员离开跳板后,在空中运动的总路程为3.75 m
B.运动员入水时的速度大小为 m/s
C.运动员在空中向下运动的时间为 s
D.运动员入水的深度为 m
AD
[解析] 设运动员离开跳板后向上运动的位移大小为s,由v-t图像可知,运动员入水前向下运动的位移是向上运动位移的9倍,即=,可解得s= m,运动员离开跳板后,在空中运动的总路程l=2s+3 m=3.75 m,A正确;
运动员自由下落的位移h=s+3 m= m,由自由落体公式可得运动员入水时的速度v== m/s,B错误;
运动员在空中向下运动的时间t== s,C错误;
由题意知自由下落时间与入水时间之比=,自由下落位移h=Δt2,入水位移h'=Δt3,联立解得运动员入水的深度h'= m,D正确.
8. (多选)物体A在高度为h的空中自由下落,物体B同时在地面与A在同一直线上以初速度v0竖直上抛,下列条件能使两物体在空中相遇且物体B的速度小于物体A的速度的有 (　 　)
A.0B.C.D.BC
[解析] 以物体B的初始点作为坐标原点,竖直向上为正方向,那么两物体的位置方程为sA=h-gt2,sB=v0t-gt2,两物体速度大小的方程为vA=gt,vB=,要使两物体在空中相遇,则有sA=sB>0,要使物体B的速度小于物体A的速度,则有vA>vB,联立解得9. 某校广场西侧建有音乐喷泉,其中有一个刚露出水面的喷管,其横截面积为80 cm2,竖直向上喷水时,水能够上升的最大高度可达80 m.若不计空气阻力,g取10 m/s2,求此时喷出管口的水的速度和此管喷水时留在空中水的体积.
[答案] 40 m/s　2.56 m3
[解析] 由v2=2gh,
解得此时喷出管口的水的速度v==40 m/s;
水从喷出到落地的时间t==8 s,
此管喷水时,留在空中水的体积V=Svt=80×10-4×40×8 m3=2.56 m3
1.(测反应时间)[2023·四川成都七中月考] 从发现情况到采取相应行动经过的时间叫反应时间.如图甲所示，两位同学用刻度尺测量人的反应时间,握住尺的上端，在尺的下部做握尺的准备(但不与尺接触)，当看到放开手时，立即握住尺.若做握尺准备时手指位置如图乙所示，而握住尺时的位置如图丙所示，由此测得同学的反应时间约为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由图可知，开始时的位置在处，握住尺时的位置在处，所以在反应时间内下落的高度为，由运动学公式得，解得，选项B正确.
2.(自由落体运动规律的综合应用)[2023·漳州期中] 一天，某小区居民发现一个苹果从高空坠落，所幸未造成事故.物业通过调取一楼监控录像，分析发现苹果在落地前最后内下落的高度为.已知每层楼高为，若苹果做自由落体运动，取，则该苹果( )
B
A.最可能来自6楼 B.最可能来自7楼
C.刚落地时的速度为 D.刚落地时的速度为
[解析] 设苹果下落时间为，则，，解得、，则最可能来自7楼，A错误，B正确；
刚落地时的速度为，选项C、D错误.
3.(竖直上抛运动图像)[2023·三明一中月考] 小球以某一初速度由地面竖直向上运动，当其落回地面时会与地面发生碰撞并反弹，如此上升、下落及反弹数次.若规定竖直向下为正方向，不计碰撞时间和空气阻力，则如图所示的图像中能正确描述小球运动的是( )
D
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 小球以某一初速度由地面竖直向上运动过程中，只受到竖直向下的重力，加速度为；下落过程中，只受到竖直向下的重力，做自由落体运动，加速度为；接触地面反弹后，速度立即反向，做竖直上抛运动，小球在空中运动的加速度一直是，则图像的斜率不发生变化，但小球弹起时的速度越来越小，故A、B、C错误，D正确.
4.(竖直上抛运动规律)[2023·厦门一中月考] 已知(中国男子篮球职业联赛)篮球筐距地面高度为，某篮球运动员站立举手能达到的高度为.如图所示，他竖直跳起到最高点时刚好可以将篮球扣入筐中，不计空气阻力，重力加速度取，则他起跳的初速度约为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 该运动员做竖直上抛运动，位移为，根据位移—速度关系式，解得，选项B正确.
5.(落杆类问题)有一条竖直悬挂起来的长为的细杆，在杆的正下方离端处有一个水平放置的圆环，如图所示.若让杆自由下落，取,求：
(1) 从杆下落开始，上端及下端分别到达圆环所经历的时间；
[答案] ;
[解析] 杆下落过程中做自由落体运动
杆的端到达圆环的过程中，有
杆的端到达圆环的过程中，有
其中，
解得，.
(2) 杆通过圆环的过程所用的时间.
[答案]
[解析] 杆通过圆环的过程所用的时间.专题课:自由落体运动的综合应用
竖直上抛运动
[科学思维] 1.gt2　声音传播的时间　深一些
2.未碰到尺　t=
例1　D　[解析] 可认为石头做自由落体运动,则有h=gt2=×10×32 m=45 m,故选D.
例2　0.8　不均匀
[解析] 根据自由落体运动的规律可知,直尺的长度至少为h=gt2=×10×0.42 m=0.8 m;根据h=gt2可知,直尺下落的高度随时间逐渐增加,且h与时间t不是正比关系,可知若在直尺的另一面每隔0.05 s标记测量反应时间的刻度线,则刻度线是不均匀的.
例3　A　[解析] 石子做自由落体运动,它留下径迹AB的对应运动时间即为照相机的曝光时间.设开始下落点为O,由照片可以看出,AB长对应两块砖的厚度,即AB的实际长度为AB=6×2 cm=0.12 m,OA=1.8 m,则OB=1.92 m,由h=gt2知,从O到A的时间tA= s=0.60 s,从O到B的时间tB= s≈0.62 s,所以曝光时间t=tB-tA=0.02 s,故选项A正确.
例4　BD　[解析] 水滴下落至窗台下边沿通过的距离为H=3.2 m,由速度—位移公式得v== m/s=8 m/s,故A错误;水滴下落至窗台下边沿的时间为t2== s=0.8 s,第一颗水滴刚运动到窗台下边沿时,第5颗水滴恰欲滴下,此时共4个时间间隔,可知相邻的水滴滴下的时间间隔Δt== s=0.2 s,故B正确;水滴下落至窗户上边缘的时间为t1== s=0.6 s,水滴经过窗户的时间为Δt'=t2-t1=0.8 s-0.6 s=0.2 s,故C错误;经过窗台的平均速度为== m/s=7 m/s,故D正确.
例5　(1)(2-) s　(2)(-) s
[解析] (1)木杆由静止开始做自由落体运动,木杆下端到达窗子上端时有h下上=g
得t下上== s= s
木杆上端到达窗子上端用时
t上上== s=2 s
则木杆通过窗子上端所用时间为
t1=t上上-t下上=(2-) s
(2)木杆的上端到达窗子的下端用时为
t上下== s= s
则木杆通过窗子的时间为
t2=t上下-t下上=(-) s
例6　495 m
[解析] 方法一:全程法
将产品的运动视为匀变速直线运动,规定向上为正方向,则v0=10 m/s,a=-g=-10 m/s2
故H=v0t+at2=-495 m.
即产品刚释放时离地面的高度为495 m.
方法二:分段法
画出运动草图如图所示.将产品的运动过程分为A→B和B→C→D两段来处理,A→B为竖直上抛运动,B→C→D为自由落体运动.
在A→B段,根据竖直上抛运动规律可知
tAB==1 s
hAB=g=5 m
由题意可知tBD=11 s-1 s=10 s
根据自由落体运动规律可得hBD=g=500 m
故释放点离地面的高度H=hBD-hBC=hBD-hAB=495 m.
变式1　B　[解析] 位移是从初位置指向末位置的有向线段,物体从抛出到落地过程的位移为-15 m,负号表示方向竖直向下,故A错误;物体上升的总时间为t1==1 s,上升的最大高度为h1== m=5 m,物体从抛出到落地过程,路程为l=h+2h1=25 m,故B正确;物体下落过程中通过的位移为h2=h+h1=20 m,根据运动学公式得h2=g,解得t2=2 s,所以物体从抛出到落地过程所用的时间为t=t1+t2=3 s,故C错误;根据速度公式得v=v0-gt=10 m/s-10×3 m/s=-20 m/s,负号表示方向竖直向下,故D错误.
随堂巩固
1.B　[解析] 由图可知,开始时的位置在20 cm处,握住尺时的位置在40 cm处,所以在反应时间内下落的高度为20 cm=0.20 m,由运动学公式得h=gt2,解得t=0.2 s,选项B正确.
2.B　[解析] 设苹果下落时间为t,则h=gt2,h-3.6 m=g(t-0.2 s)2,解得h=18.05 m、t=1.9 s,则最可能来自7楼,A错误,B正确;刚落地时的速度为vt=gt=19 m/s,选项C、D错误.
3.D　[解析] 小球以某一初速度由地面竖直向上运动过程中,只受到竖直向下的重力,加速度为g;下落过程中,只受到竖直向下的重力,做自由落体运动,加速度为g;接触地面反弹后,速度立即反向,做竖直上抛运动,小球在空中运动的加速度一直是g,则v-t图像的斜率不发生变化,但小球弹起时的速度越来越小,故A、B、C错误,D正确.
4.B　[解析] 该运动员做竖直上抛运动,位移为h=3.05 m-2.60 m=0.45 m,根据位移—速度关系式v2-=-2gh,解得v0=3 m/s,选项B正确.
5.(1)1.0 s　0.4 s　(2)0.6 s
[解析] (1)杆下落过程中做自由落体运动
杆的A端到达圆环的过程中,有hA=g
杆的B端到达圆环的过程中,有hB=g
其中hA=5.0 m,hB=0.8 m
解得tA=1.0 s,tB=0.4 s.
(2)杆通过圆环的过程所用的时间t=tA-tB=0.6 s.专题课:自由落体运动的综合应用　竖直上抛运动
学习任务一　自由落体运动在生活中的应用
[科学思维] 自由落体运动在生活中的应用很多,如测井深、测反应时间、测曝光时间等.
1.测井深:将石头从井口自由落下,并开始计时,当听到水击声时停止计时,查看秒表时间t,根据声速和物理原理可大致计算出井口到水面的距离h=　　　　,由于忽略了　　　　　　,测定的水井深度比实际深度要　　　　.
2.测反应时间:甲用两个手指轻轻捏住木尺上端,让木尺自然下垂.乙把手放在尺下端
刻度为L1的位置,但　　　　,准备用手指夹住下落的尺;甲在不通知乙的情况下,突然松手,尺子下落;乙看到尺子下落后快速用手指夹住尺子.若夹住尺子的位置刻度为L2,重力加速度大小为g,则乙的反应时间为t=　　　　　　;
3.测曝光时间
(1)一个重要的“近似”:由于相机曝光时间很短,由Δv=a·Δt可知这段时间内速度增加量很小,几乎可以忽略不计,因此这段时间内物体可以视为匀速下落
(2)求解的思维导图
若已知“下落高度h” “曝光痕迹长Δh”就能求出“曝光时间Δt”.
例1 [2023·天津西青杨柳青一中月考] 某人估测一竖直枯井深度,从井口静止释放一石头并开始计时,经3 s听到石头落地声,由此可知井深约为(不计声音传播时间,重力加速度g取10 m/s2) (　)
A.20 m　　　　　B.30 m
C.40 m D.45 m
[反思感悟]

例2 [2023·龙岩一中月考] 图示方法可以估测人的反应时间:甲同学捏住直尺上端,使直尺保持竖直状态,零刻度线位于乙同学的两指之间.当乙看见甲
放开直尺时,
立即抓捏直尺,读出抓捏位置的刻度为h.若用该直尺测量反应时间的范围为0~0.4 s,则直尺的长度至少为　　　　 m(g取10 m/s2).若在直尺的另一面每隔0.05 s标记测量反应时间的刻度线,则刻度线是　　　　(选填“均匀”或“不均匀”)的.
[反思感悟]

例3 有一种“傻瓜”相机的曝光时间(快门打开到关闭的时间)是固定不变的.为了估测该相机的曝光时间,有位同学提出了下述实验方案:他从墙面上A点的正上方与A相距H=1.8 m处使一个小石子自由落下,在小石子下落通过A点时,立即按动快门,对小石子照相,得到如图所示的照片,由于石子的运动,它在照片上留下一条模糊的径迹AB.已知每块砖的平均厚度是6 cm.请从上述信息和照片算出这个“傻瓜”相机的曝光时间最接
近 (　)
A.0.02 s
B.0.06 s
C.0.5 s
D.0.008 s
[反思感悟]

学习任务二　自由落体运动中的“水滴下落”类问题和“落杆”类问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[科学思维]
1.“水滴下落”类问题
像水滴下落这样从同一位置开始、间隔相等时间依次做自由落体运动的物体在空间形成不同间距的问题,可将若干个物体在某一时刻的排列情形等效成一个物体在不同时刻的位置.类似于研究匀变速直线运动时打点计时器打下的纸带上的点,由此可以用Δs=aT2、初速度为零的匀变速直线运动的比例关系或者平均速度法进行求解.
2.“落杆”类问题
由于物体有一定的长度,故物体经过某一点不是一个瞬间,而是一段时间,解决这类问题的关键是选准研究过程.找准与这段研究过程的起点和终点相对应的位移.解答过程中应借助示意图,搞清楚物体运动的过程,从而达到解决问题的目的.
例4 (多选)[2023·福州期中] 雨后,屋檐还在不断滴着水滴.如图所示,小红同学认真观察后发现,这些水滴都是在质量积累到足够大时才由静止开始下落,每隔相等时间滴下一水滴,水滴在空中的运动情况都相同,某时刻起,第一颗水滴刚运动到窗台下边沿时,第5颗水滴恰欲滴下.她测得,屋檐到窗台下边沿的距离为H=3.2 m,窗户的高度为h=1.4 m,不计空气阻力的影响,g取10 m/s2.则下列结论正确的是(　)
A.水滴下落到达窗台下边沿时的速度大小为6 m/s
B.每隔0.2 s滴下一水滴
C.水滴经过窗户的时间为0.4 s
D.水滴经过窗户的平均速度为7 m/s
[反思感悟]

例5 [2023·厦门双十中学月考] 木杆长5 m,上端固定在屋檐处竖直悬挂,由静止放开后让其自由下落(不计空气阻力),木杆通过屋檐正下方20 m处的窗子,窗子高为5 m,g取10 m/s2,求:
(1)木杆通过窗子上端所用时间;
(2)木杆通过窗子所用时间.
学习任务三　竖直上抛运动
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[模型建构]
1.竖直上抛运动
将一个物体以某一初速度v0竖直向上抛出,抛出的物体只在重力作用下运动,这种运动就是竖直上抛运动.
2.竖直上抛运动的实质
初速度v0≠0、加速度a=-g的匀变速直线运动(通常规定初速度v0的方向为正方向,
g为重力加速度的大小).
3.竖直上抛运动的v-t图像
4.竖直上抛运动的规律
速度公式:v=v0-gtt上=.
位移公式:h=v0t-gt2t总=.
速度与位移关系式:v2-=-2ghH=.
5.竖直上抛运动的特点
(1)对称性
①时间对称性:对同一段距离,上升过程和下降过程所用时间相等,tAB=tBA,tOC=tCO.
②速度对称性:上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等,方向相反,vB=-vB',vA=-vA'.(如图所示)
(2)多解性
通过某一点可能对应两个时刻,即物体可能处于上升阶段,也可能处于下降阶段.
例6 研究人员为检验某一产品的抗撞击能力,乘坐热气球并携带该产品竖直升空,当热气球以10 m/s的速度匀速上升到某一高度时,研究人员从热气球上将产品自由释放,测得经11 s产品撞击地面.不计产品所受的空气阻力,求产品的释放位置距地面的高度.(g取10 m/s2)
变式1 [2023·福州三中月考] 在离地面15 m的高处,以10 m/s的初速度竖直上抛一物体,以竖直向上为正方向,重力加速度g取10 m/s2,则物体从抛出到落地过程 (　)
A.位移为15 m B.路程为25 m
C.所用的时间为2 s D.落地速度为20 m/s
[反思感悟]

【要点总结】
竖直上抛运动的处理方法
(1)分段法:把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速直线运动和下落阶段的自由落体运动.上升阶段:v=v0-gt,h=v0t-gt2;下落阶段:v=gt,h=gt2.
(2)整体法:将竖直上抛运动视作初速度为v0、加速度为-g的匀减速直线运动.取整个过程分析,选竖直向上为正方向,则有v=v0-gt,h=v0t-gt2.v>0时,处于上升阶段;v<0时,处于下落阶段.h>0时,在抛出点上方;h<0时,在抛出点下方.
1.(测反应时间)[2023·四川成都七中月考] 从发现情况到采取相应行动经过的时间叫反应时间.如图甲所示,两位同学用刻度尺测量人的反应时间,A握住尺的上端,B在尺的下部做握尺的准备(但不与尺接触),当看到A放开手时,B立即握住尺.若B做握尺准备时手指位置如图乙所示,而握住尺时的位置如图丙所示,由此测得B同学的反应时间约为(　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0.1 s B.0.2 s C.0.3 s D.0.4 s
2.(自由落体运动规律的综合应用)[2023·漳州期中] 一天,某小区居民发现一个苹果从高空坠落,所幸未造成事故.物业通过调取一楼监控录像,分析发现苹果在落地前最后0.2 s内下落的高度为3.6 m.已知每层楼高为3 m,若苹果做自由落体运动,g取10 m/s2,则该苹果 (　)
A.最可能来自6楼
B.最可能来自7楼
C.刚落地时的速度为36 m/s
D.刚落地时的速度为2 m/s
3.(竖直上抛运动图像)[2023·三明一中月考] 小球以某一初速度由地面竖直向上运动,当其落回地面时会与地面发生碰撞并反弹,如此上升、下落及反弹数次.若规定竖直向下为正方向,不计碰撞时间和空气阻力,则如图所示的v-t图像中能正确描述小球运动的是(　)
4.(竖直上抛运动规律)[2023·厦门一中月考] 已知CBA(中国男子篮球职业联赛)篮球筐距地面高度为3.05 m,某篮球运动员站立举手能达到的高度为2.60 m.如图所示,他竖直跳起到最高点时刚好可以将篮球扣入筐中,不计
空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,则他起跳的初速度约为 (　)
A.1 m/s
B.3 m/s
C.5.2 m/s
D.10 m/s
5.(落杆类问题)有一条竖直悬挂起来的长为4.2 m的细杆AB,在杆的正下方离B端0.8 m处有一个水平放置的圆环C,如图所示.若让杆自由下落,g取10 m/s2,求:
(1)从杆下落开始,上端A及下端B分别到达圆环所经历的时间;
(2)杆通过圆环的过程所用的时间.专题课:自由落体运动的综合应用　竖直上抛运动建议用时:40分钟
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
◆ 知识点一　 自由落体运动的综合应用
1.为了测出井口到水面的距离,让一个小石块从井口自由落下,经过2.5 s后听到石块击水的声音,重力加速度g取10 m/s2,估算井口到水面的距离.考虑到声音在空气中传播需要一定的时间,估算结果偏大还是偏小 (　)
A.31.25 m,偏大 B.31.25 m,偏小
C.62.50 m,偏大 D.62.50 m,偏小
2.[2023·龙岩一中月考] 如图所示,某同学调整自来水管的阀门,当第2滴水正欲滴下时,第1滴水刚好到达地面,此后每隔相同的时间间隔滴下一滴水,
水下落的高度为H,测出从第1滴水开始下落到第2滴水落地所用的时间为t,则当地重力加速度大小为 (　)
A. B.
C. D.
3.[2023·四川南充期中] 很多同学都做过测量“反应时间”的实验,如图所示,甲同学手握直尺,某时刻甲同学放开直尺,从乙同学看到甲同学松开直尺,到他抓住直尺所用时间就叫“反应时间”,直尺长80 cm,处于竖直状态,乙同学的手放在直尺0刻度线位置.甲、乙两位同学做了两次测量“反应时间”的实验,第一次乙同学抓住直尺位置的刻度值为11.25 cm,第二次手抓住直尺位置的刻度值为5 cm.直尺下落过程中均保持竖直状态,重力加速度g取10 m/s2,则下列说法错误的是(　)
A.乙同学第一次的“反应时间”为0.15 s
B.乙同学第二次的“反应时间”为0.1 s
C.乙同学第一次抓住直尺之前的瞬间,直尺的速度约为1.25 m/s
D.若将尺子上原来的长度值改为对应的“反应时间”值,则测量量程为0.4 s
4.一条悬链长7.2 m,从悬挂点处断开,使其自由下落,不计空气阻力,g取10 m/s2,则整条悬链通过悬挂点正下方20 m处的一点所需的时间是 (　)
A.0.3 s B.0.4 s
C.0.7 s D.1.2 s
◆ 知识点二　竖直上抛运动
5.[2023·南平一中月考] 如图所示,某同学身高为1.8 m,在运动会上他参加跳高比赛,起跳后身体横着越过了1.8 m高度的横杆,g取10 m/s2,据此可算出他起跳时竖直向上的
速度大约为 (　)
A.2 m/s 　　　　B.4 m/s
C.6 m/s 　　　　D.8 m/s
6.一个从地面竖直上抛的物体两次经过同一窗户下边线的时间间隔为t1,两次经过同一窗户上边线的时间间隔为t2,不计空气阻力,重力加速度为g,则窗户的高度为 (　)
A.g(-) B.g(-)
C.g(-) D.g(-)
7.(多选)[2023·福建龙岩期中] 某同学依次将A、B两小球竖直向上抛出,A球从抛出至回到抛出点的时间为t,B球从抛出至回到抛出点的时间为2t,不计空气阻力,则 (　)
A.A、B两小球的初速度之比是1∶2
B.A、B两小球的初速度之比是1∶4
C.A、B两小球到达的最大高度之比是 1∶2
D.A、B两小球到达的最大高度之比是 1∶4
8.(多选)[2023·福建师大附中月考] 某物体以初速度v0=20 m/s竖直向上抛出(不计空气阻力,g取10 m/s2),当速度大小变为10 m/s时 (　)
A.所经历的时间一定为1 s
B.所经历的时间可能为3 s
C.距抛出点的距离为15 m
D.速度方向一定向上
9.一观察者发现,每隔一定时间有一水滴自8 m高处的屋檐落下(g取10 m/s2),
而且当看到第五滴水刚要离开屋檐时,第一滴水正好落到地面,则此时第二滴水离地的高度是 (　)
A.2 m 　　　　　B.2.5 m
C.2.9 m 　　　　　D.3.5 m
10.(多选)[2023·福州一中月考] 如图所示,一长为L=0.05 m的铁链用短轻绳悬挂在天花板上,铁链正下方h=0.2 m处竖直放置一长度也为h、内径比铁链直径稍大的钢管.剪断轻绳,铁链由静止开始下落,不计空气阻力,g取10 m/s2,则 (　)
A.铁链下端刚要进入钢管时的速度大小为2 m/s
B.铁链下端刚要穿出钢管时的速度大小为3 m/s
C.铁链通过钢管的时间为0.3 s
D.铁链通过钢管的时间为0.1 s
11.[2023·辽宁沈阳期中] 在某点自由释放一个直径为4 cm的铁球,照相机拍摄到球在空中下落的照片如图所示.该照片的曝光时
间为0.025 s.由于小球的运动,它在照片上留下了一条拖影AB.小球在曝光的0.025 s内的平均速度为　　　　 m/s,小球释放的位置在A点上方距离A点　　　　m处.(结果保留3位有效数字,g取10 m/s2)
12.[2023·莆田五中月考] 如图所示,屋檐上每隔相同的时间间隔滴下一滴水,某时刻空中有5颗水滴,
第1、第2两滴水滴间距为1.6 m,第2、第3两滴水滴间距为1.2 m,不计空气阻力,则第3、4两水滴间距为　　　　m,此时第3个水滴的瞬时速度为　　　　 m/s.(重力加速度g取10 m/s2)
13.如图所示,运动员从离水面10 m高的平台上向上跃起,举起双臂直体离开台面,此时其重心位于从手到脚全长的中点,跃起后重心升高h=0.45 m到达最高点,落水时身体竖直,手先入水(此过程中运动员在水平方向的运动忽略不计).现把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点,g取10 m/s2,求:
(1)运动员起跳时的速度v0的大小;
(2)从运动员离开跳台到手接触水面的过程中所经历的时间t.
14.[2023·宁德一中月考] 如图,在一座高楼顶端悬挂一个空心金属管,金属管长l=1.0 m,金属管的底端离地面高H=20 m,t0=0时刻金属管由静止开始下落,经过中间某楼层的窗户,窗户高h1=1.2 m,整根金属管经过窗户的时间Δt=0.2 s,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力.
(1)求从下落到金属管的底端刚刚碰地的时间t;
(2)求金属管的底端离窗户上沿的距离h的大小;
(3)若t0=0时从金属管的正下方地面上,以初速度v0=16 m/s发射一颗小石头,求金属管的底端与小石头相遇的时间t3.

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