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第22章 二次函数
一、选择题
1．（3分）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则c﹣2b的值是（　　）
A．7 B．﹣1 C．﹣2 D．3
2．（3分）若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（　　）
A．m＞2 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0
3．（3分）若一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2﹣ax（　　）
A．有最大值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
4．（3分）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6，（　　）
A．若h＝2，则a＜0 B．若h＝3，则a＞0
C．若h＝4，则a＞0 D．若h＝5，则a＞0
5．（3分）当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为4，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．4 C．4或3 D．﹣2或3
6．（3分）如图，教师在小黑板上出示一道题，小华答：过点（3，0）；小彬答：过点（4，3）；小明答：a＝1；小颖答：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的回答中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数表达式为：y（x﹣25）2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（　　）m．
A．12 B．25 C．13 D．14
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（　　）
A．m，n B．m＝5，n＝﹣6
C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣2
9．（3分）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为yx2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（　　）
A．﹣20m B．20m C．10m D．﹣10m
10．（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　）
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
二、填空题
11．（2分）函数y＝2x2+4x﹣5用配方法转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式是　 　 ．
12．（2分）如果将抛物线y＝x2向右平移2个单位，向上平移3个单位长度，那么所得新的抛物线的表达式是 　 　 ．
13．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中a，b，c满足a+b+c＝0和9a﹣3b+c＝0，则该二次函数图象的对称轴是直线 　 　 ．
14．（2分）若x、y、z为实数，且，则代数式x2﹣3y2+z2的最大值是　 　 ．
15．（2分）抛物线y＝x2+2ax﹣3与x轴交于A，B（1，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，将抛物线沿y轴平移m（m＞0）个单位，当平移后的抛物线与线段OA有且只有一个交点时，则m的取值范围是　 　 ．
16．（2分）当1≤x≤4时，直线y＝m（m为常数）与抛物线y＝（x﹣2）2﹣3在自变量x取值范围内的图象有两个交点，则m的取值范围是 　 　 ．
17．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则y1　 　 y2．（填“＞”“＝”或“＜”）
18．（2分）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时得出如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；
④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．
老师检查以后，发现其中有一个错误的结论，这个错误的结论的序号是：　 　 ．
三、解答题
19．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，4）和点B（5，4），且与y轴的交点的纵坐标为．
（1）求这条抛物线的函数解析式，并写出它的顶点坐标；
（2）x为何值时，y随x的增大而增大？x为何值时，y随x的增大而减小？
20．（6分）已知二次函数y＝（m﹣1）x2﹣2mx+m+1．
（1）求证：该二次函数图象与x轴有两个交点；
（2）当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，求整数m的值．
21．（7分）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A，B．
（1）求a，b满足的关系式及c的值．
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求实数a的取值范围．
（3）当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（7分）如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度为10m，一身高为1.8m的同学站在门内，在离门脚1m处垂直地面站直拍照，其头顶恰好顶在抛物线形门上，根据这些条件，请你求出该大门的高h．
23．（8分）某商场销售新型电子产品，购进时的价格为20元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售价格为40元/件时，销售量为200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件．
（1）求销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（2）求销售该产品所获利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出商场获得的最大利润．
（3）若商场想获得不低于4000元的利润，请确定销售单价的范围．
24．（10分）已知y＝ax2+bx+c过点A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小．
25．（10分）平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+2与x轴有两个交点．
（1）求抛物线的对称轴（用含有m的式子表示）：
（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，抛物线的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围：
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与直线l相交于点B．结合图象，求△ABO的面积最大时m的值．
26．（10分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．
（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式．
（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（，0）．
（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．
第22章 二次函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则c﹣2b的值是（　　）
A．7 B．﹣1 C．﹣2 D．3
【答案】A
【分析】把（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c可得﹣2b+c＝7，再将所求的式子变形，即可求出答案
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），
∴﹣（﹣2）2﹣2b+c＝3，
整理得，﹣2b+c＝7，
即c﹣2b＝7
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．
2．（3分）若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（　　）
A．m＞2 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0
【答案】B
【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标，由顶点坐标所在的象限可得到关于m的不等式组，可求得m的取值范围．
【解答】解：
∵y＝（x﹣m）2+（m+1），
∴抛物线顶点坐标为（m，m+1），
∵顶点坐标在第一象限，
∴，解得m＞0，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为直线x＝h，顶点坐标为（h，k）．
3．（3分）若一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2﹣ax（　　）
A．有最大值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
【答案】B
【分析】一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，得到﹣1＜a＜0，于是得到结论．
【解答】解：∵一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，
∴a+1＞0且a＜0，
∴﹣1＜a＜0，
∴二次函数y＝ax2﹣ax有最大值，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
4．（3分）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6，（　　）
A．若h＝2，则a＜0 B．若h＝3，则a＞0
C．若h＝4，则a＞0 D．若h＝5，则a＞0
【答案】B
【分析】当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6代入函数解析式整理得a（7﹣2h）＝1，将h的值分别代入即可得出结果．
【解答】解：当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6；代入函数解析式得：
，
∴a（6﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝5，
整理得：a（7﹣2h）＝1，
若h＝2，则a，故A错误，不符合题意；
若h＝3，则a＝1，故B正确，符合题意；
若h＝4，则a＝﹣1，故C错误，不符合题意；
若h＝5，则a，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
5．（3分）当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为4，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．4 C．4或3 D．﹣2或3
【答案】D
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝4时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值4，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：当y＝4时，有x2﹣2x+1＝4，
解得：x1＝﹣1，x2＝3．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值4，
∴a＝3或a+1＝﹣1，
∴a＝3或a＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝4时x的值是解题的关键．
6．（3分）如图，教师在小黑板上出示一道题，小华答：过点（3，0）；小彬答：过点（4，3）；小明答：a＝1；小颖答：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的回答中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据图上给出的条件是与x轴交于（1，0），叫我们加个条件使对称轴是直线x＝2，意思就是抛物线的对称轴是直线x＝2是题目的已知条件，这样可以求出a、b的值，然后即可判断题目给出四个人的判断是否正确．
【解答】解：∵抛物线过（1，0），对称轴是直线x＝2，
∴，
解得a＝1，b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x+3，
当x＝3时，y＝0，小华正确；
当x＝4时，y＝3，小彬也正确，小明也正确；
∵抛物线被x轴截得的线段长为2，已知过点（1，0），
∴另一点为（﹣1，0）或（3，0），
∴对称轴为y轴或x＝2，此时答案不唯一，
∴小颖错误．
故选：C．
【点评】本题是开放性题目，考查了抛物线与x轴的交点、抛物线解析式的求法等知识；根据题意求出抛物线的解析式是解决问题的关键．
7．（3分）一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数表达式为：y（x﹣25）2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（　　）m．
A．12 B．25 C．13 D．14
【答案】A
【分析】根据二次函数的顶点坐标即可求解．
【解答】解：∵y（x﹣25）2+12，
顶点坐标为（25，12），
∵0，
∴当x＝25时，y有最大值，最大值为12．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是利用二次函数的顶点坐标求最值．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（　　）
A．m，n B．m＝5，n＝﹣6
C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣2
【答案】D
【分析】根据关于y轴对称，a，c不变，b变为相反数列出方程组，解方程组即可求得．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，
∴，解之得，
∴则符合条件的m，n的值为m＝1，n＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据题意列出方程组是解题的关键．
9．（3分）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为yx2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（　　）
A．﹣20m B．20m C．10m D．﹣10m
【答案】B
【分析】根据题意分别求出点A、B的坐标，计算即可．
【解答】解：由题意得，﹣4x2，
解得，x＝±10，
即点A的坐标为（﹣10，﹣4），点B的坐标为（10，﹣4），
这时水面宽度AB为20m，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
10．（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　）
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
【答案】B
【分析】选项B正确，利用判别式的性质证明即可．
【解答】解：A、错误．由M1＝2，M2＝2，
可得a2﹣4＞0，b2﹣8＞0，取a＝3，b2＝15，则c5，此时c2﹣16＞0．故A错误．
B、正确．
理由：∵M1＝1，M2＝0，
∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0，
∵a，b，c是正实数，
∴a＝2，
∵b2＝ac，
∴cb2，
对于y3＝x2+cx+4，
则有Δ＝c2﹣16b4﹣16（b4﹣64）（b2+8）（b2﹣8）＜0，
∴M3＝0，
∴选项B正确，
C、错误．由M1＝0，M2＝2，
可得a2﹣4＜0，b2﹣8＞0，取a＝1，b2＝18，则c18，此时c2﹣16＞0．故C错误．
D、由M1＝0，M2＝0，
可得a2﹣4＜0，b2﹣8＜0，取a＝1，b2＝4，则c4，此时c2﹣16＝0．故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题
11．（2分）函数y＝2x2+4x﹣5用配方法转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式是　y＝2（x+1）2﹣7　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝2x2+4x﹣5
＝2（x2+2x+1）﹣2﹣5
＝2（x+1）2﹣7，
即y＝2（x+1）2﹣7．
故答案为：y＝2（x+1）2﹣7．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
12．（2分）如果将抛物线y＝x2向右平移2个单位，向上平移3个单位长度，那么所得新的抛物线的表达式是 　y＝（x﹣2）2+3　 ．
【答案】y＝（x﹣2）2+3．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝x2向右平移2个单位后的解析式为：y＝（x﹣2）2．
再向上平移3个单位后所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2+3，
故答案为：y＝（x﹣2）2+3．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
13．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中a，b，c满足a+b+c＝0和9a﹣3b+c＝0，则该二次函数图象的对称轴是直线 　x＝﹣1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】解方程求出a，b的值，再根据对称轴公式即可求出该二次函数图象的对称轴．
【解答】解：方程9a﹣3b+c＝0减去方程a+b+c＝0，
可得8a﹣4b＝0，
根据对称轴公式整理得：对称轴为x1．
故该二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．
【点评】解决此题的关键是根据对称轴公式的特点巧妙整理方程，运用技巧不但可以提高速度，还能提高准确率．
14．（2分）若x、y、z为实数，且，则代数式x2﹣3y2+z2的最大值是　26　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】解三元一次方程组，用z表示出x、y，根利用配方法计算即可．
【解答】解：，
①﹣②得，y＝1+z，
把y＝1+z代入①得，x＝2﹣z，
则x2﹣3y2+z2＝（2﹣z）2﹣3（1+z）2+z2＝﹣z2﹣10z+1＝﹣（z+5）2+26，
当z＝﹣5时，x2﹣3y2+z2的最大值是26，
故答案为：26．
【点评】本题考查的是二次函数的最值、三元一次方程组的解法，掌握配方法求二次函数最大值的一般步骤是解题的关键．
15．（2分）抛物线y＝x2+2ax﹣3与x轴交于A，B（1，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，将抛物线沿y轴平移m（m＞0）个单位，当平移后的抛物线与线段OA有且只有一个交点时，则m的取值范围是　0＜m＜3或m＝4　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，可以先求得原抛物线的解析式，然后根据将抛物线沿y轴平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线与线段OA有且只有一个交点，可知刚开始平移到平移后的抛物线恰好过原点这个过程中抛物线与线段OA有一个交点，第二种情况就是平移后的抛物线的顶点恰好在x轴上，从而可以求得m的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2ax﹣3与x轴交于A，B（1，0）两点（点A在点B的左侧），
∴1+2a﹣3＝0，得a＝1，
∴y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），
当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
∵将抛物线沿y轴平移m（m＞0）个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3+m＝（x+1）2﹣4+m，
∴当平移后的抛物线过点（0，0）时，0＝（0+1）2﹣4+m，得m＝3，
当平移后抛物线的顶点在x轴上时，抛物线与OA有一个交点，即0＝（﹣1+1）2﹣4+m，得m＝4，
∵将抛物线沿y轴平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线与线段OA有且只有一个交点，
∴0＜m＜3或m＝4，
故答案为：0＜m＜3或m＝4．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．（2分）当1≤x≤4时，直线y＝m（m为常数）与抛物线y＝（x﹣2）2﹣3在自变量x取值范围内的图象有两个交点，则m的取值范围是 　﹣3＜m≤﹣2　 ．
【答案】﹣3＜m≤﹣2．
【分析】通过抛物线解析式，用五点法画出函数图象，再利用数形结合的思想，得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3），
令x＝0，则y＝1，
令y＝0．则，（x﹣2）2﹣3＝0，
解得：x1＝2，x2＝2，
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）和（2，0），与y轴交点为（0，1），当x＝1时，y＝﹣2，
∴抛物线的图象如图所示：
由图象知：直线y＝m与抛物线y＝（x﹣2）2﹣3在1≤x≤4内图象有一个交点，
则﹣3＜m≤﹣2，
故答案为：﹣3＜m≤﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，以及直线和抛物线的交点问题，关键是利用五点法画出二次函数的图象，数形结合解决问题．
17．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则y1　＞　 y2．（填“＞”“＝”或“＜”）
【答案】＞．
【分析】首先分析出a，b，x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1，y2，再作差法比较y1，y2的大小．
【解答】解：∵a﹣b2＞0，b2≥0，
∴a＞0．
又∵ab＜0，
∴b＜0，
∵x1＜x2，x1+x2＝0，
∴x2＝﹣x1，x1＜0．
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，
∴y1bx1+c，y2bx2+c，
∴y1﹣y2＝2bx1＞0．
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和函数值的大小比较，判断出字母系数的取值范围是解题的关键．
18．（2分）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时得出如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；
④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．
老师检查以后，发现其中有一个错误的结论，这个错误的结论的序号是：　③　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】①根据二次函数图象的顶点坐标即可判断顶点是否在直线y＝﹣x+1上；
②根据顶点坐标和与x轴的两个交点即可判断等腰直角三角形；
③根据二次函数的对称轴即可判断，点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；
④根据二次函数的增减性即可判断当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．
【解答】解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）顶点坐标为（m，﹣m+1），
当x＝m时，y＝﹣m+1，
∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；
故结论①正确；
②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，
令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1，
解得x1＝m，x2＝m，
∵顶点坐标为（m，﹣m+1），
且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，
∴|﹣m+1|＝|m﹣（m）
解得：m＝0或1（m＝1时，不能构成三角形，舍去）
∴存在m＝0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
故结论②正确；
③∵x1+x2＞2m，
∴m，
∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为x＝m，
∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离，
∵x1＜x2，且﹣1＜0，
∴y1＞y2；
故结论③错误；
④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且﹣1＜0，
∴m的取值范围为m≥2．
故结论④正确．
故答案为③．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是综合利用二次函数图象与性质．
三、解答题
19．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，4）和点B（5，4），且与y轴的交点的纵坐标为．
（1）求这条抛物线的函数解析式，并写出它的顶点坐标；
（2）x为何值时，y随x的增大而增大？x为何值时，y随x的增大而减小？
【答案】（1）y2﹣2x，顶点坐标为（2，）；
（2）当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜时，y随x的增大而减小．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）根据二次函数y2﹣2x的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得，解得，
∴抛物线的函数解析式为y2﹣2x，
∵y2﹣2x（x﹣2）2，
∴顶点坐标为（2，）；
（2）∵抛物线y2﹣2x的开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．（6分）已知二次函数y＝（m﹣1）x2﹣2mx+m+1．
（1）求证：该二次函数图象与x轴有两个交点；
（2）当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，求整数m的值．
【答案】（1）见解析．
（2）m的值为2或3．
【分析】（1）根据函数表达式，求出Δ，再对Δ的值进行判断即可．
（2）把二次函数问题转化为二次方程的问题即可解答．
【解答】（1）证明：令y＝0，
则Δ＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4＞0，
∴该二次函数图象与x轴有两个交点．
（2）解：函数与x轴相交，交点的纵坐标为0，
当y＝0时，根据求根公式可得方程的解为：x11，x2＝1，
若该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数，
则方程函数（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0的解都是正整数．
∴：1为正整数，即是正整数，
∴m﹣1＝1或2，解得m＝2或3，
∴当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，m的值为2或3．
【点评】本题考查二次函数与x轴的交点坐标及二次函数与一元二次方程的关系，学会用方程解决函数问题是关键．
21．（7分）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A，B．
（1）求a，b满足的关系式及c的值．
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求实数a的取值范围．
（3）当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）c＝2，b＝2a+1；
（2）a＜0；
（3）点P（﹣1，2）或（﹣1，）或（﹣1，）．
【分析】（1）求出点A、B的坐标，即可求解；
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x0，而b＝2a+1，即0，即可求解；
（3）过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，S△PABAB×PH2PQ1，则|yP﹣yQ|＝1，即可求解．
【解答】解：（1）y＝x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，
故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），则c＝2，
则函数表达式为：y＝ax2+bx+2，
将点A坐标代入上式并整理得：b＝2a+1；
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，
则函数对称轴x0，而b＝2a+1，
即0，解得：a，
故a的取值范围为：a＜0；
（3）当a＝﹣1时，二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，
过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠PQH＝45°，
S△PABAB×PH2PQ1，
则PQ＝yP﹣yQ＝1，
在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，
则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，
故：|yP﹣yQ|＝1，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点Q（x，x+2），
即：﹣x2﹣x+2﹣x﹣2＝±1，
解得：x＝﹣1或﹣1±，
故点P（﹣1，2）或（﹣1，）或（﹣1，）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
22．（7分）如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度为10m，一身高为1.8m的同学站在门内，在离门脚1m处垂直地面站直拍照，其头顶恰好顶在抛物线形门上，根据这些条件，请你求出该大门的高h．
【答案】该大门的高h为5m．
【分析】以大门正下方的边缘所在的直线为x轴，以经过大门最高点且与地面垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线的顶点为大门的最高点，其坐标为（0，h），该抛物线上还有两个已知点，其坐标分别为（5，0）和（4，1.8），可以设抛物线的解析式为y＝ax2+h，将（5，0）和（4，1.8）代入该解析式，列方程组并且解该方程组求出h的值即可．
【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，作CD⊥x轴交抛物线于点D，
∵OA10＝5m，OC＝5﹣1＝4（m），CD＝1.8m，
∴A（5，0），C（4，0），D（4，1.8），
∵抛物线的顶点为大门的最高点，
∴B（0，h），
设抛物线的解析式为y＝ax2+h，
将A（5，0）、D（4，1.8）代入y＝ax2+h，得，
解得，
答：该大门的高h为5m．
【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式等知识与方法，正确地建立平面直角坐标系是解题的关键．
23．（8分）某商场销售新型电子产品，购进时的价格为20元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售价格为40元/件时，销售量为200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件．
（1）求销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（2）求销售该产品所获利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出商场获得的最大利润．
（3）若商场想获得不低于4000元的利润，请确定销售单价的范围．
【答案】（1）销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y＝﹣20x+1000；
（2）销售该产品所获利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为W＝﹣20x2+1400x﹣20000，商场获得的最大利润为4500元；
（3）商场想获得不低于4000元的利润，销售单价的范围30≤x≤40．
【分析】（1）根据题意可得：销售量y＝200+（40﹣x）×20，进而得出答案；
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出销售该产品所获利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
（3）令W＝4000，解关于x的一元二次方程求出x的值，再根据函数图象和性质求出利润不低于4000时自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）依题意得：y＝200+（40﹣x）×20＝﹣20x+1000，
则销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y＝﹣20x+1000；
（2）W＝y （x﹣20）＝（x﹣20）（﹣20x+1000），
整理得W＝﹣20x2+1400x﹣20000＝﹣20（x﹣35）2+4500，
∵﹣20＜0，
∴当x＝35时，W有最大值，最大值为4500，
∴销售该产品所获利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为W＝﹣20x2+1400x﹣20000，商场获得的最大利润为4500元；
（3）当W＝4000时，则﹣20x2+1400x﹣20000＝4000，
解得x1＝30，x2＝40，
∵函数W＝﹣20x2+1400x﹣20000开口向下，
∴当30≤x≤40时，W≥4000，
∴商场想获得不低于4000元的利润，销售单价的范围30≤x≤40．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内．
24．（10分）已知y＝ax2+bx+c过点A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小．
【答案】（1）抛物线的解析式为yx2+x；
（2）y1＞y2．
【分析】（1）由题意可得0＝4a+2b+c①，1②，Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，联立方程组可求a，b，c，可求解析式；
（2）由n＜﹣5，可得点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），
∴0＝4a+2b+c①，
∵对称轴是直线x＝1，
∴1②，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，
由①②③可得：，
∴抛物线的解析式为yx2+x；
（2）∵n＜﹣5，
∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19
∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，
∵抛物线yx2+x，
∴0，即y随x的增大而增大，
∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，
∴3n﹣4＞5n+6，
∴y1＞y2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式．需要熟练掌握二次函数的性质方可解答该题．
25．（10分）平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+2与x轴有两个交点．
（1）求抛物线的对称轴（用含有m的式子表示）：
（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，抛物线的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围：
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与直线l相交于点B．结合图象，求△ABO的面积最大时m的值．
【答案】（1）抛物线的对称轴为直线x＝m；
（2）﹣3＜m＜﹣1；
（3）面积最大时，．
【分析】（1）先把抛物线化为顶点式，从而可得答案；
（2）应用配方法得到顶点A坐标，讨论点A与直线l以及x轴之间位置关系，确定m取值范围；
（3）在（2）的基础上表示△ABO的面积，根据二次函数性质求面积最大值与m的值即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+2＝（x﹣m）2+2m+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m；
（2）∵y＝x2﹣2mx+m2+2m+2＝（x﹣m）2+2m+2，
∴抛物线顶点坐标为A（m，2m+2），
∵二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），
∴当直线l在x轴上方时，
此时不等式组无解，
当直线l在x轴下方时，
解得﹣3＜m＜﹣1；
（3）由（1）得：点A在点B上方，则AB＝2m+2﹣m+1＝m+3，
∵﹣3＜m＜﹣1，
∴△ABO的面积，
∵，
∴当时，．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质，以及分类讨论、数形结合的数学思想，理解题意，构建不等式组与关于面积的二次函数关系式是解本题的关键．
26．（10分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．
（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式．
（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（，0）．
（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，可得r2+br+a＝0，推出10，即a（）2+b 1＝0，推出是方程ax2+bx+1的根，可得结论．
（3）由题意a＞0，∴m，n，根据m+n＝0，构建方程可得结论．
【解答】解：（1）由题意，得到3，解得b＝﹣6，
∵函数y1的图象经过（a，﹣6），
∴a2﹣6a+a＝﹣6，
解得a＝2或a＝3，
∴函数y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3．
（2）∵函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，
∴r2+br+a＝0，
∴10，
即a（）2+b 1＝0，
∴是方程ax2+bx+1＝0的根，
即函数y2的图象经过点（，0）．
（3）∵函数y1和函数y2有最小值分别为m和n，
∴a＞0，
∴m，n，
∵m+n＝0，
∴0，
∴（4a﹣b2）（a+1）＝0，
∵a+1＞0，
∴4a﹣b2＝0，
∴m＝n＝0．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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