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第23章 旋转
一、选择题
1．（3分）下列现象属于旋转的是（　　）
A．摩托车在急刹车时向前滑动
B．火箭冲向空中的时候
C．笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号
D．幸运大转盘转动的过程
2．（3分）下列平面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A．平行四边形 B．菱形
C．等边三角形 D．角
3．（3分）“小马虎”在做作业时，将点A的横、纵坐标次序颠倒，写成A（b，a），“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写出关于x轴的对称点的坐标，写成B（﹣a，﹣b），则A、B两点原来的位置关系是（　　）
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于y轴对称 D．A和B重合
4．（3分）若点A（1﹣2a，a﹣2）关于原点的对称点在第一象限，则a的整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（3分）如图所示，△ABE与△ACD是两个全等三角形，则下列说法正确的是（　　）
A．将△ABE通过平移可以和△ACD重合
B．将△ABE通过旋转可以和△ACD重合
C．将△ABE通过旋转、平移可以和△ACD重合
D．将△ABE通过轴对称、再旋转可以和△ACD重合
6．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，则∠EFD的度数为（　　）
A．15° B．10° C．20° D．25°
7．（3分）如图，Rt△ABC的边AB在x轴上，且A（﹣1，0），B（1，0），∠A＝45°，斜边AC以点A为旋转中心，顺时针旋转45°，恰好与x轴相交于D，则点D的坐标是（　　）
A．（，0） B．（2，0） C．（21，0） D．（22，0）
8．（3分）在探究“尺规三等分角”这个数学名题中，利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，线段AC绕点A逆时针旋转得到线段AF，CF、BA的延长线交于点E，若∠E＝∠FAE，∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是（　　）
A．7° B．21° C．23° D．34°
9．（3分）如图（1），已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD、AC于点F、G，则在图（2）中，全等三角形共有（　　）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
10．（3分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE，则CE的最大值为（　　）
A． B．1 C．1 D．1
二、填空题
11．（3分）若点P（m+1，8﹣2m）关于原点的对称点Q在第三象限，那么m的取值范围是　 　 ．
12．（3分）若点P（2a+3b，﹣2）关于原点的对称点为Q（3，a﹣2b），则（3a+b）2020＝　 　 ．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，关于O点成中心对称的三角形有　 　 对．
14．（3分）如图，点A，B，C的坐标分别为（0，﹣1），（0，2），（3，0）．从下面四个点M（3，3），N（3，﹣3），P（﹣3，0），Q（﹣3，1）中选择一个点，以A，B，C与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是　 　 ．
15．（3分）在四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是　 　 ．（只要填写一种情况）
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB，AD＝1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是　 　 ．
17．（3分）如图，已知点A（﹣4，4），一个以A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别交x轴正半轴，y轴负半轴于E、F，连接EF．当△AEF是直角三角形时，点E的坐标是　 　
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），则经过第2018次变换后所得的A点坐标是 　 　 ．
三、解答题
19．（6分）点P（x+1，2x﹣1）关于原点的对称点在第一象限，试化简：|x﹣3|﹣|1﹣x|
20．（6分）如图，已知四边形ABCD及点P，画出四边形ABCD关于点P的对称图形A′B′C′D′．
21．（6分）如图所示，O为边长为a的正方形ABCD的中心，将一块直角边大于a的三角板的直角顶点放在O处，并将三角板绕O旋转，求证：ED+DF＝a．
22．（6分）等边△ABC中，D在边BC上，△ADC绕顶点A旋转到△AEB的位置，
（1）指出旋转中心，旋转方向，其中一个旋转角及其大小．
（2）指出∠DBE的大小以及连接DE后△ADE的形状．
23．（6分）如图，均为7×6的正方形网格，点A、B、C均在格点（小正方形的顶点）上，在图中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其满足下列条件（三个图形互不相同）：
（1）在图①所画的四边形中，∠D为钝角，且四边形是轴对称图形．
（2）在图②所画的四边形中，∠D为锐角，且四边形是中心对称图形．
（3）在图③所画的四边形中，∠D为直角，且四边形面积为5平方单位．
24．（8分）在直角坐标系中，四边形OABC各个顶点坐标分别为（0，0），（2，3），（5，4）（8，2）．
（1）画出平面直角坐标系，并画四边形OABC．
（2）试确定图中四边形OABC的面积．
（3）如果将四边形OABC绕点O旋转180°，试确定旋转后四边形上各个顶点的坐标．
25．（8分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；
（3）直接写出以O，A1，B为顶点的三角形的形状．
第23章 旋转
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）下列现象属于旋转的是（　　）
A．摩托车在急刹车时向前滑动
B．火箭冲向空中的时候
C．笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号
D．幸运大转盘转动的过程
【答案】D
【分析】根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案．
【解答】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项不符合题意；
B、火箭冲向空中的时候不是旋转，故此选项不符合题意；
C、笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号不是旋转，故此选项不符合题意；
D、幸运大转盘转动的过程属于旋转，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了生活的旋转现象，关键是掌握旋转的定义．
2．（3分）下列平面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A．平行四边形 B．菱形
C．等边三角形 D．角
【答案】B
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．角不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（3分）“小马虎”在做作业时，将点A的横、纵坐标次序颠倒，写成A（b，a），“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写出关于x轴的对称点的坐标，写成B（﹣a，﹣b），则A、B两点原来的位置关系是（　　）
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于y轴对称 D．A和B重合
【答案】C
【分析】首先根据确定A、B两点坐标，然后再根据坐标特点可得A、B两点原来的位置关系是关于y轴对称．
【解答】解：由题意得：A（a，b），B（﹣a，b），
则A、B两点原来的位置关系是关于y轴对称，
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，关键是掌握关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
4．（3分）若点A（1﹣2a，a﹣2）关于原点的对称点在第一象限，则a的整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】点A（1﹣2a，a﹣2）关于原点的对称点在第一象限，则点A在第三象限，横坐标小于0，纵坐标小于0，就可得到关于a的不等式组，求出a的范围，找出满足条件的整数值．
【解答】解：根据题意得：，
解得：a＜2，
则a的整数解有1共1个．
故选：A．
【点评】本题考查了直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，以及关于原点对称的点、坐标之间的关系．
5．（3分）如图所示，△ABE与△ACD是两个全等三角形，则下列说法正确的是（　　）
A．将△ABE通过平移可以和△ACD重合
B．将△ABE通过旋转可以和△ACD重合
C．将△ABE通过旋转、平移可以和△ACD重合
D．将△ABE通过轴对称、再旋转可以和△ACD重合
【答案】D
【分析】根据旋转变换的性质可知．
【解答】解：从图中，可以看出△ABE与△ACD关于AO对称，因而将△ABE通过轴对称、再旋转可以和△ACD重合．
故选：D．
【点评】本题考查了图形的平移变换和旋转变换：
（1）①经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；②平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）．
（2）①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．
6．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，则∠EFD的度数为（　　）
A．15° B．10° C．20° D．25°
【答案】A
【分析】由旋转前后的对应角相等可知，∠DFC＝∠BEC＝60°；一个特殊三角形ECF为等腰直角三角形，可知∠EFC＝45°，把这两个角作差即可．
【解答】解：∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，
∴CE＝CF，∠DFC＝∠BEC＝60°，∠EFC＝45°，
∴∠EFD＝60°﹣45°＝15°．
故选：A．
【点评】本题考查旋转的性质和正方形的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
7．（3分）如图，Rt△ABC的边AB在x轴上，且A（﹣1，0），B（1，0），∠A＝45°，斜边AC以点A为旋转中心，顺时针旋转45°，恰好与x轴相交于D，则点D的坐标是（　　）
A．（，0） B．（2，0） C．（21，0） D．（22，0）
【答案】C
【分析】由AB＝2、∠BAC＝45°知AC＝AD2，根据OD＝AD﹣AO＝21可得答案．
【解答】解：由题意知，AB＝2、∠BAC＝45°，
∴AC＝AD2，
则OD＝AD﹣AO＝21，
即点D的坐标为（21，0），
故选：C．
【点评】本题主要考查坐标与图形的变化﹣旋转，掌握三角函数的定义和旋转的性质是解题的关键．
8．（3分）在探究“尺规三等分角”这个数学名题中，利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，线段AC绕点A逆时针旋转得到线段AF，CF、BA的延长线交于点E，若∠E＝∠FAE，∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是（　　）
A．7° B．21° C．23° D．34°
【答案】C
【分析】由矩形的性质得出∠BCD＝90°，AB∥CD，AD∥BC，证出∠FEA＝∠ECD，∠DAC＝∠ACB＝21°，由三角形的外角性质得出∠ACF＝2∠FEA，设∠ECD＝x，则∠ACF＝2x，∠ACD＝3x，由互余两角关系得出方程，解方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠FEA＝∠ECD，∠DAC＝∠ACB＝21°，
∵∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA，
∴∠ACF＝2∠FEA，
设∠ECD＝x，则∠ACF＝2x，
∴∠ACD＝3x，
∴3x+21°＝90°，
解得：x＝23°；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握矩形的性质和平行线的性质是解决问题的关键．
9．（3分）如图（1），已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD、AC于点F、G，则在图（2）中，全等三角形共有（　　）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
【答案】B
【分析】根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
【解答】解：旋转后的图中，全等的三角形有：△B′CG≌△DCE，△A′B′C≌△ADC，△AGF≌△A′EF，
△ACE≌△A′CG，共4对．
故选：B．
【点评】本题考查图形的旋转和三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，难度不大．
10．（3分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE，则CE的最大值为（　　）
A． B．1 C．1 D．1
【答案】B
【分析】取AB的中点M，连接CM，EM，当CE＝CM+EM时，CE的值最大，根据旋转的性质得到AC′＝AC＝2，由三角形的中位线的性质得到EMAC′＝1，根据勾股定理得到AB＝2，即可得到结论．
【解答】解：取AB的中点M，连接CM，EM，
∴当CE＝CM+EM时，CE的值最大，
∵将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，
∴AC′＝AC＝2，
∵E为BC′的中点，
∴EMAC′＝1，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝2，
∴CMAB，
∴CE＝CM+EM，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
11．（3分）若点P（m+1，8﹣2m）关于原点的对称点Q在第三象限，那么m的取值范围是　﹣1＜m＜4　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点求出点Q的坐标，根据第三象限点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：点P（m+1，8﹣2m）关于原点的对称点Q的坐标为（﹣m﹣1，﹣8+2m），
由题意得，，
解得，﹣1＜m＜4，
故答案为：﹣1＜m＜4．
【点评】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点和点的坐标，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）是解题的关键．
12．（3分）若点P（2a+3b，﹣2）关于原点的对称点为Q（3，a﹣2b），则（3a+b）2020＝　1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出3a+b＝﹣1，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（2a+3b，﹣2）关于原点的对称点为Q（3，a﹣2b），
∴，
故3a+b＝﹣1，
则（3a+b）2020＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，关于O点成中心对称的三角形有　4　 对．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行四边形ABCD是中心对称图形，再根据中心对称图形的性质，对称点的连线到对称中心的距离相等，即对称中心是对称点连线的中点，并且中心对称图形被经过对称中心的直线平分成两个全等的图形，即可得出答案．
【解答】解：图中成中心对称的三角形有△AOD和△COB，△ABO与△CDO，△ACD与△CAB，△ABD和△CDB共4对．
故答案为：4．
【点评】此题考查了中心对称，如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
14．（3分）如图，点A，B，C的坐标分别为（0，﹣1），（0，2），（3，0）．从下面四个点M（3，3），N（3，﹣3），P（﹣3，0），Q（﹣3，1）中选择一个点，以A，B，C与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是　点P　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据中心对称图形的概念，只要组成的四边形不是平行四边形，则一定不是中心对称图形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，已知M、N、Q都能够和已知的三个点组成平行四边形，则一定是中心对称图形．
故答案为：点P．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系以及中心对称的概念．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
15．（3分）在四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是　不唯一，可以是：AB∥CD或AD＝BC，∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°等　 ．（只要填写一种情况）
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出相应的条件，得出此四边形是中心对称图形．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴当AD＝BC，（两组对边分别相等的四边形是平行四边形．）
或AB∥CD（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）时，或∠B+∠C＝180°或∠A+∠D＝180°等时，四边形ABCD是平行四边形．
故此时是中心对称图形，
故答案为：AD＝BC或AB∥CD或∠B+∠C＝180°或∠A+∠D＝180°等．
【点评】本题考查了中心对称图形的定义和平行四边形的判定，平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB，AD＝1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据题意利用锐角三角函数关系得出旋转角的度数，进而求出S△AB′C′，S扇形BAB′，即可得出阴影部分面积．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB，AD＝1，
∴tan∠CAB，AB＝CD，AD＝BC＝1，
∴∠CAB＝30°，
∴∠BAB′＝30°，
∴S△AB′C′1，
S扇形BAB′，
S阴影＝S△AB′C′﹣S扇形BAB′．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及旋转的性质以及扇形面积公式等知识，得出旋转角的度数是解题关键．
17．（3分）如图，已知点A（﹣4，4），一个以A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别交x轴正半轴，y轴负半轴于E、F，连接EF．当△AEF是直角三角形时，点E的坐标是　（8，0）或（4，0）　
【答案】见试题解答内容
【分析】当∠AFE＝90°，可证明△ADF≌△FOE，则FO＝AD＝4，OE＝DF＝OD+FC＝8，从而可求得点E坐标，同理当∠AEF＝90°时，也可求得点E坐标．
【解答】解：①如图所示：当∠AFE＝90°，
∴∠AFD+∠OFE＝90°，
∵∠OEF+∠OFE＝90°，
∴∠AFD＝∠OEF
∵∠AFE＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠AEF＝45°＝∠EAF，
∴AF＝EF，
在△ADF和△FOE中，
，
∴△ADF≌△FOE（AAS），
∴FO＝AD＝4，OE＝DF＝OD+FO＝8，
∴E（8，0）
②当∠AEF＝90°时，同①的方法得，OF＝8，OE＝4，
∴E（4，0），
综上所述，满足条件的点E坐标为（8，0）或（4，0）
【点评】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），则经过第2018次变换后所得的A点坐标是 　（﹣a，b）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】观察不难发现，3次变换为一个循环组依次循环，用2018÷3＝672余2，推出经过第2018次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第二象限，从而得解．
【解答】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，
点A第二次关于原点对称后在第二象限，
点A第三次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
所以，每3次对称为一个循环组依次循环，
∵2018÷3＝672余2，
∴经过第2018次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣a，b）．
故答案为：（﹣a，b）．
【点评】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题
19．（6分）点P（x+1，2x﹣1）关于原点的对称点在第一象限，试化简：|x﹣3|﹣|1﹣x|
【答案】见试题解答内容
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点得到点P（x+1，2x﹣1）关于原点的对称点P′的坐标为（﹣x﹣1，﹣2x+1），而P′在第一象限，根据第一象限的坐标特点得到﹣x﹣1＞0，且﹣2x+1＞0，解得x＜﹣1，则x﹣3＜0，1﹣x＞0，然后利用绝对值的意义化简|x﹣3|﹣|1﹣x|即可．
【解答】解：∵点P（x+1，2x﹣1）关于原点的对称点P′的坐标为（﹣x﹣1，﹣2x+1），
而P′在第一象限，
∴﹣x﹣1＞0，且﹣2x+1＞0，
∴x＜﹣1，
∴|x﹣3|﹣|1﹣x|＝﹣（x﹣3）﹣（1﹣x）
＝﹣x+3﹣1+x
＝2．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：点P（a，b）关于原点对称的点P′的坐标为（﹣a，﹣b）．也考查了解不等式组．
20．（6分）如图，已知四边形ABCD及点P，画出四边形ABCD关于点P的对称图形A′B′C′D′．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用关于点对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：如图所示：四边形A′B′C′D′即为所求．
【点评】此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
21．（6分）如图所示，O为边长为a的正方形ABCD的中心，将一块直角边大于a的三角板的直角顶点放在O处，并将三角板绕O旋转，求证：ED+DF＝a．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OD，OC，如图，根据正方形的性质得OD＝OC，∠ADO＝∠OCF＝45°，∠DOC＝90°，再利用等角的余角相等得∠EOD＝∠FOC，然后根据“ASA”证明△EOD≌△COF，则ED＝CF，由此可得ED+DF＝DC＝a．
【解答】证明：连接OD，OC，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OD＝OC，∠ADO＝∠OCF＝45°，∠DOC＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOD＝∠FOC，
在△ODE和△OCF中，
，
∴△EOD≌△COF（ASA），
∴ED＝CF，
而DF+CF＝CD＝a，
∴ED+DF＝a．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
22．（6分）等边△ABC中，D在边BC上，△ADC绕顶点A旋转到△AEB的位置，
（1）指出旋转中心，旋转方向，其中一个旋转角及其大小．
（2）指出∠DBE的大小以及连接DE后△ADE的形状．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据旋转的意义，利用△ADC绕顶点A旋转到△AEB的位置关系得出旋转方向和旋转角即可．
（2）利用△ADC≌△AEB，以及等边三角形的判定得出即可．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
△ADC绕顶点A旋转到△AEB的位置，B点和C点对应，旋转角是∠BAC，
∴△ADC绕A点顺时针旋转60°到△AEB位置；
（2）根据旋转可得∠C＝∠ABE＝60°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠EBD＝60°+60°＝120°，
根据旋转可得△ADC≌△AEB，
∴AE＝AD，∠CAD＝∠BAE，
∵∠CAD+∠DAB＝60°，
∴∠BAE+∠BAD＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定，得出∠BAE+∠BAD＝60°是解题关键．
23．（6分）如图，均为7×6的正方形网格，点A、B、C均在格点（小正方形的顶点）上，在图中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其满足下列条件（三个图形互不相同）：
（1）在图①所画的四边形中，∠D为钝角，且四边形是轴对称图形．
（2）在图②所画的四边形中，∠D为锐角，且四边形是中心对称图形．
（3）在图③所画的四边形中，∠D为直角，且四边形面积为5平方单位．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）作以A、B、C、D为顶点的等腰梯形即可得；
（2）作以A、B、C、D为顶点的平行四边形即可；
（3）作以A、B、C、D为顶点的直角梯形可得．
【解答】解：（1）如图①，等腰梯形ABCD即为所求；
（2）如图②， ABCD即为所求；
（3）如图③，直角梯形ABCD即为所求．
【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
24．（8分）在直角坐标系中，四边形OABC各个顶点坐标分别为（0，0），（2，3），（5，4）（8，2）．
（1）画出平面直角坐标系，并画四边形OABC．
（2）试确定图中四边形OABC的面积．
（3）如果将四边形OABC绕点O旋转180°，试确定旋转后四边形上各个顶点的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）画出平面直角坐标系，描出各点，顺次连接各点得到四边形OABC；
（2）利用组合图形的面积转化为基本平面图形的面积的和与差，求出即可；
（3）利用旋转的性质画出图形，写出坐标即可．
【解答】解：（1）如图：四边形OABC即为所求；
（2）S四边形OABC＝S△OAE+S四边形AEFB+S四边形BFGC﹣S△OCG2×3（3+4）×（5﹣2）（4+2）×（8﹣5）8×2＝14.5；
（3）如图：旋转后四边形上各个顶点的坐标分别为：（0，0），（﹣2，﹣3），（﹣5，﹣4）（﹣8，﹣2）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
25．（8分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；
（3）直接写出以O，A1，B为顶点的三角形的形状．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）利用勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）∵OB，BA1＝3，OA1＝2，
∴OB2+A1B2＝A1O2，
∴∠OBA1＝90°，故△OA1B为直角三角形．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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